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第一章
充分条件,必要条件,充要条件
充分条件,必要条件
1.1
充要条件
1.2
1.1
充分条件,必要条件
充分条件,必要条件
1.1
观察
下面所说的事情是真还是假？
(1）太阳从东边出来.
(2）雪是黑的.
(3) .
(4)是自然数.
抽象
上面所说的事情,（1）和（3）是真的,（2）和（4）是假的．
能够判断真假的陈述句叫作命题．
如果一个命题叙述的事情是真的,就说它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的,就说它是假命题．
1.1
充分条件,必要条件
是命题吗？如果表示的数大于 5,那么这句话是真的；如果表示的数小于或等于5,那么这句话是假的．因此不是命题．由于当表示的数明确时,的是确定的,因此我们今后对命题作进一步讨论时,允许包括像这样的陈述句,只是要记住：它的真假性随表示的数而定．
在数学中,对于含有字母的陈述句,当字母表示的数的范围明确时,就能判断它是真还是假,这时这个陈述句是命题．例如,“对于任意实数,都有”这句话是真的,它是真命题．又如,“对于任意实数,都有这句话是假的,它是假命题,这是因为当时,,此时不会大于0.
为简便起见,命题常用小写英文字母,,,…来记．例如
,
意思是命题为＂”．
1.1
充分条件,必要条件
观察
命题 “如果是自然数,那么是整数”是真还是假？
由于每一个自然数都是整数,因此上述命题为真．此时我们把“是自然数”称为条件,把“是整数”称为结论.
1.1
充分条件,必要条件
用联结词把一些命题连接起来构成的新命题称为复合命题．
用联结词“如果,那么”连接两个命题和,构成复合命题“如果,那么”．从为真出发,通过逻辑推理得出为真,则“如果,那么”为真,习惯上说成“推出”,记作“”.这时把称为条件,把称为结论．这种做法就是通常的证明．
抽象
1.1
充分条件,必要条件
1
判断下列复合命题是真还是假．
（1）如果，那么;
（2）如果且，那么.
（1）如果，那么.因此复合命题“如果，那么”为真．
（2）如果且，那么.因此复合命题“如果且，那么”为真．
例
解
1.1
充分条件,必要条件
2
判断复合命题“如果，那么”是真还是假．
取,，则.但是，因此复合命题“如果，那么”为假．
例
解
评注 从例2看到，对于复合命题“如果，那么”，找出一个使为真而为假的例子，则“如果，那么”为假．这种做法叫作举反例．
1.1
充分条件,必要条件
观察
我们用大圆圈的内部表示整数集，用小圆圈的内部表示自然数集，如图1.1-1所示．复合命题“如果是自然数，那么是整数”为真，于是，“是自然数是整数”．是自然数，在图中的小圆圈内，当然在大圆圈内，从而可以说：“是自然数”是“是整数”的充分条件．要进入图中的小圆圈内，就必须进入大圆圈内，从而可图1.1-1以说：“是整数”是“是自然数”的必要条件．
1.1
充分条件,必要条件
一
当复合命题“如果，那么”为真时，有
,
这时我们称是的充分条件，称是的必要条件．
抽象
3
是的什么条件？是的什么条件？
例
由于复合命题“如果，那么”为真，因此有
,
从而是的充分条件，是的必要条件．
解
1.1
充分条件,必要条件
4
一
且是的什么条件？是且的什么条件？
由于复合命题“如果且，那么”为真，因此有
,
从而的充分条件，是的必要条件．
例
解
1.1
充分条件,必要条件
5
一
“一个四边形是正方形”是“这个四边形是矩形”的什么条件？
“一个四边形是矩形”是“这个四边形是正方形”的什么条件？
由于复合命题“如果一个四边形是正方形，那么这个四边形是矩形”为真，因此有
，
从而“一个四边形是正方形”是“这个四边形是矩形”的充分条件，“一个四边形是矩形”是“这个四边形是正方形”的必要条件．
例
解
1.1
充分条件,必要条件
6
一
设一幢楼房里没有电梯，“一个人上楼”是“他走楼梯”的什么条件？“一个人走楼梯”是“他上楼”的什么条件？
若一幢楼房里没有电梯，由于复合命题“如果一个人上楼，那么他走楼梯”为真，因此有
.
从而“一个人上楼”是“他走楼梯”的充分条件，“一个人走楼梯”是“他上楼”的必要条件．
例
解
1.1
充分条件,必要条件
7
一
是的什么条件？是的什么条件？
由于复合命题“如果，那么”为真，因此有
,
从而是的充分条件，是的必要条件．
例
解
1.1
充分条件,必要条件
1.2
充要条件
充要条件
2
观察
设一幢楼房里没有电梯，下列两个复合命题都是真的吗？
(1）如果一个人上楼或下楼，那么他走楼梯；
(2）如果一个人走楼梯，那么他上楼或下楼．
1.2
2
由于这幢楼房里没有电梯，因此命题（1）和命题（2）都是真的．从而有
(1)
(2)
从（1）式得，
“一个人走楼梯”是“他上楼或下楼”的必要条件．
从（2）式得，
“一个人走楼梯”是“他上楼或下楼”的充分条件．
因此，“一个人走楼梯”是“他上楼或下楼”的充分必要条件，简称为充要条件．换句话说，“一个人上楼或下楼”的充要条件是“他走楼梯”.
1.2
充要条件
2
定义1 当复合命题“如果，那么”与“如果，那么”都为真时，我们称的充要条件是.
根据定义1，我们想证明的充要条件是时，需要两个步骤：
步骤1 证明复合命题“如果，那么”为真，这是在证明是的必要条件，简称为必要性．
步骤2 证明复合命题“如果，那么”为真，这是在证明是的充分条件，简称为充分性．
抽象
1.2
充要条件
2
定义3 当的充要条件是时，我们称当且仅当.这里，“当”的意思是“是的充分条件”；而“仅当”的意思是“是的必要条件”．
实数集有一条重要性质：
如果，那么或.






定义2 当的充要条件是时，我们称与等价，记作.

1.2
充要条件
1
2
证明的充要条件是或.
必要性.根据实数集的上述重要性质，复合命题“如果，那么或”为真．
充分性.若，则；若，则.因此复合命题“如果或，那么”为真．
综上所述，根据定义1得，的充要条件是或.
例
证明
1.2
充要条件
2
2
证明的充要条件是.
必要性.若，则根据实数集的重要性质得，，从而.
充分性.若，则.
综上所述，的充要条件是.
例
证明
1.2
充要条件
3
2
证明的充要条件是或.
必要性.若，则，从而.根据实数集的重要性质得，或，因此或.
充分性.若，则；若，则.
综上所述，的充要条件是或.
例
证明
1.2
充要条件
4
2
证明的充要条件是或.
必要性.若，则，从而，于是.根据例3得，或.
充分性.若，则；若，则.
综上所述，的充要条件是或.
例
证明
1.2
充要条件
5
2
证明或.
必要性.若，则根据实数集的重要性质得，或，从而或.
充分性．若，则
;
若，则
.
综上所述，或.
例
证明
1.2
充要条件
6
2
证明：如果实数，满足，那么且.
用反证法．假如或，则是一个正数与一个非负数的和，从而，与己知条件矛盾．因此且.
例
证明
评注 在证明复合命题“如果，那么”为真时，若从为真出发难以推出为真，则可以采用反证法：从命题的否定形式出发（例如，例6中“且”的否定形式是“或”），然后利用已知条件或有关的结论，经过逻辑推理得出矛盾（在例6中是与己知条件矛盾），则“如果，那么”为真．
1.2
充要条件

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