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高中数学重难点突破
专题七 导数与函数的单调性
知识归纳
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)＞0 单调递增
f′(x)＜0 单调递减
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
3．利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
典例分析
【例1】(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)
的图象可能为(　　)
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
【例1】(1)D　(2)D　[(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]
【变式1】已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
【变式1】C　[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]
【例2】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝x2－ln x；(3)f(x)＝sin x－x；
【例2】(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得x<－3，或x>2，由f′(x)<0解得－3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
由f′(x)>0得－，
又∵x>0，∴x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<－或0又∵x>0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间为.
(3)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为R
【变式2】求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x；(3)f(x)＝x＋.
【变式2】[解]　(1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f ′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：
x
f ′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f′(x) ↘ ↗ ↘
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) ↗ ↘ ↘ ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
【例4】[解]　由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
【变式4】若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
【变式4】(0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
【例5】（选讲）设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
【例5】[解]　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
1、C　[由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
2、D　[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
3、B　[函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]
4．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
4、(1,2)　[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
5、答案　∪2,3)
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
6、C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]
7．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
7、B　[显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；
对于D，y′＝－1(x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数，故选B.]
8．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
8、【解析】　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3【答案】　D
9．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，e－2)　　 B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
9、B　[因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
10、B　[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0 －≤a≤.]
11．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞)　　　 B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
11、A　[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.]
12．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
12、【解析】　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1【答案】　－　－6
13．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．
13、(0，＋∞)　[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
14．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
14、解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′>0，得x>1；由y′<0，得0∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为(－，＋∞)．
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′>0，即－－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′<0，即－1函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为(－，－1)和(－，＋∞)，单调递减区间为(－1，－)．
15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
15、解　(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴，即.解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
提高训练题（思维与综合能力提升）
16．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是(　　)
A　　　　 　B　　　　　C　 　　　　D
16、D　[对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)＞0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．]
17．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
17、　[f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.]
18．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
18、[解]　f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.
(1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.
(2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex.
令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以f(x)的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
19．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
19、[解]　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f′(x)＜0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，
解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
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专题七 导数与函数的单调性
知识归纳
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)＞0 单调递增
f′(x)＜0 单调递减
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
3．利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
典例分析
【例1】(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)
的图象可能为(　　)
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
【变式1】已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
【例2】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； (2)f(x)＝x2－ln x； (3)f(x)＝sin x－x；
【变式2】求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋.
【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
【变式4】若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
【例5】（选讲）设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
4．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
7．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
8．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
9．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，e－2)　　 B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
11．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞)　　　 B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
12．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
13．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．
14．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
提高训练题（思维与综合能力提升）
16．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是(　　)
A　　　　 　B　　　　　C　 　　　　D
17．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
18．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
19．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
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