资源简介
3.1.2椭圆的简单几何性质 学案
(第1课时)
【学习目标】1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
【重点难点】椭圆标准方程中a,b,c的几何意义
【学习流程】
◎基础感知
【导语】与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
问题1 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长=2b,长轴长=2a 短半轴长=b,长半轴长=a
焦点 (±,0) (0,±)
焦距 |F1F2|=2
对称性 对称轴:x轴、y轴 对称中心:原点
记忆点:
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
问题2 观察图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?这个定量对椭圆的形状有何影响?
提示 利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度.
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,
则0记忆点:
(1)e==.
(2)离心率的范围为(0,1). (3)e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆.
◎展示提升
一、椭圆的几何性质
例1 设椭圆方程mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为,试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
跟踪训练1 已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其几何性质
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6;
(2)过点(3,0),离心率e=.
跟踪训练2
(1)、若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为______________.
(2)、已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程是__________.
三、求椭圆的离心率
例3 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.
变式1.若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求C的离心率.
变式2.若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求C的离心率的取值范围.
跟踪训练3
(1)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的弦MN的长为,若△MF2N的周长为20,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
◎达标检测
1.已知椭圆的离心率为,焦点是(-3,0)和(3,0),则该椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
2.(多选)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
3.曲线+=1与+=1(0A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
4.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
5.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km,远地点B(离地心最远的一点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则( )
A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=
6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率07.如图,把椭圆+=1的长轴AB八等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+…+|P7F|的值为________.
【总结反思】
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
3、求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
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