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北师大五年级上册第三单元倍数与因数（知识点梳理+能力百分练）四
知识点梳理
1、倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是倍数或是因数。
2、0是任何一个非0自然数的倍数，任何非0自然数都是0的因数。
3、像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫奇数。像2，4，6，8，…这样的数是2的倍数，叫偶数。
4、同时是2，3，5的倍数的数﹐个位一定是0，且各个数字之和是3的倍数。
5、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。求一个数的倍数时，依次用这个数乘自然数即可。
6、只有1和它本身两个因数的数叫质数，除了1和它本身以外还有别的因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．一个比1大的数除了1和它本身之外，没有其他的因数，这个数是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
2．下列说法正确的是（ ）。
A．16的因数共有6个 B．一个非零自然数的因数的个数是无限的
C．1是所有非零自然数的因数 D．一个数的因数都比它的倍数小
3．（ ）既不是质数也不是合数。
A．0 B．1 C．2 D．3
4．有48个橘子，按要求平均分成若干堆（48堆和1堆除外），共有（ ）分法。
A．8种 B．16种 C．6种 D．12种
5．几个质数连乘的积一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数
6．一个自然数既是9的倍数，又是54的因数，这个自然数最大是（ ）。
A．18 B．27 C．45 D．54
7．五（2）班有48名同学排队，要求每行的人数相同（不需有1人一行或者1人一列），有（ ）种排法。
A．4 B．5 C．8 D．10
8．从2、0、5、7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是2、3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（ ）。
A．705 B．720 C．750 D．702
二、填空题（共16分）
9．在1到9这九个数字中，相邻的两个数都是合数的是( )和( )。
10．36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：( )
11．一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是( )。
12．张华家无线网的密码是一个六位数。第一位数既是偶数又是质数，第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既不是质数也不是合数也不是0，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最小的自然数。张华家无线网的密码是( )。
13．一盏日光灯的开关，按动1次亮着，按动2次关着。如果不出故障，按的次数是( )数时，灯是亮着；按的次数是( )数时，灯是关着的。
14．一块周长是36米的长方形菜地，长和宽均为整数米，且都为质数，则这块长方形菜地的占地面积最大是( )平方米，最小是( )平方米。
15．67□，既是3的倍数，又是5的倍数，□里填 ；12□，既含有因数2，又含有因数3，□里最小填 。
16．用36个小正方形摆长方形，有( )种摆法。
三、判断题（共8分）
17．把合数减去1之后，都将变成质数。( )
18．一个偶数减去一个奇数，所得的差一定是奇数。( )
19．一个三位数24，它既是2的倍数又是3的倍数，里可以有2种填法。( )。
20．在1～10的自然数中（包括1和10），所有的偶数和比所有的奇数和小。( )
四、连线题（共6分）
21．（6分）找一找，连一连。
五、作图题（共6分）
22．（6分）用16个小正方形拼成长方形或正方形，有几种不同的拼法？请在下面的方格纸中画一画。
六、解答题（共48分）
23．（6分）把12个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，（至少装两个盒子），每盒装几个？需要几个盒子？把所有装法用你喜欢的方法记录下来。
24．（6分）学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？
25．（6分）举例说一说，4的倍数都是2的倍数吗？
分析验证：
我的结论：
26．（6分）洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？
27．（6分）从0、2、4、5、8这5张卡片中任选3张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和6的倍数，能组成多少个？请把它们写出来。
28．（6分）张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产多少个蛋？
29．（6分）新冠肺炎流行期间，学校停课不停学，采用钉钉直播的方式在线学习。依依的钉钉密码是一个8位数，你能猜出她的密码吗？
从左边起，第一位是最小的合数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是10以内最大的奇数，第五位的最大的因数是8，第六位是10以内3的倍数的同时又是偶数，第七位是10以内最大的合数，第八位是偶数中唯一的质数。
30．（6分）笑笑、奇思、淘气三个小朋友上学期共做好事102件，而且三人所做的好事的件数从小到大排列后是三个连续的偶数，其中笑笑做好事的件数最少，笑笑做了多少件好事？
参考答案
1．A
【详解】根据质数和合数的概念：除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此解答即可。由次可知：一个比1大的数除了1和它本身之外，没有其他的因数，这个数是质数；
故答案为：A
2．C
【分析】找因数的方法：用乘法，不重复，不遗漏；一个非零自然数的因数的个数是有限的，1是所有非零自然数的因数，一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身；据此解答。
【详解】由分析可知：
A．因为16＝1×16＝2×8＝4×4，所以16的因数有：1、2、4、8、16，共5个，所以此说法错误；
B．因为一个非零自然数的因数的个数是有限的，所以此说法错误；
C．因为1是所有非零自然数的因数，所以此说法正确；
D．因为一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身，所以一个数的因数有可能和它的倍数相等，所以此说法错误。
故答案为：C
【点睛】本题考查找因数，注意：一个数的因数有可能和它的倍数相等。
3．B
【分析】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答。
【详解】根据质数与合数的意义，1的因数只有1，所以1既不是质数也不是合数。
故答案为：A
【点睛】此题考查的目的是理解质数与合数的意义．明确：质数只有1和它本身两个因数，合数至少有3个因数。
4．A
【分析】根据题意，要把48个橘子平均分成若干堆，平均分成的堆数应是48的因数（48和1除外），据此解答。
运用列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，则48个橘子可以平均分成2堆、3堆、4堆、6堆、8堆、12堆、16堆或24堆，共有8种分法。
故答案为：A
【点睛】本题考查因数的应用。明确“平均分成的堆数是48的因数”并找出48的因数是解题的关键。
5．B
【分析】一个数除了1和它本身还有别的因数的数是合数，几个质数连乘的积的因数除了1和它本身外，还有这几个质数，据此解答。
【详解】根据合数的意义可知，几个质数连乘的积一定是合数。
故答案为：B
【点睛】掌握质数和合数的概念是解答本题的关键。
6．D
【分析】根据求一个数倍数的方法，求出54以内，9的倍数。再根据一个自然数（0除外）的最大因数和最小倍数都是它本身，据此解答。
【详解】54以内9的倍数有：9、18、27、36、45、54。
54的最大因数是54。
一个自然数既是9的倍数，又是54的因数，这个自然数最大是54。
故答案为：D
【点睛】根据求一个数的因数的方法，进行解答。
7．C
【分析】把48名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是48，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。
【详解】由分析可得：
48＝1×48，即每行1人，排48行，不符合题意；或者每行48人，排1行，不符合题意。
48＝2×24，即每行2人，排24行；或每行24人，排2行；
48＝3×16，即每行3人，排16行；或每行16人，排3行；
48＝4×12，即每行4人，排12行；或每行12人，排4行；
48＝6×8，即每行6人，排8行；或每排8人，排6行。
所以共8种排法。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把48分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。
8．C
【分析】0不能在首位，分别列举出2、5、7在首位的三位数；再结合2、3、5的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上的数字相加，和能被3整除的数是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数。因此当所组成三位数个位是0且各个数位上的数字相加，和能被3整除时，这样三位数既是2、3的倍数又是5的倍数，据此找到最大的数即可。
【详解】由分析得：
2开头的三位数有：205、207、250、257、270、275
5开头的三位数有：502、507、520、527、570、572
7开头的三位数有：702、705、720、725、750、752
既是2、3的倍数，又是5的倍数的有：270、570、750。
750＞570＞270
这个三位数最大是750。
故答案为：C
【点睛】掌握2、3、5的倍数特征是解题的关键。
9． 8 9
【分析】根据合数的意义：一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此解答。
【详解】1到9的九个数字中，合数有：4、6、8、9；
所以：1到9的九个数字中，相邻的两个数都是合数的是8和9。
【点睛】此题主要考查对合数意义的理解。
10．1，2、3，4，6，9，12，18，36。
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可。
【详解】36÷1＝36；1和36是36的因数；
36÷2＝18；2和18是36的因数；
36÷3＝12；3和12是36的因数；
36÷4＝9；4和9是36的因数；
36÷6＝6；6是36的因数。
36的因数有：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
11．9240
【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0；从右数，分别是个位、十位、百位、千位，据此写出此数。
【详解】一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是9240。
【点睛】本题考查了质数、合数、偶数的认识，要熟练掌握这些特殊的数。
12．249110
【分析】除了1和它本身以外不再有其它因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其它因数，这样的数叫合数。1既不是质数，也不是合数；
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
据此确定每一位上的数，再写出密码即可。
【详解】第一位数既是偶数又是质数，这个数是2；
第二位数既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；
第三位数既是奇数又是合数，这个数是9；
第三位数既不是质数，也不是合数也不是0，这个数是1；
第五位数是8的最小因数，8的最小因数是1，这个数是1；
第六位数是最小的自然数，最小的自然数是0，这个数是0。
张华家无限网密码是249110。
【点睛】关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准，理解因数、倍数的意义，2是质数中唯一的偶数。
13． 奇 偶
【分析】根据题意，按动1次亮着，按动2次关着可知，按奇数次亮着，按偶数次关着，据此解答。
【详解】根据分析可知，一盏日光灯的开关，按动1次亮着，按动2次关着。如果不出故障，按的次数是奇数时，灯是亮着；按的次数是偶数时，灯是关着。
【点睛】本题根据对奇、偶数的理解以及在生活中的灵活运用。
14． 77 65
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，长和宽均为整数米，且都为质数，根据质数的意义可以确定长和宽，然后根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。
【详解】36÷2＝18（米）
18＝11＋7＝13＋5
所以这个长方形的长和宽可能是长11米、宽7米，也可能是长13米、宽5米。
11×7＝77（平方米）
13×5＝65（平方米）
这块长方形菜地的占地面积最大是77平方米，最小是65平方米。
【点睛】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，质数的意义及应用，关键是熟记公式。
15． 5 0
【分析】个位数字是0或5的数，是5的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；即是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位数是0或5且各位上数字之和是3的倍数；同时是2和3的倍数，个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【详解】67□：如果□内填0：6＋7＋0＝13；13不能被3整除，□内不能填0；
如果□内填5；6＋7＋5＝18；18能被3整除，□内填5；
12□：如果□内最小填0：1＋2＋0＝3，3能被3整除，□最小填0。
67□，既是3的倍数，又是5的倍数，□里填0；12□，既含有因数2，又含有因数3，□里最小填0。
【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。
16．5
【分析】根据36的因数，可知36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6；用36个相同的小正方形拼成不同的长方形，它的长和宽应该是（36，1）、（18，2）、（12，3）、（9，4）（6，6）一共有5种不同的长方形，据此解答。
【详解】根据分析可知，用36个小正方形摆长方形，有5种摆法。
【点睛】本题考查利用因数的分解解决实际问题的灵活运用。
17．×
【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数，通过对合数和质数概念的理解和分析对此题进行判断即可。
【详解】由分析可得：
合数至少有3个因数，比如4有因数1、2、4，所以4是合数；9有因数1、3、9，所以9是合数。
9－1＝8，8有因数1、2、4、8，8是合数，不是质数。
所以把合数减去1之后，并不一定都将变成质数。
故答案为：×
【点睛】本题考查了合数和质数的概念，要求学生不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，熟练的运用到题目中来。
18．√
【分析】根据偶数与奇数的性质可知：偶数－奇数＝奇数；由此即可判断。
【详解】由分析可知：一个偶数减去一个奇数，所得的差一定是奇数；
故答案为：√
【点睛】此题主要根据偶数与奇数的性质解决问题，偶数与偶数的和或差是偶数，偶数与奇数的和或差是奇数，奇数与奇数的和或差是偶数。
19．√
【分析】根据2的倍数特征：末尾的0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数，由于这个数既是2的倍数又是3的倍数，当□里填0时，2＋4＋0＝6，符合题意；当□里填2时，2＋4＋2＝8；不是3的倍数；当□里填4时，2＋4＋4＝10，不是3的倍数；当□里填6时，2＋4＋6＝12，是2和3的倍数；当□里填8时，2＋4＋8＝14，不是3的倍数，由此即可判断。
【详解】由分析可知：
一个三位数24，它既是2的倍数又是3的倍数，里可以填0或6，所以有2种填法；原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查2和3的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
20．×
【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；列出1~10中所以奇数和偶数，求出奇数之和和偶数之和，再进行比较，即可解答。
【详解】1~10中，偶数有：2，4、6，8、10
奇数：1，3，5，7，9
偶数和：2＋4＋6＋8＋10
＝6＋6＋8＋10
＝12＋8＋10
＝20＋10
＝30
奇数和：1＋3＋5＋7＋9
＝4＋5＋7＋9
＝9＋7＋9
＝16＋9
＝25
30＞25
在1～10的自然数中（包括1和10），所有的偶数和比所有的奇数和大。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握偶数和奇数的意义是解答本题的关键。
21．见详解
【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。
【详解】连线如下：
【点睛】本题主要考查2的倍数特征，牢记特征是解题的关键。
22．见详解
【分析】根据题意，用16个小正方形拼成长方形或正方形，也就是将16拆分为两个整数相乘，能拆出几个就有几种不同的拼法；据此解答。
【详解】16＝1×16，16＝2×8，16＝4×4；
据此，长方形的长和宽可以是：1和16，2和8；
正方形的边长为4；
画图如下：
【点睛】此题考查因数与倍数的知识，关键能够掌握求一个数的因数的方法。
23．见详解
【分析】先找出12的所有因数，哪两个因数相乘是12，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒，即可解答。
【详解】12＝1×12，每盒装1个，装12盒；
12＝2×6，每盒装2个，装6盒；每盒装6个，装2盒；
12＝3×4，每盒装3个，装4盒；每盒装4个，装3盒；
【点睛】此题主要考查求一个数因数的方法，关键根据题意找出符合条件的数。
24．见详解
【分析】根据是5的倍数的特征，即可判断每5盆摆一个圆圈，能否正好摆完；用花盆的数量除以3，可得余数是2，所以如果每3盆摆一圈，至少要拿走2盆花；最后65不能被9整除，而大于65且是9的整数倍的最小数是72，所以每9盆摆一个圆圈，至少需要再买（72－65）盆花，据此解答即可。
【详解】（1）因为65是5的13倍，所以每5盆摆一个圈，能正好摆完；
（2）因为65÷3＝21……2（盆），
所以如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；
（3）因为大于65且是9的整数倍的最小数是72，72－65＝7（盆）
所以如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。
答：每5盆摆一个圈，能正好摆完；如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。
【点睛】此题主要考查了公倍数应用题，解答此题的关键是熟练掌握是6、5、9的倍数的特征。
25．见详解
【分析】4是2的倍数，是4的倍数一定也是2的倍数，说明即可。
【详解】分析验证：假设4的倍数为4n（n为整数），2的倍数为2n（n为整数）；那么4的倍数也可以表示为：4n＝2×2n，所以4的倍数一定是2的倍数。例如16是4的倍数，同时也是2的倍数。
我的结论：4的倍数都是2的倍数。
【点睛】此题考查了倍数的认识，认真思考解答即可。
26．不对；理由见详解
【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。
【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。
【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。
27．能组成11个，分别是204，240，420，402，408，480，450，540，504，840，804
【分析】在0、2、4、5、8这5张卡片中任选3张，组成一个三位数，使它是2的倍数，又是3的倍数 即可（因为一个数是2的倍数，也是3的倍数，那一定是6的倍数）。一个三位数即是2的倍数，又是3的倍数，那么这个三位数要符合个位数是0、2、4、6、8，而且三个位数上的数字加起来的和是3的倍数。
【详解】据题意：这个三位数即是2的倍数，也是3的倍数，那一定也是6的倍数。这个三位数要符合2的倍数特征，又要符合3的倍数特征。那就是：204，240，420，402，408，480，450，540，504，840，804
【点睛】本题考查了对2的倍数特征、3的倍数特征的认识。一个数既是2的倍数，又是3的倍数，一定也是6的倍数，所以本题6的倍数特征可以不用考虑。
28．39个
【分析】2个2个地数剩1个，鸡蛋总数为奇数，5个5个地数剩4个，鸡蛋总数是5的倍数减1，3个3个地数正好数完，鸡蛋总数为3的倍数，据此解答。
【详解】50以内5的倍数减1有：49，44，39，34，29，24，19，14，9，4，其中奇数有：49，39，29，19，9，这些数中是3的倍数有39和9，所以一天最多产39个蛋。
答：一天最多产39个蛋。
【点睛】解答此题的关键是先求出2和5的公倍数，然后减去1进行解答即可。
29．43198692
【分析】最小的合数是4；因数只有1和3的数是3；既不是合数也不是质数的数是1；10以内最大的奇数是9；最大的因数是8的数是8；10以内3的倍数的同时又是偶数的数是6；10以内最大的合数是9；偶数中唯一的质数是2；据此解答。
【详解】由分析可知：从左面起，第一位是4；第二位是3；第三位是1；第四位是9；第五位的最大的因数是8；第六位是10以内3的倍数，是6；第七位是9；第八位是2；
所以这个八位数是43198692。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数、偶数、倍数、质数、合数的概念及意义，明白密码是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字组成的。
30．32件
【分析】由于每相邻的两个偶数相差2，所以三个连续偶数的和是中间偶数的3倍，由此求出中间偶数，再减去2即可。
【详解】102÷3－2
＝34－2
＝32（件）
答：笑笑做了32件好事。
【点睛】本题主要考查连续偶数的特征，解题时要明确每相邻的两个偶数相差2。
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