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高中数学重难点突破
专题一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．分类加法计数原理
若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法。
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每一类办法都能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏” 各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
典例分析
【例1】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
【例1】[解]　(1)分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．
根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．
(2)分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法．
根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．
【变式1】已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
【变式1】[解]　完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：
第一步：确定a有3种不同的选取方法；
第二步：确定b有4种不同的选取方法；
第三步：确定r有2种不同的选取方法．
由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．
【例2】将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为(　　)
A．7 B．12
C．81 D．64
【例2】D　[第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.]
【变式2】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
【变式2】C　[高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.]
【例3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【例3】[解]　法一：分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)；
第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)；
第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有选法2×2＝4(种)；
第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有选法2×1＝2(种)．
故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18(种)．
法二：分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法3×4＝12(种)．
第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法2×3＝6(种)．故不同的选法共有12＋6＝18(种)．
【变式3】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
【变式3】20　[分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．]
【例4】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
【例4】[解]　法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．
【变式4】(1)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)
A．96　　　　　　　　 B．84
C．60 D．48
(2)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？
【变式4】(1)B　[法一：分为两类．
第一类：当花坛A、C中花相同时有4×3×1×3＝36种．
第二类：当花坛A、C中花不同时有4×3×2×2＝48种．
共有36＋48＝84种，故选B.
法二：分为四步．
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类，一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种．二是A与C不同，C的选法是2种，此时第四步D的选法也是2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．]
(2)[解]　从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6种方法，所以有48－6＝42种不同的种植方法.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　)
A．6种 B．12种
C．30种 D．36种
1、B　[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，
∴由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]
2．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为(　　)
A．9 B．12
C．18 D．24
2、D　[由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D.]
3．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有(　　)
A．8本 B．9本
C．12本 D．18本
3、D　[完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.]
4．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　)
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
4、B　[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．]
5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)
A.30 B．20
C.10 D．6
5、D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6种取法．]
6．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是________．
6、64　[因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，
跳远冠军的分配有4种不同的方法，
游泳冠军的分配有4种不同的方法，
所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．]
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　 B．20
C．16 D．12
7、C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.]
8．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
8、D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]
9．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
9、D　[第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．
根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列．]
10．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是(　　)
A．4 B．8
C．16 D．24
10、B　[由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.]
11．小张正在玩“一款种菜的”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
11、48　[当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]
12．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．
12、180　[由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方案．]
13．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：
(1)有多少个不同的数对？
(2)其中m>n的数对有多少个？
13、[解]　(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．
(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3, 有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．某班2019年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
14、42　[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]
15．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
15、14　[法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个；数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)．
法二：由数字2,3组成的四位数共有24＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．]
16．用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)若an＝341，求项数n.
16、[解]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133；
(2)比an＝341小的数有两类：
①首位是1或2：
②首位是3：
故共有：2×4×4＋1×3×4＝44(项)．因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45.
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高中数学重难点突破
专题一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
知识归纳
1．分类加法计数原理
若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法。
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每一类办法都能独立地完成这件事 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏” 各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
典例分析
【例1】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
【变式1】已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
【例2】将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为(　　)
A．7 B．12
C．81 D．64
【变式2】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
【例3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【变式3】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
【例4】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
【变式4】(1)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)
A．96　　　　　　　　 B．84
C．60 D．48
(2)将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　)
A．6种 B．12种
C．30种 D．36种
2．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为(　　)
A．9 B．12
C．18 D．24
3．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有(　　)
A．8本 B．9本
C．12本 D．18本
4．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　)
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)
A.30 B．20
C.10 D．6
6．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是________．
课后作业（常考题型与解题技巧）
7．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　 B．20
C．16 D．12
8．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
9．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
10．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是(　　)
A．4 B．8
C．16 D．24
11．小张正在玩“一款种菜的”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
12．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．
13．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：
(1)有多少个不同的数对？
(2)其中m>n的数对有多少个？
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．某班2019年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．
15．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
16．用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)若an＝341，求项数n.
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