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2023年西藏中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 年月日，国务院新闻办公室介绍了年知识产权相关工作情况，截至年底，我国发明专利有效量为万件将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，已知，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，四边形内接于，为延长线上一点若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知，都是实数，若，则的值是( )
A. B. C. D.
10. 如图，两张宽为的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
11. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是( )
A. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
12. 如图，矩形中，和相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 请写出一个你喜欢的无理数______ ．
14. 函数中自变量的取值范围是______ ．
15. 分解因式： ______ ．
16. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点若线段，，则长为______ ．
17. 圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
18. 按一定规律排列的单项式：，，，，则按此规律排列的第个单项式为______ 用含有的代数式表示
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解分式方程：．
21. 本小题分
如图，已知，，求证：．
22. 本小题分
某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．
请根据图中给出的信息，回答下列问题：
调查的样本容量为______ ，并把条形统计图补充完整；
珞巴族所在扇形圆心角的度数为______ ；
学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率．
23. 本小题分
列方程组解应用题
如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
求一块长方形墙砖的长和宽；
求电视背景墙的面积．
24. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为．
求，的值和反比例函数的解析式；
点关于原点的对称点为，在轴上找一点，使最小，求出点的坐标．
25. 本小题分
如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，小时后，轮船甲到达处，轮船乙到达处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向已知轮船甲的速度为每小时海里，求轮船乙的速度结果保留根号
26. 本小题分
如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点，垂足为点，平分．
求证：是的切线；
若，，求的长．
27. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图甲，在轴上找一点，使为等腰三角形，请直接写出点的坐标；
如图乙，点为抛物线对称轴上一点，是否存在、两点使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出、两点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数叫做相反数即可求解．
本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：，
由，
由得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题可知：，，
，
，
又知，
故．
故选：．
根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．
本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，，
，
故选：．
由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8.【答案】
【解析】解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选：．
根据邻补角互补求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，，
，，
解得，，
．
故选：．
根据绝对值和偶次方的非负性可求解，的值，再代入计算可求解．
此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．
10.【答案】
【解析】解：过点作于，于，
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形，
，在中，，，，
，
，
四边形的面积．
故选：．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解直角三角形求得菱形的边长，根据平行四边形的面积公式求得即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定、解直角三角形以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移个，再向下平移个单位可得到，
所以抛物线向左平移个，再向下平移个单位得到抛物线．
故选：．
先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，
过作于，
，
，
连接，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得到，，，，根据勾股定理得到，过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：我喜欢的无理数是，
故答案为：答案不唯一．
无理数即无限不循环小数，据此写出一个喜欢的无理数即可．
本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
即，
故答案为：．
根据分式有意义的条件即可求得答案．
本题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键原式利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：连接，
由作图知，直线是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
17.【答案】
【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】
【解析】解：第个单项式的系数可表示为：，字母的次数可表示为：，
第个单项式为：．
根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得：，
故原分式方程的解为：．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】先由题意可证≌，可得，再根据等式的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由条形统计图可知：汉族人数是人，
由扇形统计图可知：汉族人数占，
调查的样本容量为：人，
藏族人数为：人，
故答案为：．
补全条形统计图如图所示：
由条形统计图可知：珞巴族是人，
珞巴族所占的比例为：，
珞巴族所在扇形圆心角的度数为：；
故答案为：．
画出树状图如图所示：
根据树状图可知：共有种情况，其中有有一名是藏族学生的情况有种，
两名主持人中有一名是藏族学生的概率．
由条形统计图可知：汉族人数是人，由扇形统计图可知：汉族人数占，据此可求出调查的样本容量；然后再求出藏族人数即可补全条形统计图；
由条形统计图可知：珞巴族是人，根据中所求的样本容量可得出珞巴族所占的比例，进而可求出珞巴族所在扇形圆心角的度数；
画出树状图，求出所有等可能情况，找出其中有一名是藏族学生的情况，然后利用概率公式即可得出答案．
此题主要考查了统计的实际应用，熟练掌握概率的计算公式，正确的画出树状图，理解题意，读懂统计图，并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
23.【答案】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为．
依题意得：，解得：，
答：一块长方形墙砖的长为，宽为．
求电视背景墙的面积为：
答：电视背景墙的面积为．
【解析】首先设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用，的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
24.【答案】解：将点，点分别代入之中，
得：，，
解得：，，
点，点，
将点代入之中，得：，
反比例函数的解析式为：，
故得，，反比例函数的解析式为：．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图：
则为最小，
故得点为所求作的点．理由如下：
在轴上任取一点，连接，，，
点关于轴的对称点，
轴为线段的垂直平分线，
，，
，，
根据“两点之间线段最短”得：，
即：，
为最小．
点，点与点关于原点对称，
点的坐标为，
又点，点和点关于轴对称，
点点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：，
对于，当时，，
点的坐标为．
【解析】将点，点分别代入之中，即可求出，的值；然后再将点代入之中求出即可得到反比例函数的解析；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则为最小，故得点为所求作的点，根据对称性先求出点，点，再利用待定系数法求出直线的解析式为，由此可求出点的坐标．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键．
25.【答案】解：过作于，
在中，，海里，
海里，
在中，，
海里，
轮船乙的速度为海里小时．
【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，周期地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】证明：连接，如图，
，
．
平分，
，
，
．
，
．
为的半径，
是的切线；
解：连接，交于点，如图，
为的直径，
，
，，
四边形为矩形，
，，，
．
为的直径，
，
．
，
，
∽，
，
，
，．
，
，
，
．
【解析】连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
连接，交于点，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
27.【答案】解：，两点在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
令，，
，
等腰，如图甲，
当以点为顶点时，，点与原点重合，
；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
，
；
当以点为顶点时，，
点的纵坐标为或，
或；
综上所述，点的坐标为或或或；
存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：，
设，，
，，
则，
，
，
四边形是菱形，
分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图，
，
解得：，
，，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
，，
解得：，，
，
当时，
，，
解得：，，
；
以为对角线时，则，如图，
，
解得：，
，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与中点重合，
，，
解得：，，
；
当以为对角线时，则，如图，
，
解得：，
，，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与的中点重合，
，，
解得：，，
，；
综上所述，符合条件的点、的坐标为：，或，或，或，或，
【解析】将，代入，求出、，即可得出答案；
分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
抛物线的对称轴为，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
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