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第12讲 带电粒子在磁场中的运动
知识点一：带电粒子在匀强磁场中的运动
1．运动轨迹
带电粒子（不计重力）以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中：
（1）当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动；
（2）当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动；
（3）当v与B的夹角为（≠0°，90°，180°）时，带电粒子将做等螺距的螺旋线运动．
说明：电场和磁场都能对带电粒子施加影响，带电粒子在匀强电场中只在电场力作用下，可能做匀变速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，只在磁场力作用下可以做曲线运动．但不可能做变速直线运动．
2．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
如图所示，带电粒子以速度v垂直磁场方向入射，在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子的质量为m，所带的电荷量为q．
（1）轨道半径：由于洛伦兹力提供向心力，则有，得到轨道半径．
（2）周期：由轨道半径与周期之间的关系可得周期．
说明：（1）由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率成正比．
（2）由公式知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比．
注意：与是两个重要的表达式，每年的高考都会考查．但应用时应注意在计算说明题中，两公式不能直接当原理式使用．
知识点二：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题分析
1．分析方法
研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径R=mv／qB，三找周期T=2πm／Bq或时间”的基本方法和规律，具体分析为：
（1）圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键．首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上．通常有两种确定方法：
①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心）．
②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心）．
（2）运动半径的确定：
作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式联立求解．
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间可由下式表示：（或）．可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长．
2．有界磁场
（1）磁场边界的类型如图所示
（2）与磁场边界的关系
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
②当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
③当速率v变化时，圆周角越大的，运动的时间越长．
（3）有界磁场中运动的对称性
①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出．
3．解题步骤
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法——三步法：
（1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
（2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．
（3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
注意：
（1）带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角叫做偏向角，偏向角等于圆弧轨道对应的圆心角，即，如图所示．
（2）圆弧轨道所对圆心角等于PM弦与切线的夹角（弦切角）的2倍，即，如图所示．
类型一、洛伦兹力的特点
[例1]下列说法正确的是（ ）
A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为零
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子不做功
[变式1]关于洛伦兹力，以下说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中一定会受到洛伦兹力的作用
B．若带电粒子在某点受到洛伦兹力的作用，则该点的磁感应强度一定不为零
C．洛伦兹力不会改变运动电荷的速度方向
D．仅受洛伦兹力作用的运动电荷的动能一定不改变
[变式2]带电为+q的粒子在匀强磁场中运动，下面说法中正确的是（ ）
A．只要速度大小相同，所受洛仑兹力就相同
B．如果把+q改为-q，且速度反向大小不变，则洛仑兹力的大小、方向均不变
C．洛仑兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子只受到洛仑兹力作用，其运动的动能可能增大
[例2]如图所示，一个带正电荷的小球沿水平光滑绝缘的桌面向右运动，飞离桌子边缘A，最后落到地板上．设有磁场时飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度大小为v1；若撤去磁场，其余条件不变时，小球飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度大小为v2．则下列结论不正确的是（ ）
x1＞x2 B．t1＞t2
C．v1＞v2 D．v1和v2大小相同
[变式1]质量为m．带电量为q的小球，从倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向外的匀强磁场中，其磁感应强度为B，如图所示．若带电小球下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法中正确的是（ ）
A．小球带正电
B．小球在斜面上运动时做匀加速直线运动．
C．小球在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动．
D．小球在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为
[变式2]在如图所示匀强磁场中，一个质量为m电量为+q的圆环套在一根固定的绝缘水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ。现给环一个向右的初速度v0，则环在运动过程中克服摩擦所做的功大小可能为（ ）
A． B．0
C． D．
[变式3]某空间存在着如图所示的足够大的沿水平方向的匀强磁场．在磁场中A、B两个物块叠放在一起，置于光滑水平面上，物块A带正电，物块B不带电且表面绝缘．在t1=0时刻，水平恒力F作用在物块B上，物块A、B由静止开始做加速度相同的运动．在A、B一起向左运动的过程中，以下说法正确的是 （ ）
A．图乙可以反映A所受洛仑兹力大小随时间t变化的关系
B．图乙可以反映A对B的摩擦力大小随时间t变化的关系
C．图乙可以反映A对B的压力大小随时间t变化的关系
D．图乙可以反映B对地面压力大小随时间t变化的关系
类型二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
[例3]两个粒子，带电量相等, 在同一匀强磁场中只受磁场力而作匀速圆周运动（ ）
A．若速率相等，则半径必相等 B．若质量相等，则周期必相等
C．若动量相等，则半径必相等 D．若动能相等，则周期必相等
[变式1]两个电荷量相等的带电粒子，在同一匀强磁场中只受磁场力作用而做匀速圆周运动．下列说法中正确的是（ ）
A．若它们的轨迹半径相等，则它们的质量相等
B．若它们的轨迹半径相等，则它们的速度大小相等
C．若它们的运动周期相等，则它们的质量相等
D．若它们的运动周期相等，则它们的速度大小相
[例4]一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场中，粒子的一段运动径迹如图所示。若径迹上的每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电量不变)，则从图中情况可以确定（ ）
A．粒子是从a运动到b，带正电
B．粒子是从b运动到a，带正电
C．粒子是从a运动到b，带负电
D．粒子是从b运动到a，带负电
[变式1]带电粒子在匀强磁场中运动，由于受到阻力作用，粒子的动能逐渐减小（带电荷量不变，重力忽略不计），轨道如曲线abc所示.则该粒子 ( )
A．带负电，运动方向c→b→a
B．带负电，运动方向a→b→c
C．带正电，运动方向a→b→c
D．带正电，运动方向c→b→a
[变式2]在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场的方向竖直向下，其俯视图如图所示，若小球运动到A点时，绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的是 ( )
A．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变
B．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径减小
C．小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变
D．小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小
类型三、带电粒子圆周运动时间的求解
[例5]如图所示，为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速度为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则 ( )
A．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3:1
B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为∶1
C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为2∶3
D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为1∶2
[变式1]如图所示，在圆形区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径．一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t；若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)( )
B．
D．
[变式2]如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
Δt B．2Δt
C．Δt D．3Δt
[变式3]如图所示，在空间有一坐标系xoy，直线OP与x轴正方向的夹角为，第一象限内有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是他们的边界，OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B。一质量为m，电荷量为q的质子（不计重力）以速度v从O点沿与OP成角的方向垂直磁场进入区域Ⅰ，质子先后通过磁场区域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直打在x轴上的Q点（图中未画出），则（ ）
A．质子在区域Ⅰ中运动的时间为
B．质子在区域Ⅰ中运动的时间为 C．质子在区域Ⅱ中运动的时间为
D．质子在区域Ⅱ中运动的时间为
类型二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
[例6]如图所示，一带电粒子质量为m，电量为q（不计重力），以某一速度垂直射入磁感应强度B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与原来入射方向的夹角为30°。求：
（1）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时的速度大小；
（2）带电粒子穿过磁场区域的时间为多少？
[变式1]如图所示，匀强磁场宽L="30" cm，B=3.34×10-3 T，方向垂直纸面向里.设一质子以v=1.6×105 m/s 的速度垂直于磁场B的方向从小孔C射入磁场，然后打到照相底片上的A点. 试求：
（1）质子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）A点距入射线方向上的O点的距离H；
（3）质子从C孔射入到A点所需的时间t.（质子的质量为1.67×10-27 kg；质子的电荷量为1.6×10-19 C）
[变式3]如图所示，在x轴的上方（y>0的空间内）存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带正电粒子从坐标原点O处以速度υ进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成45°角，若粒子的质量为m，电量为q，求：
（1）画出粒子在磁场中的运动轨迹；
（2）该粒子射出磁场的位置距原点O的距离；
（3）粒子在磁场中运动的时间．
[变式4]如图所示，一个质量为m，带q（q >0）电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：
（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹。
（2）该粒子在磁场里运动的时间t。
（3）该正三角形区域磁场的最小边长。
[变式5]如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点A（0，L）。一质量为m、电荷量为e的电子从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的B点射出磁场，射出B点时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°。求：
（1）电子在磁场中运动的轨迹半径r；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）电子在磁场中运动的时间t。
[变式6]如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一电荷量为q，质量为m的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为，不计粒子的重力.求
（1）粒子在磁场中加速度的大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）圆形区域中匀强磁场的半径
[变式7]如图所示，分布在半径为的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电荷量为、质量为的带正电粒子从磁场边缘点处沿圆的半径O方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了角，试求：
（1）粒子做圆周运动的半径R；
（2）粒子的入射速度；
（3）若保持粒子的速率不变，从点入射时速度的方向顺时针转过角，粒子在磁场中运动的时间。
[变式8]如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于正方形区域中心O的粒子源在abcd平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力。已知平行于ad方向发射的粒子在t=t0。时刻刚好从磁场边界cd上的某点离开磁场，求：（已知）
（1）粒子的比荷；
（2）从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间；
（3）假设粒子源发射的粒子在各个方向均匀分布，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比。
第12讲 带电粒子在磁场中的运动作业
如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v0的带正电粒子，v0与ad边的夹角为30°.已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力.
（1）求要使粒子能从ab边射出磁场，v0的大小范围.
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少 在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场
2.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与轴的交点C处沿+方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B1，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了600角，求磁感应强度B1是多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

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