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二次函数的图象【六大题型】
TOC \o "1-2" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc20696" 【题型1 二次函数的配方法】 1
HYPERLINK \l "_Toc18664" 【题型2 二次函数的五点绘图法】 3
HYPERLINK \l "_Toc18907" 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 6
HYPERLINK \l "_Toc5707" 【题型4 二次函数图象的平移变换】 7
HYPERLINK \l "_Toc25364" 【题型5 二次函数图象的对称变换】 8
HYPERLINK \l "_Toc18073" 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 9
【知识点1 二次函数的配方法】
①提取二次项系数；
②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
④化简：去掉中括号.
二次函数的一般形式配方成顶点式，由此得到二次函数对称轴为，顶点坐标为．
【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（2022秋 饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）yx2﹣2x+3；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【变式1-1】（2022 西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【变式1-2】（2021 邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值．
（1）y＝﹣2x﹣3x2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【变式1-3】（2022 监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题
例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．
（1）当x＝　　时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最　　（填写大或小）值为　　．
（2）当x＝　　时，代数式﹣x2+4x+4有最　　（填写大或小）值为　　．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【知识点2 二次函数的五点绘图法】
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【例2】（2022 东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当x＝6时，求y的值；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【变式2-1】（2022 竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出该抛物线顶点坐标．
（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …
【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【变式2-3】（2022 越秀区模拟）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；
（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．
【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例3】（2022春 玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022 邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022 凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022 澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2
【知识点4 二次函数图象的平移变换】
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【题型4 二次函数图象的平移变换】
【例4】（2022 绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝　　．
【变式4-1】（2022 澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式4-2】（2022秋 滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 　　．
【变式4-3】（2022 澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．6
【知识点5 二次函数图象的对称变换】
（1）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（2022 绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（　　）
A．﹣5 B．3 C．5 D．15
【变式5-1】（2022 苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 　　　　　　．
【变式5-2】（2022 蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【变式5-3】（2022春 仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣2 C．1或3 D．1或2
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
【例6】（2022 苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝0
【变式6-1】（2022 合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于　　．
【变式6-2】（2022 襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 　　．
【变式6-3】（2022 公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m的值．
（1）图象的顶点在y轴上．
（2）图象的顶点在x轴上．
（3）二次函数的最小值是﹣1．
二次函数的图象【六大题型】
TOC \o "1-2" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc20696" 【题型1 二次函数的配方法】 1
HYPERLINK \l "_Toc18664" 【题型2 二次函数的五点绘图法】 5
HYPERLINK \l "_Toc18907" 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 9
HYPERLINK \l "_Toc5707" 【题型4 二次函数图象的平移变换】 12
HYPERLINK \l "_Toc25364" 【题型5 二次函数图象的对称变换】 14
HYPERLINK \l "_Toc18073" 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 16
【知识点1 二次函数的配方法】
①提取二次项系数；
②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
④化简：去掉中括号.
二次函数的一般形式配方成顶点式，由此得到二次函数对称轴为，顶点坐标为．
【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（2022秋 饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）yx2﹣2x+3；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：（1）yx2﹣2x+3
（x﹣2）2+1，
开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）
＝﹣2x2+x+1
＝﹣2（x）2，
开口向下，对称轴是直线x，顶点坐标（，）．
【变式1-1】（2022 西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【分析】（1）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
（2）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
（3）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
（4）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，
对称轴为x＝2，
顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+7＝﹣3（x+1）2+10，
对称轴为x＝﹣1，
顶点坐标为（﹣1，10）；
（3）y＝2x2﹣12x+8＝2（x2﹣6x+9﹣9）+8＝2（x﹣3）2﹣10，
对称轴为x＝3，
顶点坐标为（3，﹣10）；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）＝﹣3（x2﹣2x﹣15）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1﹣15）＝﹣3（x﹣1）2，
对称轴为x＝1，
顶点坐标为（1，）．
【变式1-2】（2021 邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值．
（1）y＝﹣2x﹣3x2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的顶点坐标及最值．
【解答】解：（1）y＝﹣2x﹣3x2
（x2﹣4x+4）﹣2﹣3
（x﹣2）2﹣5，
顶点坐标是（2，﹣5），最小值是﹣5；
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
＝﹣2（x2x）7
＝﹣2（x）2，
顶点坐标是（，），最大值是；
（3）y＝ax2+bx+c
＝a（x2x）c
＝a（x）2，
顶点坐标是（，），
当a＜0时，最大值是；当a＞0时，最小值是．
【变式1-3】（2022 监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题
例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．
（1）当x＝　2　时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最　大　（填写大或小）值为　4　．
（2）当x＝　2　时，代数式﹣x2+4x+4有最　大　（填写大或小）值为　8　．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x＝2时，代数式的最大值为4；
（2）将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；
（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为14m，表示出平行于墙的一边为（14﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，（x﹣2）2的最小值为0，
则当x＝2时，代数式﹣3（x﹣2）2+4的最小值为4；
（2）代数式﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，
则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+4的最大值为8；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（14﹣2x）m，
∴花园的面积为x（14﹣2x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2﹣7x）2（x）2，
则当边长为3.5米时，花园面积最大为m2．
故答案为：（1）2，大，4；
（2）2，大，8；
【知识点2 二次函数的五点绘图法】
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【例2】（2022 东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当x＝6时，求y的值；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系数法即可解决问题．
（2）把x＝6代入（1）中的解析式即可．
（3）利用描点法画出图象即可．
【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵x＝0时，y＝5，
∴5＝4a+1，
∴a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5．
（2）当x＝6时，y＝（6﹣2）2+1＝17．
（3）函数图象如图所示，
．
【变式2-1】（2022 竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出该抛物线顶点坐标．
（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
（2）利用描点法画出二次函数的图象．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
．
【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【分析】（1）直接把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（2）根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2得a﹣2＝1，解得a＝3，
所以抛物线解析式为y＝3x2﹣2；
（2）如图：
（3）抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，﹣2），对称轴为y轴．
【变式2-3】（2022 越秀区模拟如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；
（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．
【分析】（1）根据图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，把两点代入即可求出b和c，
（2）把二次函数写成顶点坐标式，据此写出顶点坐标，对称轴等，
（3）在坐标轴中画出图象即可．
【解答】解：（1）∵的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，
∴，解得b＝4，c＝﹣6，
∴这个二次函数的解析式为，
（2）（x2﹣8x+16）+8﹣6（x﹣4）2+2，
∴二次函数图象的顶点坐标为（4，2）、对称轴为x＝4、
二次函数图象与x轴相交时：0（x﹣4）2+2，
解得：x＝6或2，
∴另一个交点为：（6，0），
（3）作图如下．
【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例3】（2022春 玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
【变式3-1】（2022 邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，
故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【变式3-2】（2022 凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x在y轴的右侧，交y轴的负半轴，
∴B选项正确，
故选：B．
【变式3-3】（2022 澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】可根据函数的对称轴，以及当x＝0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．
【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣4，
∴x，
因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图不正确．
二，三两个图都过原点，
∴m2﹣4＝0，
m＝±2．
第二个图中m＞0，开口才能向上．
对称轴为：x0，
所以m可以为2．
第三个图，m＜0，开口才能向下，
x0，而从图上可看出对称轴大于0，从而m＝﹣2不符合题意．
故选：A．
【知识点4 二次函数图象的平移变换】
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【题型4 二次函数图象的平移变换】
【例4】（2022 绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝　3　．
【分析】先得到抛物线y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），通过点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式，再把解析式化为一般式即可得到a、b和c的值．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+5，
∴顶点坐标为（3，5），
把点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），
∴原抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝4．
∴a+b+c＝3，
故答案为3．
【变式4-1】（2022 澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【分析】根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），
所以将顶点（3，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点（2，3），
即将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象．
故选：C．
【变式4-2】（2022秋 滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 　2　．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【变式4-3】（2022 澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．6
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式，利用待定系数法求得k的值．
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴2．
解得a＝3．
则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．
∴抛物线向下平移k个单位后经过（0，﹣1），
∴﹣1＝3﹣k．
∴k＝4．
故选：B．
【知识点5 二次函数图象的对称变换】
（1）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（2）关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（2022 绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（　　）
A．﹣5 B．3 C．5 D．15
【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，
∴﹣y＝﹣x2﹣（2a﹣b）x﹣b﹣1，
∴，
解得a＝0，b＝3，
∴a+b＝3，
故选：B．
【变式5-1】（2022 苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 　y＝﹣（x﹣2）2　．
【分析】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2顶点坐标为（﹣2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），
∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．
【变式5-2】（2022 蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】先利用配方法得到抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），再写出点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），由于旋转180°，抛物线开口相反，于是得到抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），
所以抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
【变式5-3】（2022春 仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣2 C．1或3 D．1或2
【分析】先求出抛物线L1的顶点坐标，再根据顶点相距8个单位长度列方程即可解得答案．
【解答】解：∵y＝kx2+4kx+8＝k（x+2）2+8﹣4k，
∴抛物线L1：y＝kx2+4kx+8顶点为（﹣2，8﹣4k），
∵抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，它们的顶点相距8个单位长度，
∴8﹣4k或8﹣4k，
解得k＝1或k＝3，
故选：C．
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
【例6】（2022 苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝0
【分析】把（0，0）代入函数解析式求出a的值，再由a﹣1≠0求解．
【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1得0＝a2﹣1，
解得a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1，
故选：C．
【变式6-1】（2022 合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于　7或15　．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，可知顶点的纵坐标的绝对值是4，然后计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，
∴||＝4，
解得c1＝7，c2＝15，
故答案为：7或15．
【变式6-2】（2022 襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 　4　．
【分析】根据题意得出b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入即可求得n的值．
【解答】解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
∴，
∴b＝﹣2（m+1），
∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴b2﹣4c＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，
∴c＝（m+1）2，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
把A的坐标代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，
故答案为：4．
【变式6-3】（2022 公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m的值．
（1）图象的顶点在y轴上．
（2）图象的顶点在x轴上．
（3）二次函数的最小值是﹣1．
【分析】（1）将二次函数配方成顶点式y＝（x）2，由图象的顶点在y轴上可得0，即m＝0；
（2）由图象的顶点在x轴上可得0，解之即可；
（3）由二次函数的最小值是﹣1可得1，解之即可．
【解答】解：（1）y＝x2+mx+m﹣1＝x2+mxm﹣1＝（x）2，
∴抛物线的顶点坐标为（，）
∵图象的顶点在y轴上，
∴0，即m＝0；
（2）∵图象的顶点在x轴上，
∴0，
解得m＝2；
（3）∵二次函数的最小值是﹣1，
∴1，
解得：m＝0或m＝4．
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