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专题05 全等三角形的综合应用（五大类型）
【题型1 利用三角形全等测量能到两端的距离】
（2022秋 新昌县期末）
1．为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使，，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）
A． B． C． D．
（2022春 沙坪坝区校级期中）
2．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2022春 深圳期末）
3．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使，然后在BC的延长线上确定D，使，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
（2022春 威宁县期末）
4．如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在 的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（ ）

A． B． C． D．
（2021秋 龙凤区校级期末）
5．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点，使，这时只要出的长，就知道AB的长，那么判定≌的理由是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
（2022春 沈河区校级月考）
6．如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了35步到达一棵树C处，接着再向前走了35步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一共走了140步，如果小刚一步大约50cm，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 米.
（2022 汉滨区四模）
7．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．
（2021秋 让胡路区校级期末）
8．小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使m，并测得，然后把竖直的竿子（m）在的延长线上移动，使，此时量得m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？
（2022秋 天山区校级期末）
9．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得， ，．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
（2022秋 周口期中）
10．如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使，测得，，在CD的延长线上取点E，使．这时测得的长就是A，B两点的距离，为什么？
【题型2 利用三角形全等求两端的距离】
（2021秋 临海市期末）
11．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 椒江区期末）
12．小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 泗水县期末）
13．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角形（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 亳州期末）
14．如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为，小华站在E处测得眼睛F到楼端点A的仰角为，发现α与β互余，已知米，米，米．
(1)求证：；
(2)求单元楼的高．
（2022秋 成武县期末）
15．如图，阳阳为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点，，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于米，量得旗杆与楼之间距离米．若，，求楼高．
【题型3 利用三角形全等测量物体的内径】
（2022秋 同安区期中）
16．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得厘米，厘米，圆形容器的壁厚是（　　）
A．5厘米 B．6厘米 C．1厘米 D．厘米
（2022秋 西乡塘区校级月考）
17．如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）

A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
（2022秋 泰山区校级月考）
18．如图所示小明设计了一种测工件内径的卡钳，问：在卡钳的设计中，应满足下列的哪个条件？（ ）

A． B．
C． D．且
（2022秋 北京期末）
19．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是 ．
【题型4 利用三角形全等解决工程中的问题】
（2022秋 海淀区校级期中）
20．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 长汀县期中）
21．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中正确的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带、或、去就可以了
C．带、或、去就可以了 D．带、或、或、去均可
（2022秋 沙河口区期末）
22．如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？
（2022春 三原县期末）
23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知米，米，求两个排污口之间的水平距离．
（2021秋 黔西南州期末）
24．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；
【题型5 利用三角形全等解决面积问题】
（2022秋 仙居县期末）
25．如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．
（2022 百色）
26．校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．
【详解】解：在和中，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．
2．A
【分析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
【详解】解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．B
【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACB和△ACD中，，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
4．B
【分析】由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．
【详解】解：，,
,
又，,
（）
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
5．A
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【详解】解：∵AC⊥AB，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是能够利用ASA判定两个三角形全等．
6．
【分析】根据题意所述画出示意图，根据可得出，即可求出的长度，也就得出了的长度．
【详解】解：根据题意画出图形如图：
在与中，
，
，
小刚一共走了步，步，
(步)，
又一步大约，
(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，根据题意建立数学模型是解题的关键．
7．150米
【分析】根据题意，判断出△ADC≌△CEB即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥MN于点E，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴BE＝CD＝150m．即村庄B到河边的距离是150米．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．
8．路灯的高度是8.2米．
【分析】根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解.
【详解】解： ，，，
∴.
在和中
，
∴.
，
∴，，
∴（m）.
答：路灯的高度是8.2米.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定性质是解答关键.
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得的长度．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长度是．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键．
10．见解析
【分析】证明，推出，进一步得出．
【详解】证明：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
测得的长就是A，B两点的距离．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题．
11．A
【分析】先根据，判断出≌．
【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
12．C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】小明直立在河岸边的处，说明
保持和刚才完全一样的姿势说明
∵CO为 与共边．
∴与全等的条件为．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的知识点，掌握该知识点是解答本题的关键．
13．A
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故选A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
14．(1)见解析
(2)39米
【分析】（1）过F作于G，则四边形是矩形，可得，利用可得，即可；
（2）根据，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：过F作于G，如图：
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵（米），
∴（米），
∴（米），
答：单元楼的高39米．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．26米
【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB PB求出即可．
【详解】解：，，，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
答：楼高是米．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
16．D
【分析】利用三角形全等的定理证明≌，根据全等三角形的性质求出，进而求出圆形容器的壁厚．
【详解】解：在和中，
，
≌，
厘米，
圆形容器的壁厚为：厘米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
17．A
【分析】先根据中点定义得到，，再根据对顶角相等和全等三角形的判定解答即可．
【详解】解：∵O是、的中点，
∴，，
在和中,
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
18．D
【分析】根据，可得，则测出的值即可求解的值，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴应满足的条件为且，
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．##边角边
【分析】根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，，，
则，
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
20．D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
21．C
【分析】根据全等三角形的判定方法可以确定原三角形的大小与形状，由此判断即可；
【详解】解：碎片、和碎片、可以根据判定出与原三角形全等的三角形，故可以还原出同样的玻璃样板；
碎片、和碎片、仅有一个角与原三角形相同，无法判定全等三角形，故不可以还原出同样的玻璃样板；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．见解析
【分析】根据两人同时从点C出发, 以相同的速度同时到达D点和E点, 进而由“距离=速度时间”可得到CE=DC,再结合C是AB的中点, DA⊥AB,EB⊥AB, 即可证明ΔDAC≌ΔEBC, 从而可得到结论
【详解】解：D，E 与路段 AB 的距离相等， 理由：∵点 C 是路段 AB 的中点，
∴AC＝CB，
∵两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，
∴DC＝EC，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质.
23．500米
【分析】根据条件证明，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
【点睛】此题考查全等三角形的应用,关键是证明．
24．详见解析.
【详解】试题分析：首先根据题意得出△BDE和△FDM全等，从而得出∠BEM＝∠DMF，即BE∥MF，最后根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出答案．
试题解析：∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM， ∴△BDE≌△FDM，
∴∠BEM＝∠DMF， ∴BE∥MF，
∵AB∥MF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴A、C、E在一条直线上．
25．3360
【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解．
【详解】∵， cm
∴是的垂直平分线．
∴
∴ cm2
故答案是3360．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)草坪造型的面积为
【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．
【详解】（1）在和中，
，
；
（2）
过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

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