资源简介

(共20张PPT)
第一单元
集 合
1.1集合及其表示
1.2集合之间的运算
1.3集合的运算
1.1集合及其表示
1.1.1集合的概念
在日常生活中，我们所看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的实物或一些抽象的符号都可以视作对象，由某些指定的对象汇集在一起所组成的整体就叫作集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.
例：如把所有小于10的自然数
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
中的各个数都看成对象，所有这些对象汇集在一起就构成了一个集合，其中的每个数即这个集合中的元素.
1.1集合及其表示
1.1.1 集合的概念
集合一般采用大写英文字母A，B，C，…来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a，b，c，…来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A;如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A.
一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作 .
1.1集合及其表示
1.1.1 集合的概念
关于集合的概念有以下说明：
（1）集合的元素具有确定性，即作为一个集合的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.
（2）集合的元素具有互异性，即给定一个集合，则集合的元素一定是互不相同的.
（3）集合的元素具有无序性，即集合是由一些事物组成的整体，因此不考虑这些事物的排列次序.
1.1集合及其表示
1.1.1 集合的概念
例：由下列语句能否确定一个集合？
（1）一切很大的数； （2）小于5的正奇数；
（3）方程x2=4的所有解； （4）不等式x-5>0的所有解.
根据集合所含有的元素个数可以将集合分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集.
由方程的所有解组成的集合叫作这个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合叫作这个不等式的解集.
解：
（1）因为很大的数没有具体的标准，“一切很大的数”所指的对象是不确定的，所以不能构成集合.
（2）因为小于5的正奇数包括1，3两个数，它们是确定的对象，所以可以构成一个集合.
（3）方程x2=4的解为-2和2，是确定的对象，所以可以构成集合.
（4）解不等式x-5>0可得x>5，它们是确定的对象，所以可以构成集合.
1.1集合及其表示
1.1.1集合的概念
由数组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：
所有非负整数所组成的集合叫作自然数集，记作N；
所有正整数所组成的集合叫作正整数集，记作N*；
所有整数所组成的集合叫作整数集，记作Z；
所有有理数所组成的集合叫作有理数集，记作Q；
所有实数所组成的集合叫作实数集，记作R.
1.1集合及其表示
1.1.2 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合的方法叫作列举法.
当集合为无限集或元素很多的有限集时，可以在花括号内只写出几个元素，其他的用省略号表示即可，但所写出的元素必须能让人明白省略号表示哪些元素.
用列举法表示集合时一般不必考虑元素的排列顺序，并且集合中的元素必须是互不相同的对象。
1.1集合及其表示
1.1.2 集合的表示方法
2.描述法
把描述集合中元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号“｛｝”内用来表示集合的方法叫作描述法.
例：写出由大于2的所有实数组成的集合.
解：｛x|x>2，x∈R｝，因x∈R，则集合也可表示为｛x|x>2｝.
(花括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，元素x从实数集R中取值；竖线右侧写出了该元素的特征性质.)
1.2集合之间的关系
1.2.1 子集和真子集
一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A就叫作集合B的子集，记作
A B或B A，
读作“A包含于B”或“B包含A”.
观察下面的例子，你能发现两个集合间的关系吗？
（1）A=｛2，4，6｝，B=｛2，4，6，8｝；
（2）A=｛x|x是长方形｝，B=｛x|x是平行四边形｝.
可以看出，上述集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素.
1.2集合之间的关系
1.2.1 子集和真子集
任意一个集合A都是它自身的子集，即A A.
空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A都有 A.
如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作
A B或B A，
读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
1.2集合之间的关系
1.2.1 子集和真子集
我们常用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合［图(a)］．如果集合A是集合B的真子集，则把表示A的区域画在表示B的区域的内部［图(b)］，这种图形通常叫作维恩（Venn）图.
维恩图
根据子集、真子集的定义可推知:
对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C;
对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.
1.2集合之间的关系
1.2.1 子集和真子集
例1：用适当的符号 ， ，∈， 填空.
（1） ｛1,3，5,7，9｝；
（2）3 ｛1,3，5,7，9｝；
（3）｛3｝ ｛1,3，5,7，9｝；
例2：写出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集.
解：
（1）因为空集是任何集合的子集，所以 ｛1,3，5,7，9｝；
（2）因为3是集合1,3，5,7，9中的一个元素，所以3∈1,3，5,7，9 ｝；
（3）因为集合3中的元素都是集合1,3，5,7，9中的元素，所以｛3｝ ｛1,3，5,7，9｝.
解：
集合A的所有子集为 ，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝.
在上述子集中，除了集合A本身，即｛1，2，3｝外，其余的全为集合A的真子集.
1.2集合之间的关系
1.2.2 集合相等
一般地，如果集合A中的每个元素都是集合B中的元素，并且集合B中的每个元素都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.
观察集合
A=｛1，2，3｝，B=｛x|0可以看出，集合A中的元素和集合B中的元素完全相同，只是两个集合的表达方式不同.
1.3.集合的运算
1.3.1 交集
一般地，像上述那样，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有共同元素构成的集合叫作集合A与B的交集，记作
A∩B，
读作“A交B”,可用右图所示的阴影部分来形象地表示.
观察集合
A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝
可以看出，集合C中的元素恰好是集合A与集合B所共有的元素.
1.3.集合的运算
1.3.1 交集
由交集的定义可知，对于任意两个集合A，B都有
A∩B=B∩A； A∩A=A，A∩ = ； A∩B A，A∩B B.
例3：已知A=｛x|-1分析集合A，B是用描述法表示的集合，并且集合中的元素没法一一列举出来，因此可以结合数轴来解题.解在数轴上表示集合A，B，如下图所示
从图中容易看出，阴影部分为集合A，B的交集，即:
A∩B=｛x|-11.3集合的运算
1.3.2 并集
由并集的定义可知，对于任意两个集合A，B都有
A∪B=B∪A； A∪A=A，A∪ =A； A A∪B，B A∪B.
集合A和集合B的并集可以用上图中的阴影部分来表示.
例5：已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B.
解：
A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝.
1.3集合的运算
1.3.2 并集
一般地，像上述那样，对于给定的两个集合A和集合B，由集合A和集合B中的所有元素组成的集合叫作集合A和集合B的并集，记作
A∪B，
在求并集时，两个集合中相同的元素只列举一次，不能重复列举.读作“A并B”.
观察下面三个集合
M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝
可以看出，集合P是由集合M与集合N中的所有元素组成的.
1.3集合的运算
1.3.3 全集和补集
在研究集合与集合的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示.例如，在研究数集时，常常把实数集R作为全集.
如果给定的某一集合A是全集U的一个子集，则U中不属于A的所有元素所组成的集合叫作A在全集U中的补集，记作
CUA，
读作“A在U中的补集”，即
CUA=｛x|x∈U且x A｝.
1.3集合的运算
1.3.3 全集和补集
用图形表示集合时，通常用矩形区域表示全集.全集U与它的任意一个真子集A之间的关系可用下图来表示，其中阴影部分表示A在U中的补集.
由补集的定义可知，对于任意集合A都有
A∪CUA=U，A∩CUA= ，CU（CUA）=A.
1.3集合的运算
1.3.3 全集和补集
例8：已知全集U=｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A=｛3，4，5，6｝，求CUA，A∩CUA，A∪CUA.
例9：已知U=R，A=｛x|x>1｝，求CUA.
解：
CUA =｛1，2，7｝，
A∩CUA= ，
A∪CUA =U.
解：
CUA =｛x|x≤1｝.

展开更多......

收起↑