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专题05 直角三角形的性质与判定综合（四大类型）
【题型1 根据直角三角形的性质求角度】
（2023春 惠来县期末）
1．在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023春 汉寿县期中）
2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 济南期末）
3．在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋 岳麓区校级期末）
4．在中，，，则的度数为（　　）
A．° B． C． D．
（2023 大连一模）
5．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　）

A． B． C． D．
（2023春 大兴区期末）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE= ．
（2023春 菏泽月考）
7．如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为 ．
【题型2 三角形板与平行线综合应用】
（2023 历下区模拟）
8．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023 中山区一模）
9．如图，已知于点D，若，则的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
（2023 和平区模拟）
10．如图，在中，，点在上，，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
（2023春 龙岗区校级期中）
11．如图，在中，，点B在直线上，点C在直线上，且直线，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
（2023 惠州校级模拟）
12．如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
（2023春 固始县期末）
13．如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是 ．

【题型3 直角三角形解答题综合应用】
（2023春 社旗县期末）
14．如图，在直角中，是斜边上的高，．

求：（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：
(1)（已知），
________．
（________）．
________________（等量代换）．
(2)（________），
（等式的性质）．
（已知），
________________（等量代换）．
（2023春 文山市期中）
15．如图，在中，，，过点作的平行线．求的度数．
（2023春 江阴市期中）
16．已知在中，，D是上一点
(1)如图1，，求证：；
(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）．
（2022春 雁峰区校级期末）
17．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
解：（1）（已知），
______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2）（______），
_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
（2022春 镇平县月考）
18．如图，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度数；
(2)试说明：．
（2022春 南阳月考）
19．如图，在直角中，，于，平分交于点，交于点F．

(1)试说明．
(2)若，求的度数．
（2022春 巴中期末）
20．如图，在中，，顶点B在直线PQ上，顶点A在直线MN上，BC平分，AC平分．
(1)求证：//；
(2)求的度数．
（2022春 鄂城区期末）
21．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB，BD平分∠ABC，若∠A＝50°，求∠D的度数．
【题型4 直角三角形全等的判定】
（2022春 泾阳县期中）
22．已知：如图，点E、F在线段上，，，，，求证：．

（2022春 横山区期中）
23．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
（2022春 华容县期末）
24．如图，，分别是的高，且，求证：．
（2020 澜沧县模拟）
25．如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，，求证：．
（2023春 金坛区期中）
26．如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数．
（2023春 禅城区校级期中）
27．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
（2020秋 集贤县期中）
28．如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE．
参考答案：
1．D
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果．
【详解】解：在中，，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
2．D
【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．
【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是
，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．
3．D
【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
4．B
【分析】根据直角三角形的性质计算可求解．
【详解】解：在中，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5．B
【分析】先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则．
【详解】解：，，
，
，
，
由翻折得，
，
故选：B．
【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，求得，再由翻折的性质求出的度数是解题的关键．
6．25°．
【分析】证明∠CAD＝∠DBE即可解决问题．
【详解】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠DBE=∠DAC．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD∠CAB=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．35°
【分析】由直角三角形两锐角互余及∠BAE＝20°，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得答案．
【详解】在Rt△ABC中，，
，
，
，
AC的垂直平分线DE交AC于点D，
，
，
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．C
【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键．
9．B
【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和定理，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得解．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，对顶角相等．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．
10．C
【分析】由，得，而，即有，故．
【详解】解：，
，
∵，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形性质，平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线性质，能灵活运用三角形内角和定理．
11．C
【分析】根据平角的定义，求出，，得到，利用直角三角形的两个对角互余，进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查利用平行线的性质求角的度数．正确的识图，找准角度之间的关系，是解题的关键．
12．50°##50度
【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．##70度
【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，

在中，，，
则，
，
，
是的外角，
，
∵，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、对顶角性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直和外角的定义即可求出答案．
（2）利用外角的定义和直角三角形的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：（已知），
．
（外角的定义）．
（等量代换）．
（2）解（外角的定义），
（等式的性质）．
（已知），
（等量代换）．
【点睛】本题考查了外角的定义和直角三角形的定义，解题的关键在于知道题目过程的思路．
15．
【分析】利用三角内角和得出，再利用得出即可．
【详解】解：在 中，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和平行线的性质，掌握直角三角形，两锐角互余是解题关键．
16．(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由，得，再结合（1），得，再由折叠的性质即可得到答案；②由，得，再结合（1），得的度数，再由折叠的性质即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴；
②∵，
∴，
当时，在线段上，
；
当40时，在的延长线上，
，
∴当时，，
当时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质．
17．(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；
（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．
【详解】（1）解：已知，
，
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
等量代换．
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
等式的性质．
已知，
等量代换．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
平分交于，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
平分交于，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，，再根据同角的余角相等可得，等量代换即可证明．
（2）根据三角形的一个外角性质解答即可．
【详解】（1）解： ，，
又，，
，
．
（2）解：，于，
，，
平分交于点，
，
．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，余角的性质，本题证明的方法很多，可根据利用直角三角形两锐角互余来证明，也可根据三角形外角定理证．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由角平分线的定义得，，再由，即可求得∠PAB+∠MAB=2∠ABC+2∠CAB=2(∠ABC+∠CAB)=2×90°=180°，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先由平行线的性质得出，再由，即可由求解．
【详解】（1）证明：∵BC平分，
∴，
∵AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴∠PAB+∠MAB=2∠ABC+2∠CAB=2(∠ABC+∠CAB)=2×90°=180°，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21．∠D=20°
【分析】由直角三角形的性质可求得的度数，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是求解的度数．
22．证明见解析．
【分析】根据得到，根据，运用证得，得到．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
∴；
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等，熟练掌握直角三角形全等的判定及性质是解决问题的关键．
23．见解析
【分析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
【详解】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得AD=CD是解决问题的关键．
24．证明见解析.
【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
【详解】证明：∵，分别是的高，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．见解析
【分析】根据，得到，根据判定即可得到结论；
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查用判定直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定．
26．50°，100°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，
由三角形的内角和定理得，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
27．证明见解析.
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．
【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
28．见解析
【分析】证明Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）,Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）即可解题.
【详解】∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD＝EF．
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD＝BF．
∴BD﹣CD＝BF-EF．
即 BC＝BE．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定,属于简单题,用HL的特殊方法证明三角形全等是解题关键.

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