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二次函数综合—线段最大值
函数基础技能1点坐标表示
1、和坐标轴平行的直线上点的坐标特征
位于平行于y轴的直线上的各点的x坐标相同。
位于平行于x轴的直线上的各点的y坐标相同。
2、平面直角坐标系中点坐标的表示方法（代入思想）
（1）x轴上的点y坐标为0
（2）y轴上的点x坐标为0
（3）点在直线上，代入一次函数的解析式
（4）点在抛物线上代入二次函数的解析式
例1.如图,点 P在直线y=-3x-1上,设点P的横坐标为t，则点 P的坐标可表示为（t，-3t-1）.
解析：P点的横坐标为t，P在直线y=-3x-1上，所以P点满足函数的解析式，x=t直接代入得y=-3t-1；
所以，P的坐标为（t，-3t-1）
例2. 如图，点P在抛物线y=x +3x-1.上，设点 P的横坐标为 m，则点P的坐标可表示为_.
解析：点P在抛物线y=x +3x-1.上且 P的横坐标为 m
把x=m代入函数解析式y=m +3m-1
得P(m,m +3m-1)
同类题专练
练习1.如图，抛物线y=-x +3x+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P是线段BC上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与抛物线交于点 Q,点 P的横坐标为 t.
(1)点D的坐标表示为 ；
(2)点Q的坐标表示为 ；
(3)点P的坐标表示为 .
函数基础技能2线段长的表示
垂直于坐标轴的线段长表示:
1.与x轴垂直的线段的长度：线段两端点的纵坐标相减(上减下);
2.与y轴垂直的线段的长度：线段两端点的横坐标相减(右减左)线段最值；
例3．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
则：a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，
解得，
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，
则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3），
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；
同类型题专项练习
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点．
(1)求的值及B，C两点坐标；
(2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点．当线段的长取最大值时，求点的坐标；
2．已知抛物线（a为常数，）交x轴于点A（6，0），点，交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；
3．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．若点N在线段上，且，求点M的坐标；
二、线段问题延伸-面积问题
1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
(3)抛物线上是否存在点使得？如果存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．
(1)求D点的坐标；
(2)连接，说明；
(3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
3．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点横坐标为，且是抛物线上的点，求四边形面积；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于点和点，交y轴于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴，交直线于点Q．
①当点P在何位置时，面积S最大？最大面积是多少？
②抛物线上是否存在点P，使以P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标．

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