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高中数学重难点突破
专题四 二项式定理
知识归纳
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(3)则设.有：
① ②
③
④
⑤
典例分析
【例1】(1)求的展开式；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
【例2】已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【变式1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)的展开式中x4的系数为(　　)
A.10 B.20 C.40 D.80
(2)(2018·浙江卷)二项式的展开式的常数项是________.
【例3】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
【变式2】(1)(2017·高考全国卷)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
(2)的展开式中的常数项为 .
【例4】(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
【变式3】已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【例5】设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值．
【变式4】已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
【变式5】(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于(　　)
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
2．11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第6项　　　　B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．212 B．211
C．210 D．29
4．在的展开式中常数项是(　　)
A．－28 B．－7
C．7 D．28
5．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．
6．求的展开式的第3项的系数和常数项．
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A．(2x＋2)5　　　 　B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5
8．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A．90 B．45 C．120 D．180
9．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
10．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
11．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
12．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
13．2019·枣庄二模)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B. C.1 D.2
14．(2019·邯郸二模)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)
A.15 B.45 C.135 D.405
15．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　)
A．－35x4 B．35x3
C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4
16．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1024 B.243 C.32 D.24
17．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A.2n B. C.2n＋1 D.
18．(2019·安徽江南十校联考)若(x＋y－1)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为__________(用数字作答).
19．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
20．(2018·太原二模)的展开式中常数项是________(用数字作答).
21．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
22．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
提高训练题（思维与综合能力提升）
23．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
24．(2019·广州测试)使(n∈N*)展开式中含有常数项的n的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
25．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　)
A．－6 B．－3
C．0 D．3
26．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
27．若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
28．设(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a(a≠0)，则实数a＝________.
29．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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高中数学重难点突破
专题四 二项式定理
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(3)则设.有：
①
②
③
④
⑤
典例分析
【例1】(1)求的展开式；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
【例1】[解]　(1)法一：4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C·3＋C4
＝x2－2x＋－＋.
法二：4＝4＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n
＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
【例2】已知n展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
【例2】[解]　(1)因为T3＝C()n－22＝4Cx，
T2＝C()n－1＝－2Cx，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，
则Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rCx，
所以＝3，r＝1，
所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
【变式1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)的展开式中x4的系数为(　　)
A.10 B.20 C.40 D.80
(2)(2018·浙江卷)二项式的展开式的常数项是________.
(1)【答案】C
解析　Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.
(2)【答案】7 解析　该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx＝Cx.令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C×＝7.
【例3】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
【例3】(1)C　(2)－20　[(1)(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，所以展开式中含有x2y7的项为x·Cxy7－yCx2y6＝－20x2y7，故x2y7的系数为－20.]
【变式2】(1)(2017·高考全国卷)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
(2)的展开式中的常数项为 .
【变式2】(1)C　[(1)(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.]
(2)【答案】
【解析】
【例4】(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解]　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，
依题意有C25＝C·26 n＝8，
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第r＋1项系数最大，则有
5≤r≤6.
∵r∈{0,1,2，…，8}，
∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
【变式3】已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【变式3】[解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C()3(3x2)2＝90x6，
T4＝C()2(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝C (3x2)4＝405.
【例5】设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值．
【例5】[解]　(1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. ①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 018|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2 018＝32 018.
2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
[解]　(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
【变式4】(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
解析　(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
答案　(1)3　(2)1或－3
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C等于(　　)
A．2n B．2n－1
C．3n D．1
1、C　[原式＝(2＋1)n＝3n.]
2．11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第6项　　　　　　　 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
2、D　[由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．212 B．211
C．210 D．29
3、D　[因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.]
4．在的展开式中常数项是(　　)
A．－28 B．－7
C．7 D．28
4、C　[Tk＋1＝C·8－k·k＝(－1)k·C·8－k·xeq \s\up8(8－k)，
当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.]
5．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．
5、40　10　[∵T3＝C(2x)2＝C22x2＝40x2，
∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C＝10.]
6．求的展开式的第3项的系数和常数项．
6、[解]　T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第3项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A．(2x＋2)5　　　　　　　　 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
7、D　[原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]
8．若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A．90 B．45 C．120 D．180
8、D [因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，故，展开式的通项公式为令，得，所以展开式中的常数项是，故选D．]
9．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
9、C　[Tk＋1＝C6－k·k＝(－1)k22k－6·Cx3－k，令3－k＝2，则k＝1，
所以x2的系数为(－1)1×2－4×C＝－，故选C.]
10．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
10、A　[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]
11．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
11、D [二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝
C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.]
12．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
12、解析　由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
答案　A
13．2019·枣庄二模)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B. C.1 D.2
13、解析　展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x10－r·＝C·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C，令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C，所以(x2－a)的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2.
答案　D
14．(2019·邯郸二模)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)
A.15 B.45 C.135 D.405
14、解析　令中x为1，得各项系数和为4n，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x6－r，令6－r＝3，求得r＝2，故展开式中x3的系数为C·32＝135.
答案　C
15．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为(　　)
A．－35x4 B．35x3
C．－35x4和35x3 D．－35x3和35x4
15、C　[由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.]
16．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1024 B.243 C.32 D.24
16、解析　令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.
答案　A
17．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A.2n B. C.2n＋1 D.
17、解析　设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
答案　D
18．(2019·安徽江南十校联考)若(x＋y－1)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为__________(用数字作答).
18、解析　令x＝y＝1 (a＋1)5＝32 a＝1，故原式＝(x＋y－1)3(2x－y＋1)5＝[x＋(y－1)]3[2x＋(1－y)]5，可知展开式中x的系数为C＋C(－1)3C·2＝－7.
答案　－7
19．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
19、81　[由C＝C可知n＝4，令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.]
20．(2018·太原二模)的展开式中常数项是________(用数字作答).
20、解析　＝
＝
的展开式中通项公式：Tr＋1＝C(－1)5－r，
其中的通项公式：
Tk＋1＝C(2x)r－k＝2r－kCxr－2k，
令r－2k＝0，则k＝0，r＝0；k＝1，r＝2；k＝2，r＝4.
因此常数项为C(－1)5＋C×(－1)3×2×C＋C×(－1)×22C＝－161.
答案　－161
21．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
21、解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
【答案】　D
22．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
22、[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1，
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128. ①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则
－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ②
由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由，得
a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
提高训练题（思维与综合能力提升）
23．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
23、A　[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，
所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.]
24．(2019·广州测试)使(n∈N*)展开式中含有常数项的n的最小值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
24、解析　Tr＋1＝C(x2)n－r＝Cx2n－5r，
令2n－5r＝0，得n＝r，又n∈N*，
所以n的最小值是5.
答案　C
25．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是(　　)
A．－6 B．－3
C．0 D．3
25、A　[∵(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3xeq \s\up8()＋3x－xeq \s\up8())，
∴x2的系数是－12＋6＝－6.]
26．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
26、D　[512 018＋a＝(13×4－1)2 018＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 018＋a能被13整除．]
27．若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
27、－2　[Tk＋1＝C·(ax2)5－kk＝C·a5－kxeq \s\up12(10－k.)令10－k＝5，解得k＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.]
28．设(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a(a≠0)，则实数a＝________.
28、解析　已知(1－ax)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，两边同时对x求导，
得2 018(1－ax)2 017(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 018a2 018x2 017，
令x＝1得，－2 018a(1－a)2 017＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 018a2 018＝2 018a，
又a≠0，所以(1－a)2 017＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.
答案　2
29．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．(填序号)
29、①④　[二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]
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