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二次函数的应用【九大题型】
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HYPERLINK \l "_Toc5948" 【题型1 图形面积或周长问题】 1
HYPERLINK \l "_Toc15806" 【题型2 图形运动问题】 4
HYPERLINK \l "_Toc13025" 【题型3 拱桥问题】 7
HYPERLINK \l "_Toc26096" 【题型4 销售问题】 10
HYPERLINK \l "_Toc28685" 【题型5 投球问题】 12
HYPERLINK \l "_Toc6085" 【题型6 喷水问题】 16
HYPERLINK \l "_Toc32418" 【题型7 增长率问题】 20
HYPERLINK \l "_Toc24429" 【题型8 车过隧道问题】 22
HYPERLINK \l "_Toc11930" 【题型9 行程问题】 25
【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型1 图形面积或周长问题】
【例1】（2022秋 越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【变式1-1】（2022 永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【变式1-2】（2022秋 清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8．
（1）当x＝　　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　　．
（2）当x＝　　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　　．
（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？
【变式1-3】（2022 市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为300元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200元/米2，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值．
（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：2．
①求MF，FN的长．
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米2，90元/米2，180元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值．
【题型2 图形运动问题】
【例2】（2022秋 利川市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q两点同时从点B、D出发，分别沿BA、DA方向匀速运动（当P运动到A时，P、Q同时停止运动），已知P点的速度比Q点大1cm/s，设P点的运动时间为x秒，△PAQ的面积为ycm2，
（1）经过3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的时，求P、Q两点的运动速度分别是多少？
（2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
【变式2-1】（2022 巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
【变式2-2】（2022秋 丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm2？
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
【变式2-3】（2022秋 杭州期末）如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，以1cm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动．若设运动时间为x（s），问：
（1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；
（2）若正方形ABCD的边长为2cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3cm2．
【题型3 拱桥问题】
【例3】（2022 海曙区校级开学）图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为　 ．
【变式3-1】（2022秋 西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）
【变式3-2】（2022秋 诏安县校级月考）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用yx2x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
（3）写出如图抛物线的表达式？
【变式3-3】（2022秋 袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为yx2+c且过顶点C（0，8）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不计损耗）
（3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F位置安装两盏LED灯，且点E的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED灯距离水面AB的高度．
【知识点2 销售问题中的常用公式】
（1）利润=售价-进价=进价×利润率
（2）利润率 =
（3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本）
【题型4 销售问题】
【例4】（2022秋 平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1﹣8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 　5　月份出售这种药材获利最大．
月份 … 3 6 …
每千克售价 … 8 6 …
【变式4-1】（2022秋 舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？
【变式4-2】（2022秋 椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额P（万元）等于市场销售量y与市场价格x的乘积．当市场价格x取何值时，市场销售额P取得最大值？
（3）蜜桔的每斤进价为m元，若当3≤x≤10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出m的取值范围．
【变式4-3】（2022 庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件） 40 45
月销售量y（件） 300 250
月销售利润w（元） 3000 3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【题型5 投球问题】
【例5】（2022 威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．
（1）a的值为 　　；点B的横坐标为 　 　；
（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．
①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；
②求弹力球第二次着地点到点O的距离；
③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．
【变式5-1】（2022 六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
【变式5-2】（2022 巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
【变式5-3】（2022 潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（，），点B的横坐标为，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
【题型6 喷水问题】
【例6】（2022 西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　　；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【变式6-1】（2022 安徽模拟）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx．
（1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k＝3，a，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
【变式6-2】（2022 河北模拟）音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+2．但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离．
（1）喷出的水流抛物线与抛物线y＝ax2的形状相同，则a＝　　；
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，求水流抛物线的解析式；
（3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）对于水流抛物线y＝﹣x2+bx+2．当b＝b1时，落在水面的落点坐标为M（m，0），当b＝b2时，落在水面的落点坐标为N（n，0），点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较b1与b2的大小．
【变式6-3】（2022 新昌县模拟）某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？
【题型7 增长率问题】
【例7】（2022 武汉模拟）战疫扶贫两手抓，多措并举促增收．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6的人均月纯收入，汇总如下：
月份代码 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 310 350 390 430 470 510
根据分析，发现该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间具有较强的一次函数关系（记2019年1月、2月、…、2020年1月、……分别为x＝1，x＝2，…，x＝13，…，依此类推）．
但2020年1月突如其来的新型冠状病毒感染的肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月人均月纯收入只有2019年12月的预估值的三分之二．根据以上信息，完成以下问题．
（1）求该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间的函数关系式．
（2）若疫情没有爆发，2020年该家庭是否能实现小康？
（3）若2020年3月初开始，在当地党员干部的扶持下，该家庭的人均月纯收入y与月份代码x之间满足二次函数y＝x2+bx+c的关系．若该家庭2020年12月人均月纯收入可达到1400元以上，求b的最小值．
（4）若以该家庭2020年3月人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a，为了使该家庭2020年能实现小康，a至少为多少？（结果保留两位小数）
参考数据：62.81，1.1510≈4.05
参考公式：1+x+x2+…+x9；（1+a）10≈1+10a+45a2+120a3（|a|＜0.15）．
【变式7-1】（2022 弥勒市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝72（1﹣x） B．y＝36（1﹣x） C．y＝36（1﹣x2） D．y＝36（1﹣x）2
【变式7-2】（2021秋 西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【变式7-3】（2022 滨州校级月考）2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预测年销售增长率为0.6x．（年利润＝（出厂价﹣成本价）×年销售量）
（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系．
（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？
【题型8 车过隧道问题】
【例8】（2022 太原二模）如图1，在某段公路上有一条双行线隧道（可双向行驶）．隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成，如图2是它的示意图，隧道宽度AB＝8m，内壁两侧各留有1m宽的安全带，顶部最高处距路面6m，矩形的宽AD＝2m．
（1）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少要0.5m，求一辆宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为多少？
（2）若有一辆宽为5.5m的超宽箱式工程车欲通过该隧道，其顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差不小于10cm，在实行交通管制后，求这辆车单向通过该隧道的限高应为多少？（结果精确到1m）
【变式8-1】（2022秋 始兴县校级期中）一拱形隧道的轮廓是抛物线如图，拱高6m，跨度20m，
（1）建立适当的直角坐标系，求拱形隧道的抛物线关系式
（2）拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【变式8-2】（2022 长春校级模拟）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．正在修建的庙垭隧道的截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线车道，即左右各5米宽的车道．
（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏灯的位置；
（3）为保证行车安全，要求行驶车辆顶部（假设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米，现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否安全通过这个隧道？请说明理由．
【变式8-3】（2022 东城区校级月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【题型9 行程问题】
【例9】（2022 宝应县三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求v关于x的函数表达式；
（2）求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4000辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【变式9-1】（2022 定海区模拟）在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t（秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．
（1）求a的值；
（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；
（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）
（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．
【变式9-3】（2022 温岭市一模）当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速80千米/小时．在一般条件下，高架桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20时，桥上畅通无阻，车流速度都为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤180时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤20和20≤x≤180时，分别写出函数v关于x的函数关系式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）w＝x v可以达到最大，并求出最大值；
（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持40千米/小时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车？
二次函数的应用【九大题型】
TOC \o "1-3" \h \u
HYPERLINK \l "_Toc5948" 【题型1 图形面积或周长问题】 1
HYPERLINK \l "_Toc15806" 【题型2 图形运动问题】 6
HYPERLINK \l "_Toc13025" 【题型3 拱桥问题】 10
HYPERLINK \l "_Toc26096" 【题型4 销售问题】 14
HYPERLINK \l "_Toc28685" 【题型5 投球问题】 18
HYPERLINK \l "_Toc6085" 【题型6 喷水问题】 24
HYPERLINK \l "_Toc32418" 【题型7 增长率问题】 30
HYPERLINK \l "_Toc24429" 【题型8 车过隧道问题】 33
HYPERLINK \l "_Toc11930" 【题型9 行程问题】 38
【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型1 图形面积或周长问题】
【例1】（2022秋 越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴ax+10，3ax+30，
∴y＝（x+30）xx2+30x，
∵ax+10＞0，
∴x＜40，
则yx2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵yx2+30x（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
【变式1-1】（2022 永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据AB＝x米可知BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252．
解这个方程得：x1＝18，x2＝14，
答：x的长度18m或14m．
（2）设周围的矩形面积为S，
则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米，
∴6≤x≤15．
∴当x＝15时，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．
答：花园面积的最大值是255平方米．
【变式1-2】（2022秋 清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8．
（1）当x＝　3　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　5　．
（2）当x＝　﹣1　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　1　．
（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）类比例子得出答案即可；
（2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可；
（3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题．
【解答】解：（1）在代数式﹣2（x﹣3）2+5中，当x＝3时，有最大值5，
故答案为：3、5；
（2）∵2x2+4x+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+1，
∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+3有最小值为1，
故答案为：﹣1、1；
（3）设AD＝x，则AB＝14﹣（x+x﹣1）+1＝16﹣2x，
∵S＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，
∴当AD＝4m时，面积最大值为32m2．
【变式1-3】（2022 市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为300元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200元/米2，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值．
（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：2．
①求MF，FN的长．
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米2，90元/米2，180元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值．
【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种草坪的面积，再根据“总价不超过43600元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；
（2）①设AB＝a，EF＝b，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得．
【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2），
由题意得：300S+200（192﹣S）≤43600，
解得：S≤52，
故S的最大值为52米2；
（2）①设AB＝a，EF＝b，
∵四边形ABCD和EFGH均为正方形，
∴AD＝AB＝a，FG＝EF＝b，
∴MF＝AD+EF﹣16＝a+b﹣16，
FN＝AB+FG﹣12＝a+b﹣12，
又∵，
∴，
解得：a+b＝20，
∴MF＝20﹣16＝4（米），FN＝20﹣12＝8（米），
答：MF的长为4米，FN的长为8米；
②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a，
∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，
DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，
BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4NG＝12﹣AB＝12﹣a，
则由题意得：
w＝180（16﹣a）（a﹣8）+90×4×8+180（12﹣a）（a﹣4）＝﹣360（a﹣10）2+7200，
又∵BNME且AB＜12，
∴a﹣4（16﹣a）且a＜12，
解得：a＜12，
由二次函数的性质可知，当a＜12时，W随a的增大而减小，
则当a时，w取得最大值，最大值为﹣360×（10）2+7200＝7040（元）．
答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为7040元．
【题型2 图形运动问题】
【例2】（2022秋 利川市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q两点同时从点B、D出发，分别沿BA、DA方向匀速运动（当P运动到A时，P、Q同时停止运动），已知P点的速度比Q点大1cm/s，设P点的运动时间为x秒，△PAQ的面积为ycm2，
（1）经过3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的时，求P、Q两点的运动速度分别是多少？
（2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
【分析】（1）设Q点的运动速度为vcm/s，则P的运动速度为（v+1）cm/s，得出DQ＝3v，BP＝3（v+1），根据3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的列出方程求解可得；
（2）根据题意知BP＝（4）x，DQ＝（3）x，由矩形面积公式可得函数解析式，根据AP≥0得出x的范围．
【解答】解：（1）设Q点的运动速度为vcm/s，则P的运动速度为（v+1）cm/s，
则DQ＝3v，BP＝3（v+1），
由题意得： [12﹣3（v+1）] （9﹣3v）9×12，
解得：v＝3或v＝3，
又3（v+1）≤12，
∴v≤3，
∵33，舍去，
故点Q的运动速度为3cm/s，点P的运动速度为4cm/s；
（2）当点Q的运动速度为3cm/s，点P的运动速度为4cm/s时，
BP＝（4）x，DQ＝（3）x，
∴y[12﹣（4）x] [9﹣（3）x]
x2x+54，
∵9﹣（3）x≥0，
∴0≤x．
【变式2-1】（2022 巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
【解答】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：S（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．
【变式2-2】（2022秋 丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm2？
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5cm2
（2）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ以及二次函数最值便可求出t＝1.75s时△PCQ的面积最大．
【解答】解：（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据；
解得t＝1或t（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQ（7﹣2t）×5t＝15
解得t1＝2，t2＝1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，
S△PCQPC×CQ（7﹣2t）×5t（﹣2t2+7t）
当t时，即t1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQPC×CQ（7﹣2×1.75）×5×1.752＝
当时间为1.75秒时，最大面积为．
【变式2-3】（2022秋 杭州期末）如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，以1cm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动．若设运动时间为x（s），问：
（1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；
（2）若正方形ABCD的边长为2cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3cm2．
【分析】（1）用全等或利用勾股定理计算都可得到HE＝EF＝FG＝GH，说明∠G＝90°，得四边形EFGH是正方形；
（2）设运动时间为x（s），则直角△AHE中，AH＝x，AE＝2﹣x．根据勾股定理即可求得HE的长，再根据正方形的面积公式即可求解；
（3）空白部分的面积，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD中AB＝BC，而∠A＝∠B＝90°
又∵AH＝BE
∴AE＝BF
∴△AEH≌△BFE
∴HE＝EF，∠HEA＝∠EFB
而∠HEA+∠AHE＝90°
∴∠HEA+∠FEB＝90°
∴∠HEF＝90°
同理：HE＝EF＝FG＝GH
∴四边形EFGH是正方形．
（2）
＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
（3）空白部分的面积，
方程为：，
化简得：4x3﹣3x2﹣12＝0，
由计算器估算得x≈1.74
所以当动点出发约1.74秒时，图中空白部分的面积为3cm2．
【题型3 拱桥问题】
【例3】（2022 海曙区校级开学）图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 　　．
【分析】因为两个抛物线形状相同，可设：AB所在抛物线：y＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①CD所在抛物线：y＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②其中xA，xB，xC，xD分别为A，BC，D的横坐标，令x＝0，可以分别求出两条抛物线与y轴的交点E，F坐标，然后根据两抛物线交y轴于同一点，可以得出xAxB＝xCxD，然后根据已知条件B，C横坐标，从而得出结论．
【解答】解：因为两个抛物线形状相同，可设：yAB＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①，yCD＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②，其中xA，xB，xC，xD分别为A，B，C，D的横坐标，
对于①令x＝0，则y＝mxA xB，
所以E点坐标为（0，mxAxB）；
同理，对于②令x＝0，则y＝mxC xD，
所以E点坐标为（0，mxCxD），
因为mxAxB＝mxCxD，即xAxB＝xCxD，
因为AB＝50米，BC＝10米，CD＝40米．
所以AC＝60米，
所以xC﹣xA＝60，xC﹣xB＝10，xD﹣xC＝40，
所以xA＝xC﹣60，xB＝xC﹣10，xD＝xC十40，
将上式代入xAxB＝xCxD得，
（xC60）（xC﹣10）＝xC（xC40），
解得xC，
又因为xB，
所以．
故答案为：．
【变式3-1】（2022秋 西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y＝8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）．
设过点A、B、C的抛物线方程为：y＝a（x+20）（x﹣20）（a＜0）．
把点C（0，10）的坐标代入，得
10＝a（0+20）（0﹣20），
解得：a，
则该抛物线的解析式为：y（x+20）（x﹣20）x2+10
把y＝8代入，得x2+10＝8，
即x2＝80，x1＝4，x2＝﹣4．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF＝|x1﹣x2|＝|4（﹣4）|＝8（m）．
【变式3-2】（2022秋 诏安县校级月考）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用yx2x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？
（3）写出如图抛物线的表达式？
【分析】（1）根据抛物线顶点的坐标公式可以求得顶点的横坐标和纵坐标，根据抛物线顶点的纵坐标可得出钢缆的最低点到桥面的距离；
（2）根据两最低点的横坐标可得出两条钢缆最低点之间的距离；
（3）根据左右两侧的抛物线关于y轴对称，可知两个抛物线的解析式，纵坐标相同，横坐标互为相反数，从而可以得到右侧抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵yx2x+10，
∴该抛物线的顶点的横坐标为：x，纵坐标为：y，
即钢缆的最低点到桥面的距离是1m；
（2）∵桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用yx2x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，
∴两条钢缆的顶点横坐标为，﹣20，20，
即两条钢缆最低点对应的横坐标分别是：﹣20，20，
故两条钢缆最低点之间的距离是：20﹣（﹣20）＝40（米），
即两条钢缆最低点之间的距离是：40米；
（3）∵桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用yx2x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，
∴右侧抛物线的解析式为：y，
即抛物线右侧的表达式是：y．
【变式3-3】（2022秋 袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为yx2+c且过顶点C（0，8）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不计损耗）
（3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F位置安装两盏LED灯，且点E的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED灯距离水面AB的高度．
【分析】（1）把点C坐标代入即可求得c的值；
（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度；
（3）设E点横坐标为x，则纵坐标为﹣x﹣2，代入函数解析式，求出坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线的解析式为yx2+c，
∵点C（0，8）在抛物线上，
∴c＝8；
（2）由（1）知，OC＝8，令y＝0，即x2+8＝0，解得x1＝20，x2＝﹣20；
∴地毯的面积为：1.5（AB+2CO）＝1.5×（40+2×8）＝84（平方米）；
（3）设点E的坐标为（x，x2+8），
由题意得：x+（x2+8）＝﹣4，
解得x1＝60（不合题意，舍去），x2＝﹣10，
当x＝﹣10时，y＝6，
∴安装的LED灯距离水面AB的高度是6米．
【知识点2 销售问题中的常用公式】
（1）利润=售价-进价=进价×利润率
（2）利润率 =
（3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本）
【题型4 销售问题】
【例4】（2022秋 平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1﹣8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 　5　月份出售这种药材获利最大．
月份 … 3 6 …
每千克售价 … 8 6 …
【分析】根据两幅图分别求出售价、成本与月份的函数关系式，再根据利润＝售价﹣成本得出利润关于月份的函数关系式，再根据函数的性质求出x即可．
【解答】解：设这种药材售价（元）与月份的一次函数关系式为y＝kx+b，
把（3，8），（6，6）代入得，，
∴，
∴这种药材售价（元）与月份所示的一次函数关系式为yx+10，
设每千克的成本价（元）与月份的之间的抛物线的解析式为m＝a（x﹣6）2+1，
把（1，9）代入得，9＝a（1﹣6）2+1，
∴a，
∴每千克的成本价（元）与月份的之间的抛物线的解析式为m（x﹣6）2+1，
设这种药材利润为w元，
则w＝y﹣mx+10（x﹣6）2﹣1xx2x9x2x（x）2，
∵0，对称轴为x4，
∵x为正整数，
∴当x＝5时，w最大．
故答案为：5．
【变式4-1】（2022秋 舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？
【分析】（1）根据增长率（下降率）公式列出一元二次方程即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x．
根据题意得50（1﹣x）2＝40.5，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：该商品连续两次下降的百分率为10%；
（2）设降价m元，利润为w元．
根据题意得w＝（50﹣30﹣m）（48+8m）
＝﹣8m2+112m+960
＝﹣8（m﹣7）2+1352．
∴当m＝7，即售价为43元时，可获最大利润1352元．
【变式4-2】（2022秋 椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额P（万元）等于市场销售量y与市场价格x的乘积．当市场价格x取何值时，市场销售额P取得最大值？
（3）蜜桔的每斤进价为m元，若当3≤x≤10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y1＝y2，再解方程可得x的值，把x的值代入y1或y2，可得平衡需求量；
（2）分0＜x≤6和6＜x≤14两种情况列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最大值，再进行比较即可；
（3）设蜜桔是销售利润为w万元，分3≤x≤6和6＜x≤10两种情况分别列出w与x的函数关系式，再结合对称轴得到不等式组，可得m的取值范围．
【解答】解：（1）令y1＝y2，则﹣0.2x+2.8＝0.4x﹣0.8，
解得x＝6，
∴y1＝y2＝﹣0.2×6+2.8＝1.6，
答：平衡价格为6元/斤，平衡需求量为1.6万斤；
（2）令y1＞0，y2＞0，则，
解得：2＜x＜14，
当2＜x≤6时，y＝0.4x﹣0.8，
P1＝xy＝0.4x2﹣0.8x，
∵0.4＞0，对称轴为直线x＝1，
∴当2＜x≤6时，P1随着x的增大为增大．
∴当x＝6时，P1最大＝0.4×36﹣0.8×6＝9.6，
当6＜x＜14时，y＝﹣0.2x+2.8，
P2＝yx＝﹣0.2x2+2.8x，
∵﹣0.2＜0，对称轴为直线x＝7，
∴当x＝7时，P2最大＝﹣0.2×49+2.8×7＝9.8，
综上，当x＝7时，市场销售额P取得最大值为9.8万元；
（3）设蜜桔是销售利润为w万元，
由题意得，当3≤x≤6时，w＝（0.4x﹣0.8）（x﹣m）＝0.4x2﹣（0.8+0.4m）x+0.8m，
当6＜x≤10时，w＝（﹣0.2x+2.8）（x﹣m）＝﹣0.2x2+（2.8+0.2m）x﹣2.8m，
∵当3≤x≤10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（w万元）会经历先减小后增大再减小的变化，
∴，
解得4＜m＜6．
【变式4-3】（2022 庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件） 40 45
月销售量y（件） 300 250
月销售利润w（元） 3000 3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+700；
（2）由表中数据知，每件商品进价为30（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w最大，最大值为4000，
∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m，
对称轴为直线x50，
∵﹣10＜0，
∴当x≤50时，w随x的增大而增大，
∵x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴5051.5，
解得：m＞3，
∵3＜m≤6，
∴m的取值范围为3＜m≤6．
【题型5 投球问题】
【例5】（2022 威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．
（1）a的值为 　　；点B的横坐标为 　22　；
（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．
①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；
②求弹力球第二次着地点到点O的距离；
③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）先求出A点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，将点A坐标代入解析式，得出第一次着地前抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，令y＝0，解方程即可；
（2）①根据两条抛物线形状相同，设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2+1，将点B代入该解析式解方程即可；
②根据弹力球第一次着地后的抛物线，求出对称轴为直线x＝24，根据点B的横坐标为22，点到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为24﹣22＝2即可；
③根据高0.5m的圆柱形筐，解方程1＝0.5，求出圆形筐的位置，利用筐最左端与最右端平移到筐位置即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）是抛物线y＝a（x﹣2）2+2的起点，
∴1＝a（0﹣2）2+2，
解得：a，
∴第一次着地前抛物线的解析式为y（x﹣2）2+2，
当y＝0时，（x﹣2）2+2＝0，
解得：x1＝2+2，x，＝2﹣2（舍去），
∴点B的横坐标为2+2，
故答案为：，22；
（2）①∵两条抛物线是形状相同的两条抛物线，
设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣h）2+1，
将点B代入该解析式，得h1＝2（舍去），h2＝24，
∴弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y（x﹣24）2+1；
②由①可得，弹力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x＝24，点B的横坐标为22，
点B到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为24﹣22＝2，
∴点C的横坐标为x+2＝26，
∴点C（26，0），
∴弹力球第二次着地点到点О的距离为（26）m；
③∵圆柱形筐的高为0.5m，
当y＝0.5时，（x﹣24）2+1＝0.5，
解得．x1＝4+3．x2＝4（舍），
∵筐的最左端距离原点9m，
当弹力球恰好砸中筐的最左端时，b＝9﹣（4+3）＝5﹣3；
∵筐的底面半径为0.5m，直径为1m，
∴筐的最右端距离原点10m，
当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b＝10﹣（4+3）＝6﹣3，
∴b的取值范围为5﹣3b＜6﹣3．
【变式5-1】（2022 六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
【分析】（1）根据顶点坐标为（4，4），可设顶点式，再将点A（0，2）代入可得；
（2）令y＝0可求出x的两个值，可以求出OD的长度，如图可得第二次篮球弹出后的距离为DE，相当于将抛物线ACD向下平移了2个单位可得2（x﹣4）2解得x的值即可知道DE的值，进而可得答案；
（3）令y＝3，则3（x﹣4）2+4，解方程求出x的值，再用OE﹣x的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵h＝4，k＝4，
∴y＝a（x﹣4）2+4，
由已知：当x＝0时y＝2，
即2＝16a+4，
∴a，
∴抛物线ACD的函数表达式为y（x﹣4）2+4；
（2）令y＝0，（x﹣4）2+4＝0，
∴（x﹣4）2＝32，
解得：x1＝44≈9.7，x2＝﹣44＜0（舍去），
∴篮球第一次落地距O点约9.7米；
如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，
根据题意：DE＝AN，相当于将抛物线ACD向下平移了2个单位，
∴2（x﹣4）2+4，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴DE＝|x1﹣x2|＝8，
∴OE＝OD+DE≈9.7+8＝17.7（米），
∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；
（3）当y＝3时，3（x﹣4）2+4，
解得：x1＝4﹣21.2，x2＝4+26.8，
∵OF＝25，
∴EG＝OF﹣OE﹣（6.8﹣1.2）＝1.7（米），
∴EG的长为1.7米．
【变式5-2】（2022 巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．
【解答】解：（1）根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴函数最大值为16，
∴弹球第一次弹出的最大高度为16；
（2）当y＝0时，则﹣x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣8，
∴第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣b），
当x时，y＝168，
∴（）＝8，
解得b＝4或b＝﹣4（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4），
∴第二次相邻两落点之间的距离为4，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣c），
当x时，y＝164，
解得c＝44或c＝44（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣44），
∴第三次相邻两落点之间的距离为|44﹣4|＝4，
∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣44）．
【变式5-3】（2022 潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（，），点B的横坐标为，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
【分析】（1）将点A坐标代入C：y＝a﹣2a中，求出a值即可；
（2）求出抛物线C的顶点，求出实际最大高度，可得结果；
（3）根据达到最大高度达到要求得到不等式，求出b的范围，从而算出B离地面的高度．
【解答】解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，
将A（，）代入，得：a2a，
解得：a，
∴C1：yx2+x；
（2）由（1）得：yx2+x（x﹣1）2，
∴C1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，），
∵O处距离地面1米，
∴最大高度为12，
∴未达到要求；
（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），
对称轴为直线x，顶点（，），
∵最大距离达标，
∴1，
∵B的横坐标为，
∴yB，
由（1）知a，
∴1，
解得：b≥2或b≤﹣2，
∵x0，
∴a，b同号，则b≤﹣2，
∴，
∴高度至少应为11.75米．
∴该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为1.75米．
【题型6 喷水问题】
【例6】（2022 西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a，
∴抛物线的解析式为：hd2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：hd2+d+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为2时，纵坐标的值大于1.5+0.5＝2，
∴（）20.5+n≥2，
解得n≥1.1，
∴水管高度至少向上调节1.1米，
∴0.5+1.1＝1.6（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到1.6米才能符合要求．
【变式6-1】（2022 安徽模拟）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx．
（1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k＝3，a，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线y＝kx上，抛物线为y＝ax2+bx，k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，可以求得a，b的值；
（2）根据k＝1，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线y＝kx上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度；
（3）根据k＝3，a，抛物线的顶点在直线y＝kx上，抛物线为y＝ax2+bx，可以求得b的值，然后令y＝0代入抛物线的解析式，求得x的值，然后与18作比较即可解答本题．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx的顶点为（），抛物线的顶点在直线y＝kx上，k＝1，抛物线水线最大高度达3m，
∴，，
解得，a，b＝2，
即k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，此时a、b的值分别是；
（2）∵k＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y＝kx上，
∴此时抛物线的对称轴为直线x＝9，y＝x＝9，
即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米；
（3）∵y＝ax2+bx的顶点为（）在直线y＝3x上，a，
∴，
解得，b＝6，
∴抛物线y，
当y＝0时，0，
解得，x1＝21，x2＝0，
∵21＞18，
∴若k＝3，a，则喷出的抛物线水线能达到岸边，
即若k＝3，a，喷出的抛物线水线能达到岸边．
【变式6-2】（2022 河北模拟）音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+2．但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离．
（1）喷出的水流抛物线与抛物线y＝ax2的形状相同，则a＝　﹣1　；
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，求水流抛物线的解析式；
（3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）对于水流抛物线y＝﹣x2+bx+2．当b＝b1时，落在水面的落点坐标为M（m，0），当b＝b2时，落在水面的落点坐标为N（n，0），点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较b1与b2的大小．
【分析】（1）两个抛物线的形状相同，则二次项系数的绝对值相等，再根据已知抛物线的开口方向，即可判断a的值；
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长，即抛物线经过点（2，0），代入函数解析式即可求解；
（3）利用配方法即可求解；
（4）点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，即m＞n＞0．在抛物线y＝﹣x2+bx+2中令y＝0，得到＝﹣x2+bx+2＝0．
把坐标M（m，0）代入得到0＝﹣m2+b1m+2，求得b1，同理可以求得b2，即可进行比较．
【解答】解：（1）a＝﹣1
（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，
即点（2，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上
得：0＝﹣4+2b+2
有b＝1
抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2
（3）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2
抛物线的顶点坐标为（），对称轴为直线x
（4）∵点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边
∴m＞n＞0
∴m﹣n＞0，mn＞0．
∵当b＝b1时，落在水面的落点坐标为M（m，0）
∴0＝﹣m2+b1m+2
∴b1
同理b2
b1﹣b2
∴b1﹣b2＞0，
∴b1＞b2
【变式6-3】（2022 新昌县模拟）某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．
（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？
（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？
【分析】（1）结合题意，根据抛物线顶点坐标，将抛物线解析式设为顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）解法一：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x＝4时y的值，由此即可得出结论；解法二：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.7时x的值，由此即可得出结论；
（3）设改建后抛物线的解析式为y（x﹣3）2+2+h，然后根据抛物线上的点的坐标特征，利用待定系数法求解．
【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+2 （ a＝0），
把A（0，0.5），代入得：9a+2＝0.5，
解得：a，
∴y（x﹣3）2+2，
令y＝0，（x﹣3）2+2＝0，
解得：x＝3±2，
∴抛物线（第一象限）的表达式为y（x﹣3）2+2 （0＜x＜3+2）；
（2）解法一：对于y（x﹣3）2+2，
令x＝4，则y＝﹣（4﹣3）2+21.7，
∴小明不会被水喷到；
解法二：令y＝1.7，
则（x﹣3）2+2＝1.7，
解得：x1＝3，x2＝3，
∵34，34，
∴小明不会被水喷到；
（3）设喷水管OA的高度要升高hm，
则抛物线的表达式为y（x﹣3）2+2+h．
把（7，0）代入得：0（x﹣3）2+2+h，
解得：h，
∴喷水管OA的高度要升高m．
【题型7 增长率问题】
【例7】（2022 武汉模拟）战疫扶贫两手抓，多措并举促增收．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6的人均月纯收入，汇总如下：
月份代码 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 310 350 390 430 470 510
根据分析，发现该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间具有较强的一次函数关系（记2019年1月、2月、…、2020年1月、……分别为x＝1，x＝2，…，x＝13，…，依此类推）．
但2020年1月突如其来的新型冠状病毒感染的肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月人均月纯收入只有2019年12月的预估值的三分之二．根据以上信息，完成以下问题．
（1）求该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间的函数关系式．
（2）若疫情没有爆发，2020年该家庭是否能实现小康？
（3）若2020年3月初开始，在当地党员干部的扶持下，该家庭的人均月纯收入y与月份代码x之间满足二次函数y＝x2+bx+c的关系．若该家庭2020年12月人均月纯收入可达到1400元以上，求b的最小值．
（4）若以该家庭2020年3月人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a，为了使该家庭2020年能实现小康，a至少为多少？（结果保留两位小数）
参考数据：62.81，1.1510≈4.05
参考公式：1+x+x2+…+x9；（1+a）10≈1+10a+45a2+120a3（|a|＜0.15）．
【分析】（1）设均月纯收入y与月份代码x之间的函数表达式为y＝kx+b，将表格前2组数据（1，310）、（2，350）代入上式，即可求解；
（2）2020年1月对应x＝13，2020年12月对应x＝24，则2020年该家庭的总收入为12个月收入之和，即可求解；
（3）由题意得，3月份的收入是500元，12月的收入大于1400，则，即可求解；
（4）由题意，1000+500+500（1+a）+500（1+a）2+…+500（1+a）9≥8000，即可求解．
【解答】解：（1）设均月纯收入y与月份代码x之间的函数表达式为y＝kx+b，
将表格前2组数据（1，310）、（2，350）代入上式得：，解得：，
故函数表达式为y＝40x+270；
（2）2020年1月对应x＝13，2020年12月对应x＝24，
则2020年该家庭的总收入为12个月收入之和，
即（13×40+270）+（14×40+270）+…（24×40+270）＝270×12+40×（13+14+…+24）＝12120＞8000，
故2020年该家庭能实现小康；
（3）该家庭2019年12月收入为：12×40+270＝750，
该家庭2020年3月份的人均月纯收入为750500元；
由题意得，3月份的收入是500元，12月的收入大于1400，
故，解得：b≥61，
故b的最小值为61；
（4）由题意，1000+500+500（1+a）+500（1+a）2+…+500（1+a）9≥8000，
得7000，其中（1+a）10＝1+10a+45a2+120a3，
整理得：120a2+45a﹣4≥0．
由不等式对应方程的根a．
得a≤﹣0.45（舍）或a≥0.07．
∴a至少应为0.07．
【变式7-1】（2022 弥勒市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝72（1﹣x） B．y＝36（1﹣x） C．y＝36（1﹣x2） D．y＝36（1﹣x）2
【分析】原价为36，第一次降价后的价格是36×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：36×（1﹣x）×（1﹣x）＝36（1﹣x）2，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意可得：
y与x之间的函数关系为：y＝36（1﹣x）2．
故选：D．
【变式7-2】（2021秋 西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
【变式7-3】（2022 滨州校级月考）2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预测年销售增长率为0.6x．（年利润＝（出厂价﹣成本价）×年销售量）
（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系．
（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？
【分析】本题属于市场营销问题，销售利润＝每辆车的利润×销售量，每辆车的利润＝出厂价﹣成本价，其中，出厂价，成本价，销售量，都有各自对应的增长率，要正确使用．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝[2.4×（1+0.75x）﹣2（1+x）]×10000×（1+0.6x）＝﹣1200x2+400x+4000；
（2）由y＝4028，即﹣1200x2+400x+4000＝4028，
解得x1＝0.1，x2．
该年度A型农用车的年销售量＝10000（1+0.6x）
将x1＝0.1，x2代入得10600辆或11400辆．
【题型8 车过隧道问题】
【例8】（2022 太原二模）如图1，在某段公路上有一条双行线隧道（可双向行驶）．隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成，如图2是它的示意图，隧道宽度AB＝8m，内壁两侧各留有1m宽的安全带，顶部最高处距路面6m，矩形的宽AD＝2m．
（1）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少要0.5m，求一辆宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为多少？
（2）若有一辆宽为5.5m的超宽箱式工程车欲通过该隧道，其顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差不小于10cm，在实行交通管制后，求这辆车单向通过该隧道的限高应为多少？（结果精确到1m）
【分析】（1）建立坐标系得出求出抛物线解析式，再求出x＝3时y的值，结合竖直方向上的高度差至少要0.5m可得答案；
（2）根据以上解析式求得x时y的值，由竖直方向上的高度差不小于10cm可得答案．
【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，
根据题意可知点C（4，2），抛物线的顶点坐标为（0，6），
设抛物线解析式为y＝ax2+6，
将点C（4，2）代入，得：16a+6＝2，
解得：a，
则抛物线解析式为yx2+6，
当x＝3时，y32+6，
3.25（米），
答：宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为3.25m；
（2）由题意，当x时，y（）2+6，
0.1≈4（米），
答：这辆车单向通过该隧道的限高应为4米．
【变式8-1】（2022秋 始兴县校级期中）一拱形隧道的轮廓是抛物线如图，拱高6m，跨度20m，
（1）建立适当的直角坐标系，求拱形隧道的抛物线关系式
（2）拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【分析】（1）根据题意可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）把x＝7代入（1）的函数表达式，求出y的值即可判断．
【解答】解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意知A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
将B，C的坐标代入y＝ax2+c，
得
解得：，
所以抛物线的表达式yx2+6．
（2）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2＝7，
当x＝7是，y49+6＝3.06＞3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．
【变式8-2】（2022 长春校级模拟）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．正在修建的庙垭隧道的截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线车道，即左右各5米宽的车道．
（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏灯的位置；
（3）为保证行车安全，要求行驶车辆顶部（假设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米，现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否安全通过这个隧道？请说明理由．
【分析】（1）以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，待定系数法将E、F、H三点坐标代入求得；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，即y＝1，可求得坐标；
（3）隧道为单行线左右各5米宽的车道，故可求x＝4时y的值比较可知．
【解答】解：（1）如图，
若以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则E（﹣5，0），F（5，0），H（0，3）
设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c
依题意有：
，
解得：．
所以yx2+3；
（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，即y＝1，
则有x2+3＝1，解得：x，
故路灯的位置为（，1）或（，1）；
（3）当x＝4时，y42+3＝1.08，
点到地面的距离为1.08+2＝3.08
因为3.08﹣0.5＝2.58＞2.5，所以能通过．
【变式8-3】（2022 东城区校级月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【分析】（1）根据题意可以得到抛物线的顶点坐标和抛物线过点（0，0），从而可以求的抛物线的解析式；
（2）根据题意可以用含x的式子表示出AB、AD、DC的长度之和，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为（6，6）且经过原点O（0，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
则0＝a（0﹣6）2+6，解得a，
即这条抛物线的函数解析式为y（0≤x≤12）；
（2）设点A的坐标为（x，），则点B的坐标为（x，0），点D的坐标为（12﹣x，），点C的坐标为（12﹣x，0），
∴AB+AD+DC
[（12﹣x）﹣x]
15，
∴当x＝3时，AB+AD+DC的和取得最大值，此时AB+AD+DC的最大值是15，
即当点A在（3，4.5），点B在（3，0），点D（9，4.5），点C（9，0）时“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和最大，最大值是15．
【题型9 行程问题】
【例9】（2022 宝应县三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求v关于x的函数表达式；
（2）求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4000辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知：当0≤x≤28时，p＝vx＝80x≤2240；当28＜x≤188时，p＝vx＝（x+94）x（x﹣94）2+4418，进而求解；
（3）由题意得：p＝（x+94）x≥4400，解得88≤x≤100，而vx+94，当x＝88时，vx+94＝50，当x＝100时，vx+94＝44，即可求解．
【解答】解：（1）由图象知，当0≤x≤28时，v＝80，
当28＜x≤188时，设该段一次函数表达式是v＝kx+b，
把两点坐标（28，80）（188，0）分别代入，得，解得，
∴V关于x的一次函数表达式是vx+94（28＜x≤188），
即v；
（2）由题知：当0≤x≤28时，p＝vx＝80x≤2240．
当28＜x≤188时，p＝vx＝（x+94）x（x﹣94）2+4418，
当x＝94时，车流量p有最大值4418辆/时．
∴p，当x＝94时，车流量P有最大值4418辆/时；
（3）由题意得：p＝（x+94）x≥4400，解得88≤x≤100，
而vx+94，
当x＝88时，vx+94＝50，当x＝100时，vx+94＝44，
即44≤v≤50，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米/时≤v≤50千米/时．
【变式9-1】（2022 定海区模拟）在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t（秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．
（1）求a的值；
（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；
（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）
（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．
【分析】（1）将（4，22.5）代入s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），解得a的值即可；
（2）由图1可知，当t＝4时车的速度v，则当t＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s等于4秒时的距离加上4秒以后行驶的距离；
（3）由图可得t＞4时车辆的速度，第一辆车再行驶45﹣22.5＝22.5（米），即通过路口所需要的时间为4，行驶两车间隔5米所需要的时间为，再考虑到第二辆车1秒后开始启动，则第二辆车在第一辆车通过路口时已经通过交通白线的距离可得，则用45减去该距离即可得出答案；
（4）这十辆车从交通白线至第十辆车车尾的距离为10×5+9×2.5+s，由（2）可知第十辆车需行驶（t﹣13）个15米加上s与9个车辆间隔，该距离大于等于这十辆车从交通白线至第十辆车车尾的距离，据此列不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4）过（4，22.5），
∴9a＝22.5，
解得：a；
（2）由图1可知，当t＝4时，v＝15，t＞4时，s＝22.5+（t﹣4）×15＝15t﹣37.5，
∴当t＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式为s＝15t﹣37.5；
（3）当t＞4时，v1＝v2＝15，45﹣22.5＝22.5，
∴t＝44（秒），
∴s2＝15×（1）﹣37.5﹣（2.5+5）＝27.5（米），
∴最大间距是45﹣27.5＝17.5（米）．
∴当t＞4时，第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距是17.5米；
（4）间隔为10×5+9×2.5+s，由题意得：
s+9×2.5+15（t﹣13）≥10×5+9×2.5+s，
解得：t．
∴绿灯持续时间至少要设置秒才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．
【变式9-2】（2022 浙江）小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s＝at2
（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；
（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；
（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s＝at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案；
（2）利用图形，得出速度和时间，再结合h＝48+12×（17﹣8）得出答案；
（3）首先求出OB的解析式进而利用二次函数解析式得出关于x的等式求出答案．
【解答】解：（1）由图象得：小明家到乙处的路程为180m，
∵点（8，48）在抛物线s＝at2上，
∴48＝a×82，
解得：a；
（2）由图及已知得：h＝48+12×（17﹣8）＝156，
故A点的纵坐标为：156，表示小明家到甲处的路程为156m；
（3）设OB所在直线的表达式为：v＝kt，
∵（8，12）在直线v＝kt上，
则12＝8k，
解得：k，
∴OB所在直线的表达式为：vt，
设妈妈加速所用时间为：x秒，
由题意可得：x2x（21+7﹣x）＝156，
整理得：x2﹣56x+208＝0，
解得：x1＝4，x2＝52（不符合题意，舍去），
∴x＝4，
∴v4＝6（m/s），
答：此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s．
【变式9-3】（2022 温岭市一模）当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速80千米/小时．在一般条件下，高架桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20时，桥上畅通无阻，车流速度都为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤180时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤20和20≤x≤180时，分别写出函数v关于x的函数关系式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）w＝x v可以达到最大，并求出最大值；
（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持40千米/小时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）w＝x v进而得出函数关系式即可得出答案；
（3）利用当v＝40时，得：x+90＝40，进而得出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，v＝80；
当20≤x≤180时，由题意可得：图象过（20，80），（180，0），
则设一次函数解析式为：v＝ax+b，
故，
解得：，
故函数v关于x的函数关系式为：vx+90；
（2）当0≤x≤20时，w＝80x，
∵k＝80＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大值＝80×20＝1600，
当20≤x≤180时，W＝x（x+90）（x﹣90）2+4050，
∴当x＝90时，w最大值＝4050，
综合上述两种情况，当x＝90时，w最大值＝4050，
答：当车流密度为90时，车流量最大，最大值为4050辆/小时．
（3）当v＝40时，得：x+90＝40，
解得 x＝100，
∴w＝100×40＝4000 分流了4000×2＝8000（辆），
答：这天早高峰期间高架桥分流了8000辆车．
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