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苏教版六年级上册第一单元长方体和正方体（知识点梳理+能力百分练）五
知识点梳理
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点，叫作顶点。
2、①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形）;一般情况下，棱有3组，每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
3、物体所占空间的大小，是物体的体积。容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
4、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别记作厘米3、分米3和米3 。
5、常见的容积单位：毫升和升，分别用字母mL和L表示。
1升=1分米3(1 L=1 dm3)
1毫升=1厘米3(1 ml=1 cm3)
1升= 1000毫升(1 L= 1000 mL)
6、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。已知长方体的棱长总和及长、宽、高三项中的两项，求另外一项，用“棱长总和+4-已知的两项”。
7、正方体的棱长总和=棱长×12。已知正方体的棱长总和，求棱长，用“棱长总和÷12”。
8、正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，并且相对的面完全隔开。长方体的展开图是由6个长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的组合图形，相对的面完全相同且完全隔开。
9、由长方体或正方体的展开图判断哪两个面是一组相对的面，可以根据长方体或正方体展开图的特点去判断，也可以用实物折--折，直观地找一找。
10、长方体6个面的面积之和就是长方体的表面积。
11、长方体表面积的计算方法：
长方体的表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、正方体的表面积=棱长×棱长×6
13、在解决有关长方体或正方体表面积的实际问题时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量，有时不需要计算6个面的面积和。
14、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。正方体的体积=棱长×棱长×
棱长，用字母表示为V=a3。长方体(正方体)的体积还可以用底面积×高来计算，如果体积用V表示，底面积用S表示，高用h表示，那么长方体(正方体)通用的体积计算公式用字母表示为V=Sh。
15、已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得第三个量。V= Sh；S=；h=
16、相邻体积单位或容积单位之间的进率是1000。体积单位、容积单位之间的换算，把高级单位化成低级单位要乘进率，把低级单位化成高级单位要除以进率。
17、在测量不规则物体的体积时，升高的那部分水的体积(或水满杯时溢出的水的体积)就相当于不规则物体的体积。
能力百分练
一、选择题（共16分）
1．下面的物体中，体积比1立方分米大的是（ ）。
A．1个鸡蛋 B．1个篮球 C．1粒花生 D．1颗草莓
2．明明用一根长（ ）铁丝正好可以做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架。
A．210分米 B．36分米 C．72分米 D．214平方分米
3．如果有5根8厘米、10根10厘米的小棒，用其中的12根搭一个长方体，那么长方体的棱长总和为（ ）厘米。
A．110 B．112 C．140 D．92
4．大厅里有4根4米高的长方体柱子，底面均为边长为4分米的正方形。浇筑这些柱子需要（ ）立方米的混凝土，若给柱子的表面贴上瓷砖，则每根柱子贴瓷砖的面积是（ ）平方米。
A．0.64，0.64 B．2.56，6.4 C．0.64，2.56 D．0.64，25.6
5．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的（ ）倍，表面积扩大到原来的（ ）倍。
A．2；4 B．4；4 C．12；8 D．8；12
6．一个长方体正好能切成两个大小相同的正方体，正方体的棱长是a米，这个长方体的表面积是（ ）平方米。
A．12a B．12a C．10a D．10a
7．在一个长12厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体纸盒内，最多可以放棱长为3厘米的小正方体（ ）个。
A．21 B．16 C．20 D．18
8．一根长方体木料长2米，如果把它截成两根同样的1米长的长方体木料，表面积就增加4平方分米，这根木料原来的体积是（ ）。
A．80立方分米 B．40立方分米 C．8立方米 D．4立方米
二、填空题（共16分）
9．在括号里填上适当的单位名称。
一块橡皮的体积是5( )，一个药水瓶的容积是100( )。
10．0.06立方分米＝( )立方厘米 345毫升＝( )升
11．一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是( )cm。
12．一个长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是8厘米，这个长方体的最大的一个面的面积是( )平方厘米，最小的一个面的面积是( )平方厘米。
13．有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是( )米。
14．两个棱长2厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
15．把3个棱长为5cm的正方体拼接成一个长方体，这个长方体的体积是( )cm3；表面积比原来3个正方体的表面积的和减少了( )cm2。
16．一个底面是正方形的长方体的高是20厘米，侧面展开后正好是一个正方形，这个长方体的体积是( )立方厘米。
三、判断题（共8分）
17．1m2和1m3一样大。( )
18．长方体和正方体的棱长之和相等，那么它们的体积一定相等。( )
19．体积相等的两个立体图形表面积一定相等。( )
20．这个平面图形不能折成一个正方体。( )
四、计算题（共6分）
21．（6分）计算下列长方体和正方体的表面积。（单位：cm）
五、作图题（共6分）
22．（6分）刘恒宇同学在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图，但他不会画外盒的展开图，请你帮他在方格纸上画出这个火柴盒外盒的展开图。
六、解答题（共48分）
23．（6分）只列式，不计算。
一台柜式空调的外包装是一个长0.7米、宽0.6米、高1.8米的长方体纸箱，做这样一个纸箱至少需要硬纸板多少平方米？
24．（6分）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽3分米，高2分米。制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
25．（6分）一块长方形铁皮，长32厘米，宽24厘米，在它的四个角分别剪去边长为4厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。这个铁皮盒的容积是多少？
26．（6分）一间小仓库长15米，宽10米，高5米，门窗面积一共有18平方米。
（1）现在要粉刷这个仓库的四壁和顶面，粉刷的面积有多少平方米？
（2）这个仓库的容积是多少立方米？
27．（6分）一个长方体，如果高增加，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：先观察增加的表面是指哪些部分，再想办法求出正方体的棱长，即原长方体的长和宽）
28．（6分）如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，用子横竖各捆一道，打结处共用2分米。这根绳子长多少分米？
29．（6分）有一个长方体玻璃缸，长3分米，宽2分米。完全浸入一块不规则的石头后水深1.5分米，捞出这块石头后，水面下降了0.5分米。这块石头的体积是多少？
30．（6分）一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来减少48平立方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？
参考答案
1．B
【分析】根据生活经验、对体积单位和数据大小的认识，可知一个篮球的体积比1立方分米大。
【详解】A．根据生活实际，1个鸡蛋的体积在1立方厘米和1立方分米之间，与题意不符；
B．根据生活实际，1个篮球的体积比1立方分米大，符合题意；
C．根据生活实际，1粒花生的体积大约是1立方厘米，与题意不符；
D．根据生活实际，1颗草莓的体积在1立方厘米和1立方分米之间，与题意不符。
故答案为：B
【点睛】此题考查对体积单位的认识，在生活实际中，能够正确体验1立方厘米和1立方分米的大小，是解决此题的关键。
2．C
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式求出长方体的棱长总和，即可解答。
【详解】（7＋6＋5）×4
＝18×4
＝72（分米）
故答案为：C
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及棱长总和公式。
3．B
【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，最多有8条棱长相等，取8根10厘米、4根8厘米长的小棒，撘成长方体，再根据长方体总棱长公式：（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】（10＋10＋8）×4
＝（20＋8）×4
＝28×4
＝112（厘米）
故答案选：B
【点睛】本题考查长方体的特征，以及长方体棱长公式的应用。
4．B
【分析】混凝土的体积就是4根长方体柱子的体积之和，根据长方体的体积＝底面积×高，求出一根柱子的体积，再乘4即可；贴瓷砖的面积就是长方体的4个侧面的面积，即底面边长×高×4，代入数据计算即可。
【详解】4分米＝0.4米
0.4×0.4×4×4
＝0.16×4×4
＝0.64×4
＝2.56（立方米）；
0.4×4×4
＝1.6×4
＝6.4（平方米）
故选择：B
【点睛】此题考查了长方体表面积和体积的综合应用，学会把实际问题转化成数学问题，灵活运用计公式解答。
5．B
【分析】正方体棱长扩大到原来的几倍，底面积扩大到原来的倍数×倍数；表面积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。
【详解】2×2＝4，一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的4倍，表面积扩大到原来的4倍。
故答案为：B
【点睛】正方形面积＝边长×边长，正方体表面积＝边长×边长×6。
6．D
【分析】如图，长方体的长是2a米，宽和高都是a米，根据长方体表面积公式计算即可。
【详解】（2a×a＋2a×a＋a×a）×2
＝（2a ＋2a ＋a ）×2
＝5a ×2
＝10a （平方米）
故答案为：D
【点睛】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
7．B
【分析】先求出长方体的长能放几个棱长为3厘米的小正方体；长方体的宽能放几个棱长为3厘米的小正方体，高能放几个棱长为3厘米的小正方体，然后再相乘，就是这个长方体最多能放多少个小正方体。
【详解】12÷3＝4（个）
6÷3＝2（个）
8÷32＝2……2≈2（个）
4×2×2
＝8×2
＝16（个）
故答案选：B
【点睛】解答本题是求出长方体的每条棱可放几个小正方体的个数是关键。
8．B
【分析】将长方体木料截成两根，表面积增加了两个横截面，求出一个截面面积×长即可。
【详解】2米＝20分米
4÷2×20＝40（立方分米）
故答案为：B
【点睛】关键是灵活运用长方体体积公式，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高＝横截面×长。
9． 立方厘米/cm3 毫升/mL
【分析】根据生活经验，对体积单位、容积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可。
【详解】由分析可知：
一块橡皮的体积是5立方厘米，一个药水瓶的容积是100毫升。
【点睛】本题主要考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据大小，灵活的选择。
10． 60 0.345
【分析】单位换算：高级单位变低级单位，用乘法，乘进率；低级单位变高级单位，用除法，除以进率。进率：1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，以此解答。
【详解】0.06立方分米＝0.06×1000＝60立方厘米
345毫升＝345÷1000＝0.345升
【点睛】此题主要考查学生对体积单位和容积单位换算的应用。
11．3
【分析】因为“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，所以先用“80÷4”求出长方体一条长、宽和高的和，用长、宽、高的和减去长和宽即可求出高。
【详解】80÷4－10－7
＝20－10－7
＝3（cm）
【点睛】此题考查的目的是掌握长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法进行解答。
12． 48 30
【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，再根据长方形面积公式：S＝ab，代入数值把3个不同的面的面积算出，进行比较即可。
【详解】该长方体长和宽组成的面的面积为：6×5＝30（平方厘米）
该长方体长和高组成的面的面积为：6×8＝48（平方厘米）
该长方体高和宽组成的面的面积为：8×5＝40（平方厘米）
48＞40＞30，所以这个长方体的最大的一个面是由长和高组成的面，面积是48平方厘米，最小的面是由长和宽组成的面，面积是30平方厘米。
【点睛】本题考查了长方体的特征，需要知道一般的长方体是由3组相对不同的面组成的，熟悉长方形面积公式并且能够灵活运用，把3种不同的面面积求出后，比较大小即可。
13．12.8
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求出正方体的体积，由于熔铸成一个长方体，则长方体的体积＝正方体的体积，用体积除以横截面面积即可求出长方体的长，要注意换算单位。
【详解】80厘米＝8分米
8×8×8
＝64×8
＝512（立方分米）
512÷4＝128（分米）
128分米＝12.8米
所以这个长方体的长是12.8米。
【点睛】本题主要考查正方体和长方体的体积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。
14．40
【分析】根据题意可知，这个长方体的表面积等于两个正方体的表面积之和减去棱长2厘米正方体的两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此解答。
【详解】2×2×6×2－2×2×2
＝24×2－8
＝48－8
＝40（平方厘米）
【点睛】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式的灵活运用。
15． 375 100
【分析】由题意可知，把3个棱长为5cm的正方体拼接成一个长方体，该长方体的长为5×3＝15cm，宽为5cm，高为5cm，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数值进行计算即可；把3个正方体拼接成一个长方体，则表面积比原来减少了4个边长为5cm正方形的面积。
【详解】5×3×5×5
＝15×5×5
＝75×5
＝375（cm3）
5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。
16．500
【分析】由题意可知，这个长方体的底面是正方形，它的4个侧面是完全相同的长方形，把它的侧面展开后，正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高都是20厘米；首先根据正方形的周长公式C＝4a，求出底面边长，再根据长方体的体积公式V＝abh，或V＝Sh，计算出体积。
【详解】20÷4＝5（厘米）
5×5×20
＝25×20
＝500（立方厘米）
所以这个长方体的体积是500立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体的体积计算，解答关键是：根据长方体的侧面展开图的边长求出长方体的底面边长。
17．×
【分析】平方米是面积单位，立方米是体积单位，两者无法进行比较，所以题干说法错误。
【详解】1m2表示1平方米，平方米是面积单位，1m3表示1立方米，立方米是体积单位，面积单位和体积单位是无法进行比较的，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】明确平方米和立方米无法进行比较。
18．×
【分析】根据题意，我们可以用反例法进行解答，假设长方体和正方体的棱长和为24厘米，长方体的长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米，正方体的棱长为2厘米，根据长方体体积公式：长×宽×高，正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据，进行解答。
【详解】假设长方体和正方体的棱长和为24厘米，长方体的长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米，正方体的棱长为2厘米；
长方体体积：3×2×1
＝6×1
＝6（立方厘米）
正方体体积：2×2×2
＝4×2
＝8（立方厘米）
6＜8
长方体和正方体的棱长之和相等，那么它们的体积不一定相等。
原题干长方体和正方体的棱长之和相等，那么它们的体积一定相等，说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查长方体、正方体的特征以及体积公式的应用。
19．×
【详解】体积相等的两个立体图形表面积不一定相等。比如棱长是2厘米的正方体和长、宽、高分别是4厘米、2厘米和1厘米的长方体，体积都是8立方厘米，正方体的表面积是24平方厘米，长方体的表面积是28平方厘米。
故答案为：×
20．√
【分析】根据正方体展开图的11种特征进行判断，或运用空间想象力把这个平面图形折叠后，有两个面会重合，不能折成一个正方体。
【详解】根据正方体展开图的11种特征，这个平面图形不属于正方体展开图，不能折成一个正方体。
故答案为：√
【点睛】掌握正方体展开图的11种特征是解决此类问题的较简便方法。
21．长方体：88平方厘米；正方体：96平方厘米
【分析】根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解。
【详解】长方体表面积：（6×4＋6×2＋2×4）×2
＝（24＋12＋8）×2
＝44×2
＝88（平方厘米）
正方体的表面积：4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
22．见详解
【分析】由题意知，火柴盒的内盒是由5个面组成的，1个底面和4个侧面；火柴盒的内盒长是4格，宽是3格，高是1格；外盒是由4个面组成，外盒与内盒的长、宽、高的长度一一对应。据此画图。
【详解】由分析可得火柴盒的外盒展开图如下：
【点睛】此题主要考查长方体的展开图，关键是明确火柴盒的外盒是由4个面组成，内盒是由5个面组成。
23．（0.7×0.6＋0.7×1.8＋0.6×1.8）×2
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。
【详解】（0.7×0.6＋0.7×1.8＋0.6×1.8）×2
＝（0.42＋1.26＋1.08）×2
＝2.76×2
＝5.52（平方米）
答：做这样一个纸箱至少需要硬纸板5.52平方米。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
24．47平方分米
【分析】求制作这个鱼缸至少需要的玻璃面积就是求这个无盖长方体的表面积，据此结合长方体的表面积公式，列式求出需要的玻璃面积即可。
【详解】5×3＋5×2×2＋3×2×2
＝15＋20＋12
＝47（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要玻璃47平方分米。
【点睛】本题考查了长方体的表面积，解题关键是要明确求哪几个面的面积，避免多算。
25．1536立方厘米
【分析】如图，长方形铁皮的长－正方形边长×2＝长方体的长，长方形铁皮的宽－正方形边长×2＝长方体的宽，长方体的高＝正方形边长，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁皮盒容积即可。
【详解】32－4×2
＝32－8
＝24（厘米）
24－4×2
＝24－8
＝16（厘米）
24×16×4
＝384×4
＝1536（立方厘米）
答：这个铁皮盒的容积是1536立方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。
26．（1）382平方米；（2）750立方米
【分析】（1）粉刷的面积＝仓库的顶面面积＋四面墙壁的面积－门窗的面积，据此列式解答即可；
（2）用长×宽×高求出仓库的容积．列式解答即可。
【详解】（1）15×10＋15×5×2＋10×5×2－18
＝150＋150＋100－18
＝400－18
＝382（平方米）
答：粉刷的面积有382平方米。
（2）15×10×5
＝150×5
＝750（立方米）
答：这个仓库的容积是750立方米。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积、体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是明白：需要粉刷的面积由哪几部分组成。
27．384立方厘米
【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（56÷4）÷2＝8厘米，由于长比高多2厘米，那么高：：8－2＝6厘米，再根据长方体的体积公式：V＝abh，解答即可。
【详解】56÷4÷2
＝14÷2
＝8（厘米）
高：8－2＝6（厘米）
8×8×6
＝64×6
＝384（立方厘米）
答：原来长方体的体积是384立方厘米。
【点睛】此题解答关键是求出长方体的长、宽，再求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可。
28．30分米
【分析】由题意知：这根包装绳子相当长方体的两个长、两个宽、四个高的和再加2分米。据此解答。
【详解】5×2＋3×2＋3×4
＝10＋6＋12
＝16＋12
＝28（分米）
28＋2＝30（分米 ）
答：这根绳子长30分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法及应用，关键是根据捆扎的方式弄清求哪几条棱的长度和。
29．3立方分米
【分析】不规则石头的体积即下降的水的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，即可列式解答。
【详解】3×2×0.5
＝6×0.5
＝3（立方分米）
答：这块石头的体积是3立方分米。
【点睛】解答本题的关键是理解石头的体积即下降水的体积。
30．112立方厘米
【分析】根据高减少3厘米，就变成了一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少48平方厘米，48÷4÷3＝4厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后4＋3＝7厘米求出原长方体的高，再根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】减少的面的宽（剩下正方体的棱长）：48÷4÷3＝4（厘米）；
原长方体的高：4＋3＝7（厘米）；
原长方体体积为：
4×4×7
＝16×7
＝112（立方厘米）
答：原来长方体体积是112立方厘米。
【点睛】根据高减少3厘米后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为3厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的体积的计算方法即可求解。
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