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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）四
知识点梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．一个苹果的体积最接近（ ）。
A．3立方米 B．30立方分米 C．300立方厘米 D．3000立方毫米
2．将一个长方体的橡皮泥捏成一个球，体积会（ ）。
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
3．一个长方体的长、宽、高各扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．6 C．27 D．81
4．下面的图形中，能折成正方体的是（ ）。
A． B．
C． D．
5．将一个棱长为a厘米的正方体的高减去2厘米，这个正方体的体积减小（ ）立方厘米。
A． B． C．2a D．8
6．一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米。把它锯成3段，表面积增加（ ）平方分米。
A．12 B．14 C．16 D．18
7．以下是一个长方体的三个面，它的体积是（　　）。
A．28立方厘米 B．50立方厘米 C．70立方厘米 D．80立方厘米
8．一个长方体的盒子，从里面量，长9厘米、宽6厘米、高7厘米。在箱子里放棱长3厘米的正方体小方块，最多能放（　　）块。
A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题（共16分）
9．一个正方体的棱长是a厘米，把它切成两个长方体，比原来正方体表面积增加了( )平方厘米。
10．把4块相同的长方体的砖（横截面为正方形），拼成如图所示的大正方体，已知拼成的正方体的体积是6×6×6立方分米，则原来每块砖的表面积是( )平方分米。
11．有一个棱长8厘米的正方体，其所有棱长的和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
12．一个长方体纸盒（如图），它的上下两个面都是边长为5分米的正方形。沿着一条高剪开后，侧面展开图是一个正方形，这个纸盒的容积是( )立方分米。
13．下面是一个长方体的三个面，另三个面的面积和是___________平方厘米。
14．（如图）一个正方体的六个面上分别写着1至6六个数，下面是这个正方体的三种摆放位置。1的对面是( )，2的对面是( )。
15．用一根52厘米长的铁丝，正好焊接成一个长6厘米、宽4厘米、高( )厘米的长方体框架。
16．一个底面是正方形的长方体的高是20厘米，侧面展开后正好是一个正方形，这个长方体的体积是( )立方厘米。
三、判断题（共8分）
17．计算一个长方体木箱的容积，要从木箱的里面量长、宽、高。( )
18．一个冰箱的体积等于它的容积。( )
19．一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成。( )
20．下图不可以折成一个正方体。( )
四、计算体（共6分）
21．（6分）下图是长方体展开图，求长方体体积。（单位∶厘米）
五、作图题（共6分）
22．（6分）在下图中分别添上一个小正方形，使它们分别能折成一个正方体。
六、解答题（共48分）
23．（6分）如图，长方体的长是12厘米，高是8厘米，阴影部分的面积之和是150平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
24．（6分）一个无盖的长方体铁皮水槽，长30厘米，宽18厘米，高15厘米。
（1）做这个水槽至少需要铁皮多少平方厘米？（接头处忽略不计）
（2）这个水槽最多可以盛水多少升？
（3）将水槽装满水后放入一个土豆使其完全浸没，再将土豆拿出（拿出时带出的水忽略不计），这时水面下降了1.2厘米。这个土豆的体积是多少立方厘米？
25．（6分）将一个棱长为6cm的正方体熔铸成一个长为12cm，宽为2cm的长方体，则长方体的高为多少cm？长方体的表面积是多少？
26．（6分）如图，一个无盖正方体纸盒的棱长是5厘米，右边是它的展开图。在展开图上标出纸盒的右面和后面。做这个纸盒至少需要硬纸（ ）平方厘米。
27．（6分）有一张长方形的硬纸，长是30厘米，宽是20厘米，剪掉同样的四个角（如下图），再沿虚线折起，可以做成一个无盖的长方体。这个纸盒的容积是多少立方厘米？
28．（6分）把一个长方体的高增加2厘米后就变成了一个正方体，表面积比原来增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是多少？
29．（6分）爸爸准备给乐乐房间的内墙刷涂料，测得房间的长为4米，宽为3米，地面与房顶相距3米，门窗的面积共4平方米。（不用刷）
（1）要刷的墙面和天花板共多少平方米？
（2）如果每千克涂料能刷5平方米，需要买多少千克涂料？
30．（6分）有两个长方体礼盒，长、宽、高分别是15厘米、10厘米、3厘米，现在要把这两个礼盒叠放在一起，再用包装纸包起来，怎样叠放最省包装纸，算一算，最少需要多少包装纸？
参考答案
1．C
【分析】1立方米大约有1台洗衣机那么大，1立方分米大约有1个粉笔盒那么大，1立方厘米大约有1个小纽扣那么大，再结合题中所给的单位和数值，逐项分析，得出最接近苹果体积的选项。
【详解】一个苹果的体积：
A．3立方米太大，不符合实际，错误；
B．30立方分米太大，不符合实际，错误；
C．300立方厘米符合实际情况，正确；
D．3000立方毫米相当于3立方厘米，太小了，不符合实际，错误。
故答案为：C
【点睛】此类问题要联系实际及所给的单位和数值，不能和实际相违背。
2．C
【分析】由题意可知，把一个长方体橡皮泥捏成一个球，尽管它的形状发生了变化，但是还是原来的那块橡皮泥，所以体积没有变化，由此解答。
【详解】把一个长方体橡皮泥捏成一个球，体积没有变化。
故答案为：C
【点睛】形状发生改变，导致表面积变化；但只是形状改变了，物体本身没变，所以体积不变。
3．C
【分析】一个长方体的长、宽、高各扩大到原来的a倍，它的体积扩大了到原来的a3倍，据此列式解答。
【详解】根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，
扩大后的体积：（长×3）×（宽×3）×（高×3）＝长×宽×高×（3×3×3）＝长×宽×高×27。
所以它的体积扩大到原来的27倍。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式以及积的变化规律求解。
4．D
【分析】根据正方体11种展开图，是正方体11种展开图里面的情况能折成正方体，不是正方体展开图的不能折成正方体，据此分析。
【详解】A．不是正方体展开图，不能折成正方体；
B．不是正方体展开图，不能折成正方体；
C．不是正方体展开图，不能折成正方体；
D．3－3型正方体展开图，能折成正方体。
故答案为：D
【点睛】关键是掌握正方体11种展开图，或具有一定的空间想象能力。
5．B
【分析】根据题意可知：减少部分的体积是底面边长为a厘米，高是2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：v=abh，把数据代入公式解答即可．
【详解】由分析得：
a×a×2＝（立方厘米）
这个正方体的体积减小立方厘米。
故答案为：B
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
6．C
【分析】一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，则需要锯2次，锯一次则增加两个面的面积，锯2次，共增加4个面的面积，据此计算即可。
【详解】2×2×4
＝4×4
＝16（平方分米）
一根长方体木料，长2.7米，宽和高都是2分米。把它锯成3段，表面积增加16平方分米。
故答案为：C
【点睛】明确锯成的段数与增加的面的个数是解答本题的关键。
7．C
【分析】观察图形可知，长方体的长是7厘米，宽是5厘米，高是2厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。
【详解】7×5×2
＝35×2
＝70（立方厘米）
以下是一个长方体的三个面，它的体积是70立方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是确定出长方体的长、宽和高的长度。
8．C
【分析】分别用长方体盒子的长、宽和高除以3，得到的商的整数部分相乘，即可解答。
【详解】9÷3＝3（块）
6÷3＝2（块）
7÷3＝2（块）……1（厘米）
3×2×2
＝6×2
＝12（块）
一个长方体的盒子，从里面量，长9厘米、宽6厘米、高7厘米。在箱子里放棱长3厘米的正方体小方块，最多能放12块。
故答案为：C
【点睛】本题考查长方体的切割问题的应用，关键是熟记长方体体积公式。
9．2a2
【分析】要求表面积增加了多少，应明确把一个正方体切成两个长方体，不管怎样切，都会增加两个面，即增加两个边长是a的正方形的面积，根据“正方形的面积＝边长×边长”，能求出正方形的面积，进而求出增加的两个面的面积。
【详解】a×a×2＝2a2（平方厘米）
即比原来正方体表面积增加了2a2平方厘米。
【点睛】此题解题的关键是：理解把一个正方体切成两个长方体，增加了两个面。
10．90
【分析】由于拼成的正方体的体积是6×6×6，可知这个正方体的棱长是6分米，由此即可知道原来长方体的长是6分米，两个高加在一起是6分米，则一个高是6÷2＝3（分米），由于横截面是正方形，则宽也是3分米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：
原来长方体的长是6分米
6÷2＝3（分米）
（6×3＋6×3＋3×3）×2
＝（18＋18＋9）×2
＝45×2
＝90（平方分米）
所以原来每块砖的表面积是90平方分米。
【点睛】本题主要考查正方体的体积公式以及长方体的表面积公式，熟练掌握它们公式的意义并灵活运用。
11． 96 384 512
【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。
【详解】8×12＝96（厘米）
8×8×6＝384（平方厘米）
8×8×8＝512（立方厘米）
有一个棱长8厘米的正方体，其所有棱长的和是96厘米，表面积是384平方厘米，体积是512立方厘米。
【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。
12．500
【分析】长方体侧面展开图的正方形边长等于长方体的高也等于长方体的底面周长，根据“正方形的周长＝边长×4”求出纸盒的高，并利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个纸盒的容积，据此解答。
【详解】5×5×（5×4）
＝5×5×20
＝25×20
＝500（立方分米）
所以，这个纸盒的容积是500立方分米。
【点睛】掌握长方体的侧面展开图特征和长方体的体积（容积）计算公式是解答题目的关键。
13．126
【分析】观察图形发现，长方体的长为9厘米，宽为3厘米，高为9厘米，则长方体剩下的三个面分别为：长6厘米，宽3厘米的长方形，和2个长为9厘米，宽为6厘米的长方形，据此求出另3个面的面积即可。
【详解】
（平方厘米）
所以另三个面的面积和是126平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的6个面的特征。
14． 6
5
【分析】根据图1和图2可知，与数字6相邻的四个面上的数字分别是2、3、4、5，由此可知，它的对面是1；根据图2和图3可知，与数字5相邻的四个面上的数字分别是1、3、4、6，由此可知，它的对面是2；据此解答。
【详解】根据分析可知，（如图）一个正方体的六个面上分别写着1至6六个数，下面是这个正方体的三种摆放位置。1的对面是6，2的对面是5。
【点睛】解答本题的关键是根据图上的数字弄清楚与每个数字相邻的四个数字，推出该数字的对面数字。
15．3
【分析】由题可知，铁丝的长度就是长方体的棱长和；根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体的棱长和除以4，先求出一组长、宽、高的和，再用一组长、宽、高的和减去长和宽的和即可求出长方体框架的高；据此解答。
【详解】由分析得：
52÷4－（6＋4）
＝13－10
＝3（厘米）
用一根52厘米长的铁丝，正好焊接成一个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体框架。
【点睛】本题主要考查长方体棱长和公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．500
【分析】由题意可知，这个长方体的底面是正方形，它的4个侧面是完全相同的长方形，把它的侧面展开后，正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高都是20厘米；首先根据正方形的周长公式C＝4a，求出底面边长，再根据长方体的体积公式V＝abh，或V＝Sh，计算出体积。
【详解】20÷4＝5（厘米）
5×5×20
＝25×20
＝500（立方厘米）
所以这个长方体的体积是500立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体的体积计算，解答关键是：根据长方体的侧面展开图的边长求出长方体的底面边长。
17．√
【分析】箱子、油桶等能容纳物体的体积叫做它们的容积。由于容器有一定的厚度，计算容积时，要从里面去测量。长方体的体积＝长×宽×高。
【详解】计算一个长方体木箱的容积，由于箱子有厚度，所以要从木箱的里面量长、宽、高。
故答案为：√
【点睛】根据容积的意义和长方体的体积公式即可解答。
18．×
【分析】物体所占空间的大小，叫做物体的体积。计算体积时，要从物体的外面测量数据。
箱子、油桶等能容纳物体的体积叫做它们的容积。由于容器有一定的厚度，计算容积时，要从里面去测量。
【详解】冰箱有不小的厚度，所以一个冰箱的体积大于它的容积。
故答案为：×
【点睛】根据体积和容积的意义即可解答。
19．×
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出棱长是3cm、棱长1cm的正方体的体积，再用棱长3cm正方体的体积除以棱长1cm正方体的体积，得到的结果进行判断。
【详解】3×3×3÷（1×1×1）
＝9×3÷（1×1）
＝27÷1
＝27（个）
一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由27个棱长1cm的小正方体组成。
原题干一个正方体棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成，说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．√
【分析】根据正方体的11种展开图的特征即可解答。
【详解】不属于正方体展开图11种类型中的任意一种，无法折成一个正方体。
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查正方体的11种展开图的特征，熟记正方体的11种展开图的特征是解决本题的关键。
21．9立方厘米
【分析】观察图形可知，长方体的高×1再加上长方体的宽等于5cm，高等于5cm减去2cm再除以2，再根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】3×2×[（5－2）÷2]
＝6×[3÷2]
＝6×1.5
＝9（立方厘米）
22．见详解
【分析】结合正方体展开图11种特征，使图示能折成正方体的结构有“3－3”结构和 “2－3－1”结构，据此添加小正方形，合理即可。
【详解】作图如下：
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查正方体展开图的特征，应熟练掌握。
23．720立方厘米
【分析】长方体的长是12厘米，高是8厘米，阴影部分的面积之和是150平方厘米，结合图示可知，阴影部分由两部分组成，分别是左面和下面，左面的面积＝宽×高，下面的面积＝长×宽，因为：宽×高＋长×宽＝宽×（高＋长）＝150平方厘米，已知长为12厘米，高为8厘米，则要求宽，可用阴影部分的面积除以（高＋长），列式为：150÷（8＋12）＝7.5（厘米）；现在长、宽、高均已知了，再根据V长方体＝长×宽×高来计算长方体的体积，列式为：12×7.5×8。
【详解】150÷（8＋12）
＝150÷20
＝7.5（厘米）
12×7.5×8
＝90×8
＝720（立方厘米）
答：这个长方体的体积是720立方厘米。
【点睛】解题关键在于：结合题意仔细观察图示，以阴影部分面积为突破口来解答。
24．（1）1980平方厘米
（2）8.1升
（3）648立方厘米
【分析】（1）求做这个水槽质数需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
（2）根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答；
（3）根据题意，水面下降的部分体积就是这个土豆的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×水面下降的高度，代入数据，即可解答。
【详解】（1）30×18＋（30×15＋18×15）×2
＝540＋（450＋270）×2
＝540＋720×2
＝540＋1440
＝1980（平方厘米）
答：做这个水槽至少需要铁皮1980平方厘米。
（2）30×18×15
＝540×15
＝8100（立方厘米）
8100立方厘米＝8.1升
答：这个水槽最多可以盛水8.1升。
（3）30×18×1.2
＝540×1.2
＝648（立方厘米）
答：这个土豆的体积是648立方厘米。
【点睛】本题考查长方体表面积公式、体积公式的应用，以及求不规则物体的体积计算方法；注意单位名数的换算。
25．高9cm；表面积300cm2
【分析】根据题意，由于体积不变，先求出正方体的体积，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；熔铸成长方体，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），求出长方体的高；再根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】长方体的高：6×6×6÷（12×2）
＝36×6÷24
＝216÷24
＝9（cm）
表面积：（12×2＋12×9＋2×9）×2
＝（24＋108＋18）×2
＝（132＋18）×2
＝150×2
＝300（cm2）
答：长方体的高为9cm，长方体表面积是300cm2。
【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式、长方体表面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
26．图见详解；125
【分析】由图可知，与前相隔一格的是它的相对面，也就是后面，展开图前的下面一格是下面，前面左面一格是左面，右面一格是右面，据此标出；需要硬纸的面积也就是正方体5个面的面积之和，据此解答。
【详解】
5×5×5
＝25×5
＝125（平方厘米）
做这个纸盒至少需要硬纸125平方厘米。
【点睛】此题考查了正方体的展开图以及表面积的相关计算，需要有一定的空间想象能力。
27．1056立方厘米
【分析】观察图形可知，长方体的长等于30－4×2厘米；宽等于20－4×2厘米，高是4厘米；根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】（30－4×2）×（20－4×2）×4
＝（30－8）×（20－8）×4
＝22×12×4
＝264×4
＝1056（立方厘米）
答：这个纸盒的容积是1056立方厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键求出做成长方体的长、宽和高的长度。
28．414平方厘米
【分析】根据题意可知，将一个长方体的高增加2厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来增加72平方厘米，表面积增加的是高2厘米的长方体的4个侧面的面积，因此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的底面边长，然后根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。
【详解】72÷4＝18（平方厘米）
18÷2＝9（厘米）
9－2＝7（厘米）
表面积：（9×9＋9×7＋9×7）×2
＝（81＋63＋63）×2
＝207×2
＝414（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是414平方厘米。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，关键是求出原来长方体的高。
29．（1）50平方米
（2）10千克
【分析】（1）由于要刷的墙面和天花板，则相当于5个面，根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式求出来的结果减去门窗的面积即可求出需要刷的面积。
（2）用需要刷的面积除以5即可求出需要买多少千克涂料。
【详解】（1）4×3＋（4×3＋3×3）×2
＝12＋21×2
＝12＋42
＝54（平方米）
54－4＝50（平方米）
答：要刷的墙面和天花板共50平方米。
（2）50÷5＝10（千克）
答：需要买10千克涂料。
【点睛】本题主要考查长方体表面积公式，熟练掌握长方体表面积公式并灵活运用。
30．重合底面叠放在一起；600平方厘米
【分析】把两个长方体礼盒叠在一起，有3种叠放方式，重叠部分面积最大的叠法最省包装纸，即重叠底面时最省包装纸，据此解答。
【详解】因为三个面中底面最大，所以重合底面叠放在一起最省包装纸。
（15×10＋15×3×2＋10×3×2）×2
＝（150＋90＋60）×2
＝300×2
＝600（平方厘米）
答：最少需要600平方厘米的包装纸。
【点睛】最大面重合，得到的长方体的表面积最小；最小面重合，得到的长方体的表面积最大。
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