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高中数学重难点突破
专题十一 导数与函数的单调性
知识归纳
一、导数与函数单调性的关系
1、若(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，
(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
2、若(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，
(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
二、利用导数求函数单调性的一般步骤
①确定的定义域；
②计算导数；
③求出的根；
④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,
进而确定的单调区间： ( http: / / www.21cnjy.com / )，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；
(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
典例分析
题型一、不含数参的函数单调性的求解
例1-1、求函数的单调区间.
例1-2、求函数的单调区间.
题型二、含数参的函数单调性的求解
例2-1、已知函数g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性.
例2-2、已知函数，求函数的单调区间和极值．
题型三、函数单调性的应用
例3-1、已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例3-2、已知函数，则不等式的解集为___________.
例3-3、已知函数的图象关于直线对称，且当时，．若，（2），，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
题型四、利用函数单调性求解参数问题
例4-1、(1)若函数在区间单调递增，则的取值集合是______;
(2)若函数的递增区间是，则的取值集合是___________.
例4-2、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
例4-3、若函数在区间，上存在单调递增区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
例4-4、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
例4-5、若函数在区间，上不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
题型五、构造函数问题
具体函数构造问题
例5-1、若对，恒成立，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
例5-2、(多选题)若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
例5-3、设，则、、的大小关系是　　
A． B．
C． D．
抽象函数的构造问题
例5-4、已知定义在上的函数满足（2），且的导函数，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．或
例5-5、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系　　
A． B． C． D．
例5-6、已知函数的定义域为，，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
例5-7、已知函数是定义域上的可导函数，其导函数为，对于任意的，恒成立，则以下选项一定正确的是　　
A． B．
C． D．
同步练习
1．函数单调递增区间是　　
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间为　　
A．， B． C． D．
3．已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是　　
A．，， B．， C．， D．
5．若函数在区间内单调递增，则取值范围是( )
A． B． C． D．
6．若函数在其定义域内的一个子区间，内不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
7．已知函数，则　　
A． B．
C． D．
8．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
9．已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
10．已知函数的导函数为，若，都有成立，则　　
A． B．（1）
C．（2） D．（1）（2）
11．已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．（多选题）若实数，则下列不等式中一定成立的是　　
A． B．
C． D．
14．求函数的单调区间
15．已知f(x)＝－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间.
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高中数学重难点突破
专题十一 导数与函数的单调性
知识归纳
一、导数与函数单调性的关系
1、若(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，
(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
2、若(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，
(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
二、利用导数求函数单调性的一般步骤
①确定的定义域；
②计算导数；
③求出的根；
④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,
进而确定的单调区间： ( http: / / www.21cnjy.com / )，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；
(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
典例分析
题型一、不含数参的函数单调性的求解
例1、求函数的单调区间.
解：定义域为，
,
令,则
∴f(x)的增区间是和，f(x)的减区间是和
变式1、求函数的单调区间.
解：
令，，解得
列表如下：
↘ ↗ ↘
∴f(x)的增区间是，f(x)的减区间是和
题型二、含数参的函数单调性的求解
例2、已知函数g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性.
解：g′(x)＝x2－ax＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x).
令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，
所以h(x)在R上单调递增，
因为h(0)＝0，
所以当x>0时，h(x)>0，当x<0时，h(x)<0.
(1)当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
(2)当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；
(3)当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
综上所述：
当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减.
变式2、已知函数，求函数的单调区间和极值．
解：函数的定义域为,
令得，解得或
①当时,列表：
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
可知的单调减区间是，增区间是和； 极大值为
,极小值为
②当时, ，可知函数在上单增, 无极值。
③当时,列表：
0
+ 0 - 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
可知的单调减区间是，增区间是和； 极大值为
,极小值为
④当时,不在定义域内，列表：
0
- 0 +
↘ 极小 ↗
可知的单调减区间是，增区间是； 极小值为
题型三、函数单调性的应用
例3-1、已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，函数的定义域为，
且，即，
所以函数是上的奇函数，
又由，所以函数为上的单调递减函数，
又因为，且，即，
所以，可得，
又由函数是上的奇函数，可得，
所以，即.
例3-2、已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】因为，，
所以，所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
例3-3、已知函数的图象关于直线对称，且当时，．若，（2），，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】由函数的图象关于直线对称，可知的图象关于轴对称，即为偶函数，因为当时，，
则，（2），，
因为，所以，所以．
题型四、利用函数单调性求解参数问题
例4-1、(1)若函数在区间单调递增，则的取值集合是______;
(2)若函数的递增区间是，则的取值集合是___________.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)，由在单调递增可得：，。
(2)的递增区间为，即仅在单调递增。
令，若，则单调递增区间为不符题意，若，则时，。所以
例4-2、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
解　h(x)＝ln x－ax2－2x，x>0.
∴h′(x)＝－ax－2.
(1)若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，
则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解.
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min.
又G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，
∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
则a≥－恒成立，设G(x)＝－，
所以a≥G(x)max.
又G(x)＝－1，x∈[1，4]，因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.
又当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝，
∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝≤0，
当且仅当x＝4时等号成立.
∴h(x)在[1，4]上为减函数.
故实数a的取值范围是.
例4-3、若函数在区间，上存在单调递增区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【解析】函数在区间，上存在单调增区间，
函数在区间，上存在子区间使得不等式成立．
，
设，则（2）或，
即或，
得．
例4-4、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【答案】．
【解答】解：函数的定义域为，
，
令，得，
即的单调递减区间为，
由于函数在区间上单调递减，
则，，，所以，
解得，
即实数的取值范围是，．
例4-5、若函数在区间，上不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
【答案】．
【解答】解：由题意知，
令，若函数在区间，上是单调函数，
则或对于任意的，恒成立，即或对任意的，恒成立，
设，，，则，故在，上单调递增，
故，，故或，
因为函数在区间，上不是单调函数，故，即实数的取值范围是，，
题型五、构造函数问题
具体函数构造问题
例5-1、若对，恒成立，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【答案】．
【解答】解：将原不等式变形可得，对任意的，恒成立，
其中，，由此可得上式只有在时成立，
此时，设，则式即可表示为，
恒成立，即为单调递增函数；
故有恒成立恒成立，
令，则有，
令，或；
则有；，或，
根据题意可得，函数在上单调递增，在上单调递减；
故有，即恒成立．
例5-2、若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解答】解：令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，所以，即，
所以，错误，正确；
令，则，，
当时，，（1），
故在上不单调，
故时，与大小关系不确定，，错误．
例5-3、（多选题）设，则、、的大小关系是　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解析】令，则，
函数为增函数，（1），
，，又，，
抽象函数的构造问题
例5-4、已知定义在上的函数满足（2），且的导函数，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．或
【答案】．
【解析】令，对求导，得，
，，即在上为增函数．
不等式可化为，即（2），
由单调递增得，所以不等式的解集为．
例5-5、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系　　
A． B． C． D．
【答案】．
【解答】解：构造函数，，
当时，，
，函数在上单调递减．
函数为奇函数，，
是偶函数，函数在上单调递增．
（3），（e），，
，（e）（3），，
例5-6、已知函数的定义域为，，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】．
【解答】解：令，，，
则，因为，所以，
所以在，上单调递减，
所以等价于，即，
所以，即不等式的解集为，．
例5-7、已知函数是定义域上的可导函数，其导函数为，对于任意的，恒成立，则以下选项一定正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】．
【解答】解：令，则，
因为对于任意的，恒成立，所以，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，
即，
结合选项可知，正确．
同步练习
1．函数单调递增区间是　　
A． B． C． D．
1、【解答】解：令
故选：．
2．函数的单调递减区间为　　
A．， B． C． D．
2、【解答】解：由，解得：，故函数的定义域是，
，令，解得：，
故在，递减，
故选：．
3．已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3、【解答】解：由函数的图象可得，
当，时，，当时，．
由①或②，解①得，解②得．
综上，不等式的解集为，，．
故选：．
4．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是　　
A．，， B．， C．， D．
4、【解答】解：由题意得，
函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，
所以，，解得．因此，实数的取值范围是．
故选：．
5．若函数在区间内单调递增，则取值范围是( )
A． B． C． D．
5、【答案】B
【解析】先看函数的定义域，则在恒成立，
可看成是由的复合函数，故对进行分类讨论。当时，单调递增，所以需单调递增，，与矛盾；当时，单调递减，所以需单调递减，
6．若函数在其定义域内的一个子区间，内不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
6、【解析】因为定义域为，又，
由，得，当时，，当，时，
据题意，，解得：，
故选：．
7．已知函数，则　　
A． B．
C． D．
7、【解答】解：函数，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
因为，，
，又因为，，所以，
所以，所以，
所以，因为在，上单调递增，
所以．
故选：．
8．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
8、【解答】解：，
令，即，整理得：，
，，，，
故的取值范围是，
故选：．
9．已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
9、【解答】解：任意实数，，且，都有，
可得在上为减函数，所以恒成立，即，
令，因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以．
故选：．
10．已知函数的导函数为，若，都有成立，则　　
A． B．（1）
C．（2） D．（1）（2）
10、【解析】令，则，
，，恒成立
是在单调递减，（1）（2），即（1）（2）
故选：．
11．已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11、【答案】D
【解析】构造函数，则，
因为均有并且，所以，故函数在上单调递减，
所以，，即，，
也就是，．
12．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12、【答案】C
【解析】由已知，为奇函数，函数对于任意的满足，
得，即，
所以在上单调递增；又因为为偶函数，
所以在上单调递减．所以，即．
故选C．
13．（多选题）若实数，则下列不等式中一定成立的是　　
A．
B．
C．
D．
13、【解答】解：令，则，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，，所以，所以
同理，所以，
所以，正确；
所以，正确；
令，，则，
故在，上单调递减，，所以，
故，正确；
对于，，结合选项的讨论，与的大小不确定，故错误．
故选：．
14．求函数的单调区间
14、解：定义域
令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程）
+ -
↗ ↘
函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
15．已知f(x)＝－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间.
15、解　因为f(x)＝－aln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝x－＝.
(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
(2)当a>0时，f′(x)＝，则有
①当x∈(0，)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，).
②当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(，＋∞).
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).
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