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高中数学重难点突破
专题十 随机变量的均值与方差
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.
3．离散型随机变量的标准差
(1)(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
4．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
5．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
典例分析
【例1】已知X的分布列如下：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
【例2】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【变式1】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【变式2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A. B. C. D.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为(　　)
A． B．5 C．1 D．31
2．设X的分布列为P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3X)＝(　　)
A．10　　　　　　　　 B．30 C．15 D．5
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
4．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k 8 9 10
P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5
P(η＝k) 0.2 0.4 0.4
A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较
5．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的均值E(X)＝8.9，则y的值为________．
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　)
A．6和2.4　　　　　　　 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的均值和方差分别是(　　)
A.， B.， C.， D.，
8．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6
9．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
10．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________.
11．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.
求：(1)X所取各值的概率；(2)随机变量X的均值与方差．
12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
13．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；(2)X的均值．
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)＝________.
15．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.
16．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
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高中数学重难点突破
专题十 随机变量的均值与方差
知识归纳
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.
3．离散型随机变量的标准差
(1)(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
4．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
5．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
典例分析
【例1】已知X的分布列如下：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
【例1】[解]　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
【例2】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
【例2】[解]　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【例3】[解]　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63， P(X＝2)＝＝0.25， P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
【变式1】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【变式1】[解]　(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝.
所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知得X1～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，))，X2～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，))，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.
所以E(2X1)＝2E(X1)＝，
E(3X2)－3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
【变式2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A. B. C. D.
【变式2】【答案】　B
【解析】　依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，
故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为(　　)
A． B．5
C．1 D．31
1、C　[因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.]
2．设X的分布列为P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3X)＝(　　)
A．10　　　　　　　　 B．30
C．15 D．5
2、A　[由P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X～B，
所以D(X)＝5××＝，
D(3X)＝9D(X)＝10.]
3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200
C．300 D．400
3、B　[记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.]
4．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k 8 9 10
P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5
P(η＝k) 0.2 0.4 0.4
A．甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
4、B　[由题中分布列可得：
E(ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2，
E(η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，
D(ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，
D(η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.5.6
∵E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，
∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．]
5．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的均值E(X)＝8.9，则y的值为________．
5、0．4　[由题意得
即解得]
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　)
A．6和2.4　　　　　　　 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
6、B　[由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.
因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.]
7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的均值和方差分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
7、D　[成功次数X服从二项分布，每次试验成功的概率为1－×＝，故在10次试验中，成功次数X的均值E(X)＝10×＝，方差D(X)＝10××＝.]
8．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6
8、【答案】　B
【解析】　由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝eq \f(1,C)＝，P(X＝4)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝5)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝6)＝eq \f(C,C)＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
9．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
9、　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]
10．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________.
10、　[由已知得X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
11．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.
求：(1)X所取各值的概率；
(2)随机变量X的均值与方差．
11、[解]　(1)P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝4)＝＝.
(2)X的分布列如下：
X 0 1 2 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.
12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
12、[解]　(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
　
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8；
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)．
所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.
13．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
13、[解]　(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
提高训练题（思维与综合能力提升）
14．某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)＝________.
14、　[由题意知X的可能取值有0,1,2,3，并且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×
＝×＋×＋×＋×＝.]
15．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.
15、【答案】　
【解析】　随机变量X的取值为0，1，2，4，
则P(X＝0)＝eq \f(CC＋CC＋CC,CC)＝，
P(X＝1)＝eq \f(CC,CC)＝，P(X＝2)＝eq \f(CC＋CC,CC)＝，
P(X＝4)＝eq \f(CC,CC)＝，因此E(X)＝.
16．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
16、【答案】见解析
【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
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