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3.1.2椭圆的简单几何性质 学案
（第1课时）
【学习目标】1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
【重点难点】椭圆标准方程中a，b，c的几何意义
【学习流程】
◎基础感知
【导语】与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 短半轴长＝b，长半轴长＝a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
记忆点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，
则0记忆点：
(1)e＝＝.
(2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
◎展示提升
一、椭圆的几何性质
例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝.
跟踪训练2　
(1)、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
(2)、已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
三、求椭圆的离心率
例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
变式1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
变式2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
跟踪训练3　
(1)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
◎达标检测
1．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
2．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率07．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值为________．
【总结反思】
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆的标准方程．
3、求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

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