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3.2.1双曲线及其标准方程 学案
【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题．
【重点难点】掌握双曲线的定义及其标准方程.
【学习流程】
◎基础感知
温故知新
1、椭圆的定义
平面内到两个定点的距离的和是一个常数，且该常数大于这两个定点之间的距离
2、椭圆的标准方程
+＝1(a>b>0) 或 +＝1(a>b>0)
◎探究未知
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示　准备实验，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件．
双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点记忆点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1　已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)
A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线
跟踪训练1　在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2,0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．(0,4]
C．(4，＋∞) D．(0,4)∪(4，＋∞)
二、双曲线的标准方程
问题2：类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
记忆点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　)
(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.(　　)
例3　求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
跟踪训练2　焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
三、双曲线在生活中的应用
例4　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
四、（拓展）与双曲线有关的轨迹问题
例5 如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
◎达标检测
1．(教材例题改编)设动点M到点A的距离与它到点B的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2. 双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
3．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2
4．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
5. 若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B. C. D．(，0)
6．(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．17 B．7 C．22 D．2
7. 已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.
8．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程为________________．
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
(2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
【总结反思】
1、求双曲线的标准方程方法
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
2、求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．

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