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第17讲 电磁感应规律的综合运用
知识点一、运用能的转化和守恒定律理解电磁感应现象产生的条件
1．条件
　　穿过闭合电路的磁通量发生变化。
2．对条件的理解
　　（1）在电磁感应的过程中，回路中有电能产生。因此电磁感应的过程实质上是一个其它形式的能向电能转化的过程，这个转化过程必定是一个动态的过程，必定伴随着宏观或微观力做功，以实现不同形式能的转化，也就是说必须经过一个动态的或者变化的过程，才能借助磁场将其它形式的能转化为电能。
　　（2）导体切割磁感线在闭合回路中产生感应电流的过程：如图所示，导体棒运动，回路中有感应电动势和感应电流产生。有感应电流的导体棒在磁场中受到与棒运动方向相反的安培力作用，要维持导体棒运动产生持续的电流必须有外力克服安培力做功，正是这一外力克服安培力做功的过程使其它形式的能转化为了回路的电能。可见磁通量发生变化（导体棒相对于磁场运动）是外力克服安培力做功，将其它形式的能转化为电能的充要条件。
　　　　　　　 　
　　（3）闭合电路所包围的磁场随时间发生变化产生感应电流的过程：如图所示，磁感应强度随时间变化时，在它的周围空间产生与磁场方向垂直的感应电场，感应电场使得导体中的自由电荷定向移动，形成感应电流。这个感应电场必定阻碍原磁场的变化，要维持持续的感应电流必须有一种外力克服这种阻碍做功，将其它形式的能转化为回路的电能。
　　　　　　　　　　
知识点二、用能的转化和守恒定律理解楞次定律
1．楞次定律
　　感应电流具有这样的方向：即感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。由楞次定律出发不难推出，感应电流的方向总是阻碍线圈或导体相对于磁场的运动。如图所示，感应电流的方向由，使棒受到的安培力与它相对磁场运动的方向相反，要使棒保持匀速运动必须施加与安培力方向相反的外力。
　　　　　　　　　
2．由能量守恒定律出发推知，导体棒中的感应电流方向必定是由，与楞次定律的结果完全一致。
　　假设棒中感应电流的方向不是由，而是由，由左手定则可以判断棒受到的安培力则是垂直于棒向右，与棒运动的速度方向相同。那么导体棒在这个安培力的作用下不断向右做加速运动，我们看到的结果将是棒的动能不断增大，回路中产生的电能不断增加，且没有消耗其它的能量，也就是说这一过程能量凭空产生，显然违背了能的转化和守恒定律，我们假设棒中感应电流的方向由 是错误的，应该是由，与楞次定律的结论完全一样。我们有理由说楞次定律是能的转化和守恒定律的必然结果。
知识点三、法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律
1．法拉第电磁感应定律
　　电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，对于匝线圈构成的闭合电路有：．
2．法拉第电磁感应定律一些具体的表达形式（均由推出）
　　（1）磁感应强度不变时 ．
　　（2）线圈面积固定且不变时　．
　　（3）导体在匀强磁场中切割磁感线产生的瞬时电动势 ．
3．法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律
　　由能的转化和守恒定律出发推导导体棒切割磁感线产生的感应电动势（垂直切割的情况）：
　　如图所示，设长为的导体棒以速度在匀强磁场中切割磁感线时产生的电动势为，则回路中的感应电流，回路中产生电能的功率是；又导体棒受到的安培力，要维持棒匀速运动则外力的大小等于安培力，即，外力做功的功率。
　　由能的转化守恒定律知：外力做功将其它形式的能转化为电能，所以，即，感应电动势，因此我们有理由说法拉第电磁感应定律和能的转化守恒定律是协调的。
　　　　　　　　　　
知识点四、感生电场与感生电动势
1．感生电场
英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场能在周围空间激发电场，我们把这种电场叫做感生电场。
知识点诠释：
（1）感生电场是一种涡旋电场，电场线是闭合的。
（2）感生电场的方向可由楞次定律判断。如图所示，当磁场增强时，产生的感生电场是与磁场方向垂直且阻碍磁场增强的电场。
（3）感生电场的存在与是否存在闭合电路无关。
2．感生电动势
磁场变化时会在空间激发感生电场，处在感生电场中的闭合导体中的自由电荷在电场力的作用下定向运动，产生感应电流，或者说，导体中产生了感应电动势。由感生电场产生的电动势叫做感生电动势。
知识点诠释：
（1）电路中电源电动势是非静电力对自由电荷的作用。在电池中，这种力表现为化学作用。
（2）感生电场对电荷产生的力，相当于电源内部的所谓的非静电力。感生电动势在电路中的作用就是电源。
知识点五、洛伦兹力与动生电动势
一段导体做切割磁感线运动时，导体内自由电荷随导体在磁场中运动，则必受洛伦兹力。自由电荷在洛伦兹力作用下产生定向移动，这样异种电荷分别在导体两端聚集，从而使导体两端产生电势差，这就是动生电动势。若电路闭合，则电路中产生感应电流。
知识点诠释：
（1）产生动生电动势的导体也相当于电源，其中所谓的非静电力就是洛伦兹力。
（2）动生电动势的产生与电路是否闭合无关。
（3）当电路不闭合时，切割磁感线的导体两端积聚电荷，则在导体内产生附加电场，电荷在受洛伦兹力的同时也受电场力作用。如图甲所示，当导体以恒定速度向右运动切割磁感线时，负电荷受洛伦兹力方向向下，则端聚集负电荷，同时端剩余等量正电荷，在导体内产生向下的电场，使负电荷受洛伦兹力的同时，也受电场力，但电场力方向向上，故当洛伦兹力时，电荷不再定向移动，此时间电压最大，即达电源电动势。
注意：
（1）当切割磁感线的导体棒中有动生电流时，棒内的自由电荷参与两个分运动，一是随导体切割磁感线的运动，二是沿导体定向移动（形成电流）。这两个分运动对应合运动所受洛伦兹力的两个分力，如图乙所示，使电荷沿棒移动形成电流的分力和与导体棒给电荷的作用力在水平方向平衡的力。
（2）沿棒方向的分力对电荷做正功，阻碍导体棒运动的分力对电荷做负功，这两个功代数和为零，不违背洛伦兹力永不做功的特点。即和的合力始终与电荷运动的合速度垂直。
知识点六、动生电动势与感生电动势的区别和联系
1．产生的物理机理不同
如图所示，导体向右运动，中的自由电子一起向右运动，向右运动的电子受到洛伦兹力的作用后相对于杆往下端运动，这就是感应电流，方向由向。产生电流的电动势存在于段中，单位电荷受到洛伦兹力为，而电动势的大小等于从到移动单位正电荷时洛伦兹力做的功，因此。
感生电动势，是由于变化的磁场周围产生感生电场，线圈中的自由电子在感生电场力作用下发生移动，形成感应电流。单位电荷在闭合电路中移动一周，电场力做的功等于感生电动势。
2．相当于电源的部分不同
导体运动产生动生电动势时，运动部分的导体相当于电源，而由于磁场变化产生感生电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源。
3．的含义不同
导体运动产生电动势，是由于导体线框本身的面积发生变化而产生的，所以；磁场变化产生电动势，是由于磁场变化而产生的，所以。
知识点诠释：
（1）在磁场变化，同时导体做切割磁感线运动时，两种电动势可同时存在。
（2）动生电动势和感生电动势的划分，在某些情况下只有相对意义。
知识点七、电磁感应中电路问题的处理方法
在电磁感应中，切割磁感线的导体将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源，因此，电磁感应问题往往与电路问题联系在一起。解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：
（1）用法拉第电磁感应定律确定感应电动势的大小，用楞次定律确定感应电动势的方向。
（2）画等效电路图。
（3）运用全电路欧姆定律、串并联电路性质、电功率等公式联立求解。
知识点八、感生电动势和动生电动势综合的问题
有的问题中既有感生电动势又有动生电动势，最容易产生错误的是计算感应电动势时，只考虑一种而忽视另一种。用楞次定律和右手定则分别判出感生电动势、动生电动势的方向，求感应电动势时同向相加，反向相减。感生电动势用求，动生电动势用求。
知识点九、电磁感应现象中的力学问题分析
电磁感应的题目往往综合性较强，与前面的知识联系较多，涉及力和运动、动量、能量、直流电路、安培力等多方面的知识。应用主要可分为以下两个方面：
电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析：
周而复始地循环，达到循环状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。
2．功能分析：
电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化。图中金属棒沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能。因此，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。
类型一、重力势能向电能转化问题
　　例1．电阻为的矩形导线框，边长，，质量为，自某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为（如图所示）。若线框恰好以恒定速度通过磁场，线框中产生的焦耳热是____________（不考虑空气阻力）。
　　　 　
【变式1】图中和为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距为，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度为的匀强磁场垂直．质量为、电阻为的金属杆始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为的电阻．当杆达到稳定状态时以速率匀速下滑，整个电路消耗的电功率为，重力加速度取。
试求速率和滑动变阻器接入电路部分的阻值．
【变式2】如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为（其中为辐射半径），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为（大于圆柱形磁铁的半径），而弯成铝环的铝丝其横截面积为，圆环通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平，已知铝丝电阻率为，密度为，试求：
（1）圆环下落的速度为时的电功率；
（2）圆环下落的最终速度；
（3）当下落高度时，速度最大，从开始下落到此时圆环消耗的电能．
类型二、路端电压与电动势的计算
[例2]圆环和圆环的半径之比，且是由粗细相同的同种材料的导线构成，连接两环的导线电阻不计，匀强磁场的磁感应强度始终以恒定的变化率变化，那么，当只有环置于磁场中与只有环置于磁场中两种情况下，两点间的电势差之比为（ ）
　　A．　　　B．　　　 C．　　　 D．
【变式1】如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻为细金属环电阻的二分之一。磁场垂直穿过粗金属环所在区域。当磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生的感应电动势为。则两点间的电势差为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边两点间的电势差绝对值最大的是（ ）
类型三、电磁感应现象中通过某一截面电量的计算
[例3]如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从图示位置匀速拉出匀强磁场，若第一次用秒时间拉出，外力所做的功为，通过导线截面的电量为；第二次用秒时间拉出，外力做的功为，通过导体截面的电量为，则（ ）
　　A．　　　　B．
　　C．　　　　 D．
　　
类型四、电磁感应与电路综合问题
[例4]把总电阻为的均匀电阻丝焊接成一半径为的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中，如图所示，一长度为、电阻等于、粗细均匀的金属棒放在圆环上，它与圆环始终保持良好的电接触。当金属棒以恒定速度向右移动，经过环心时，求：
　　（1）棒上电流的大小和方向以及棒两端的电压。
　　（2）在圆环和金属棒上消耗的总热功率。
【变式】如图所示，三角形金属导轨上放一金属杆，在外力作用下使保持与垂直，以速度从点开始向右平移，设导轨和金属棒均为粗细相同的同种金属制成，则下列正确的是（ ）
A．电路中的感应电动势大小不变 B．电路中的感应电动势逐渐增大
C．电路中的感应电流大小不变 D．电路中的感应电流逐渐减小
类型五、图象问题
[例5]图甲中是一边长为，具有质量的刚性导线框，位于水平面内，边中串接有电阻，导线的电阻不计，虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线边平行，磁场区域的宽度为，磁感应强度为，方向竖直向下，线框在一垂直于边的水平恒定拉力作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知边刚进入磁场时，线框便变为匀速运动，此时通过电阻R的电流的大小为，试在下图的坐标上定性画出：从导线框刚进磁场到完全离开磁场的过程中，流过电阻的电流的大小随边的位置坐标变化的曲线。
　　　　　　　　
类型六、电磁感应综合
[例6]如图甲所示，在水平面上固定有长为、宽为的金属形导轨，在 形导轨右侧范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示．在时刻，质量为的导体棒以的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，导轨与导体棒单位长度的电阻均为，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响(取)．
(1)通过计算分析内导体棒的运动情况；
(2)计算内回路中电流的大小，并判断电流方向；
(3)计算内回路产生的焦耳热．
【变式】如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为，左端接有阻值为的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为的匀强磁场中，质量为的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．
（1）求初始时刻导体棒受到的安培力．
（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为，则这一过程中安培力所做的功和电阻上产生的焦耳热分别为多少
（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处 从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻上产生的焦耳热为多少
类型七、感生电场问题
[例7]如图所示的是一个水平放置的玻璃圆环形小槽，槽内光滑，槽宽度和深度处处相同。现将一直径略小于槽宽的带正电小球放在槽中，让它获得一初速度，与此同时，有一变化的磁场垂直穿过玻璃圆环形小槽外径所对应的圆面积，磁感应强度的大小跟时间成正比例增大，方向竖直向下。设小球在运动过程中电荷量不变，则（ ）
　　　　　　　　
A．小球受到的向心力大小不变
B．小球受到的向心力大小不断增大
C．磁场力对小球做了功
D．小球受到的磁场力大小与时间成正比
类型八、感生电动势的计算
[例8]如图甲所示，匝的圆形线圈，它的两端点与内阻很大的电压表相连，线圈中磁通量的变化规律如图乙所示，则两点的电势高低与电压表的读数为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式】如图所示，，，回路总电阻为，，导轨光滑，开始时匀强磁场的磁感应强度，现使磁感应强度以的变化率均匀地增大。试求：当为多少时，刚好离开地面？（取）
类型十、电磁感应电路问题
[例10]在如图所示的磁感应强度的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为的平行金属导轨与，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点之间连接一阻值的电阻。导轨上跨放着一根长为、每米长电阻的金属棒，金属棒与导轨正交放置，交点为。当金属棒以速度向左做匀速运动时，试求：
（1）电阻中的电流大小和方向；
（2）使金属棒做匀速运动的外力；
（3）金属棒两端点的电势差。
第十七讲 电磁感应规律的综合运用作业
1．在下图所示的四种磁场情况中能产生恒定的感生电场的是（ ）
2.金属圆盘的平面与匀强磁场垂直，如图所示，当圆盘按图示方向转动时，比较圆盘边缘的电势与圆心的电势（ ）
A．边缘的电势较高 B．圆心的电势较高
C．边缘和圆心的电势相等 D．无法确定
3.如图甲所示，截面积为0.2 m2的100匝圆形线A处在变化的磁场中，磁场方向垂直纸面，其磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示。设垂直纸面向里为B的正方向，线圈上的箭头为感应电流I的正方向，R1=4Ω n，R2=6Ω，C=30μF，线圈内阻不计。求电容器充电时的电压和2 s后电容器放电的电荷量。
4.如图所示，在磁感应强度B=0.4 T的匀强磁场中放一半径r0=50 cm的圆形导轨，上面有四根导体棒，一起以角速度=103 rad／s沿逆时针方向匀速转动，圆导轨边缘与圆心处通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻R=0.4Ω，外接电阻R=3.9Ω。求：
（1）每根导体棒产生的感应电动势；
（2）当开关S接通和断开时两电表的读数。（RV→∞，RA→0）
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