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高中数学重难点突破
专题十 圆锥曲线常用二级定理的推导与应用
一、椭圆与双曲线的焦点三角形
知识归纳
1、椭圆焦点三角形的性质
椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
证明：设
推论与应用：（注意：r为内切圆半径）
直角三角等面积法：如右图，当时，有；
，．
（2）任意角度的等面积法：．
（3）最大面积、最大夹角问题：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积原理，此时．
（4）直角顶点的讨论：当时，取得最大值。
若，则，；
若，则，；
若，则，．
在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。（注意：与的区别）
（5）已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则．
2、双曲线焦点三角形性质
双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则
证明：
推论与应用：
（1）直角三角等面积法：当时，
有；；
（2）任意角度的等面积法：；
（3）内切圆的圆心横坐标一定等于；
证明：如图，；
椭圆双曲线共焦点三角形的问题
如图，椭圆和双曲线共焦点，由于两个式子不同，将椭圆写成，双曲线写成可以知道，
①当时，椭圆和双曲线的离心率；
②当时，一定有．
证明：．
典例分析
【例1】已知椭圆，、为焦点，点P为椭圆上一点，，则= ．
【例2】已知P是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点,若的内切圆半径为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90 ，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例4】双曲线的焦点为、，点P为双曲线上的动点，当时，点P的横坐标的取值范围是（ ） ( http: / / www. )
A．（，） B．(，]∪[，)
C．(，) D．(，]∪[，) ( http: / / www. )
【例5】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
【例6】已知椭圆与双曲线共焦点，两个公共焦点分别为、，点P为两曲线的一个交点，那么 ； ．
【例7】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.
课后练习
1、椭圆的焦点分别为、， P是椭圆上位于第一象限的点，若△PF1F2的内切圆半径为，则点P的纵坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2、设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（ ）
A． B． C． D．
3、椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ）.
A． B． C． D．
4、设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5、已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6、椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 ．
7、设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.
二、圆锥曲线中的定值问题
知识归纳
1、双曲线焦点到渐近线距离为b
定理一：双曲线C：的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数
定理二：双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是ax－by＝0和ax＋by＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是乘积．
2、圆锥曲线的中点弦问题
在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=－.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=－.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=－.
在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=. (2)k1·k2=. (3)k0·k=.
3、圆锥曲线的斜率问题
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值.
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
典例分析
【例8】若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 ．
【例9】已知双曲线C：，P是C上的任意点．则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的
乘积是 ．
【例10】斜率为的直线l与椭圆交于、两点，线段的中点为，直线斜率为，则的值等于__________.
【例11】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例12】过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例13】已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例14】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
课后练习
1、已知椭圆，点为右焦点，为上顶点，平行于的直线交椭圆于，两点且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2、已知抛物线，过其焦点且斜率为的直交抛物线于 两点，若线段的中点的横坐标为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3、已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，设直线的斜率为，则的值为_________.
三、极点与极线问题
知识归纳
1、极点和极线的定义（代数定义）
已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
以上代数定义表面，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程．
特别的：
（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；
（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；
（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为．当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线．
2、极点与极线的作图（几何意义）
如图1，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线与四点，连接交于点，连接交于点，则直线为点对应的极线．
图1 图2
如图2，同理可知为点对应的极线，是点对应的极线．△称为自极三点形．若连接交圆锥曲线与点，则恰为圆锥曲线的两条切线．
3、极点与极线的性质
定理1 （1）当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；
当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；
当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
证明（1）假设同以上代数定义，对：的方程，两边对求导得，解得，于是曲线在点处的切线斜率，故切线的为，化简得，，又点在曲线上，故有，从中解出，然后代入前式可得曲线在点处的切线的方程为．
根据代数定义，此方程恰为点的极线方程．
设过点所作的两条切线的切点分别为，如图2，则由（1）知，在点处的切线方程分别为和，又点在切线上，所以有
，，
观察这两个式子，可发现点都在直线上，又两点确定一条直线，故切点弦所在的直线方程为．根据代数定义，此方程恰为点对应的极线方程．
图3 图4 图5
设曲线经过点的弦的两端分别为,如图3，则由（1）知，曲线在这两处的切线方程，，
设两切线的交点为，则有，
，
观察这两个式子，可发现点都在直线上，又两点确定一条直线，故直线的方程为．
又直线过点，所以这意味着点在直线．
所以，两切线的交点的轨迹方程式．
根据上述几何定义个性质可知，当曲线为圆或椭圆时，若极点在曲线外，则极线与曲线相交有两个共同点；若极点在曲线内，则极线与曲线相离没有公共点；若极线与曲线相交，则极点在曲线外；若极线与曲线相离，则极点在曲线内．
若过极线上一点可作的两条切线，为切点，则直线必过极点．
定理2（配极原则）点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;
直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线．
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．
定理3 如图4，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于两点，交于点，则①．反之，若①式成立，则称点调和分割线段，或称点与点关于调和共轭．
点关于圆锥曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是点的极线．
定理2和定理3的证明，在高等解析几何教材中都能找到，在此均省略．
定理4:如图5，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为．
若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;
若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；
若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线．
典例分析
【例15】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例16】过椭圆内一点，做直线与椭圆交于点，作直线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，则所在的直线方程是 ．
【例17】已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数是 ．
【例18】已知椭圆的方程为，过直线上任意一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为 ．
【例19】已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B． C． D．
课后练习
1、过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
2、过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是（ ）．
A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2
3、过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,则直线AB的方程　　　　　.
5、在直线上任取一点，过点向圆作两条切线，切点分别为，则直线经过一个定点，该定点的坐标为_____ ．
四、抛物线中的重要结论
知识归纳
1、抛物线焦长公式及性质
(1)．
(2)．
(3)．
(4)设,则．
(5)设AB交准线于点P，则；．
证明：(1) ；同理.
(2)．
(3)设O到AB的距离为,则 ，故．
(4)，．
(5)；；；．
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)；
(2)
(3)；
(4)设，则；
(5)设AB交准线于点P，．
2、抛物线的设线问题
如图1，已知AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，是抛物线的准线，，N为垂足．则：
（1）以AB为直径的圆与准线l相切．
（2）
（3）则（重点）
（4）设，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上（重点）
与抛物线联立的直线只能是，故可得
两种直线与抛物线的联立形式
定理：已知AB是抛物线的弦，则令AB方程为，故
（k为直线AB斜率的倒数）
（5）（中点弦问题）（k为直线AB斜率的倒数）
（6）（图2）故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点
（7）直线过定点(图3)
时，（垂直问题）
已知AB是抛物线弦，则令AB方程为，故（k为直线AB斜率）
（8）（中点弦问题）（k为直线AB斜率）
（9） （中垂线过定点问题）
故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点
（10）直线过定点
证明：（1）过A作AC垂直L，C为垂足．在梯形ACDB中，
，故以AB为直径的圆与准线l相切．
（2）在与中， ；在中，
设直线AB的方程为与抛物线联立得：，即
故．
因为点D的坐标为，直线OA的方程为，因此只要证明即证明 即证明，根据（3）中结论即可证明．
3、抛物线切线方程及性质
设在抛物线上任意一点的切线方程为：
证明：点在抛物线上；又求导得；
在点的切线方程为：即
同理，在抛物线上任意一点的切线方程为：
证明：点在抛物线上；又对y求导得；
在点的切线方程为：即
定理：在抛物线上任意一点的切线与x轴的交点为B，则．（图1）
在抛物线上任意一点的切线与y轴的交点为B，则．（图2）
图1 图2 图3
4、 阿基米德三角形与焦点弦
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．下面来逐一介绍阿基米德三角形．
如图3，已知Q是抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA、QB分别交抛物线于A、B两点，M（）为AB中点，则：
（1）；（2）AB过抛物线的焦点；（3）
证明：（1）点在抛物线上
求导得； （求导）
所以点的切线方程为： 即 （切线）
得：， （作差）
即 （求点）
（2）将点Q代入切线方程得： （代入）
令AB方程为，代入得： （联立）
，所以直线AB过定点即抛物线焦点． （过定点）
同理，此性质在抛物线依然成立．
5、抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=－的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
典例分析
【例20】已知抛物线：的焦点为F，直线与交于，（A在轴上方）两点，若，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【例21】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．2
【例22】已知直线与抛物线交于A，B两点，点，若，则m=（　　）
A． B． C． D．0
【例23】已知点P在抛物线C：的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【例24】已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．不能确定
【例25】如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
课后作业
1、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点、，交其准线于点 ，若，且则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2、已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3、点M是抛物线上的点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为　　　　．
4、求直线被抛物线截得线段的中点坐标．
5、过点作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为　　　 ．
6、直线l经过点且与抛物线只有一个公共点，满足这样条件的直线l有　　　　条．
7、已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．
提高练习
1．已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的个数是　　
A．点的横坐标为
B．△的周长为
C．小于
D．△的内切圆半径为
2．如图，为椭圆上的动点，过作切线交圆于，，过，作切线交于，则　　
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的轨迹是
D．的轨迹是
3．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有　　
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
4．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是　　
A．
B．存在点满足
C．直线与直线的斜率之积为
D．若△的面积为，则点的横坐标为
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则　　
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
6．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是　　
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为
C．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，那么下列说法中正确的有　　
A．若点在双曲线上，则
B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上
C．双曲线上存在点，使得
D．双曲线上有8个点，使得△是直角三角形
8．已知双曲线的上、下两个顶点分别是，，上、下两个焦点分别是，，是双曲线上异于，的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有　　
A．渐近线方程为
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使△为等腰三角形的点有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
10．已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上
B．
C．
D．
11．已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为，为坐标原点，则下列说法正确的有　　
A．若，，，，则
B．当时，
C．以为直径的圆与准线相切
D．不论为何值，三角形的面积为定值
12．抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是　　
A．的最小值是2
B．动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线，使得，两点关于直线对称
D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
13．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是　　
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
14．已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于，，，两点，则下列结论中正确的是　　
A．的取值范围是
B．
C．存在，使得以为直径的圆经过点
D．若三角形的面积为，则直线的倾斜角为或
15．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，，，．则下列选项正确的是　　
A．
B．以线段为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为，
16．已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为．则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．、、三点共线
D．以为直径的圆与轴相切
17．已知椭圆的左、右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点（异于左、右端点），且，则下列说法正确的有　　
A．椭圆的离心率不确定
B．椭圆的离心率为
C．的值受点，的位置影响
D．的最小值为
18．椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是　　
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为3
19．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于，两点，为线段的中点，下列结论正确的是　　
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线过椭圆焦点，则
20．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△的说法正确的有　　
A．△的周长为
B．当时，△的边
C．当时，△的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点，使得△为直角三角形
图1
图2
图3
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高中数学重难点突破
专题十 圆锥曲线常用二级定理的推导与应用
一、椭圆与双曲线的焦点三角形
知识归纳
1、椭圆焦点三角形的性质
椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
证明：设
推论与应用：（注意：r为内切圆半径）
直角三角等面积法：如右图，当时，有；
，．
（2）任意角度的等面积法：．
（3）最大面积、最大夹角问题：当点P位于椭圆的短轴顶点时，取最大值，根据等面积原理，此时．
（4）直角顶点的讨论：当时，取得最大值。
若，则，；
若，则，；
若，则，．
在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。（注意：与的区别）
（5）已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则．
2、双曲线焦点三角形性质
双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则
证明：
推论与应用：
（1）直角三角等面积法：当时，
有；；
（2）任意角度的等面积法：；
（3）内切圆的圆心横坐标一定等于；
证明：如图，；
椭圆双曲线共焦点三角形的问题
如图，椭圆和双曲线共焦点，由于两个式子不同，将椭圆写成，双曲线写成可以知道，
①当时，椭圆和双曲线的离心率；
②当时，一定有．
证明：．
典例分析
【例1】已知椭圆，、为焦点，点P为椭圆上一点，，则= ．
【解析】设 ．
【秒杀解法】．
【例2】已知P是椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点,若的内切圆半径为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】利用等面积法：；
；．
【例3】设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90 ，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∠F1AF2=90 ，且|AF1|=3|AF2| ；
故．
【例4】双曲线的焦点为、，点P为双曲线上的动点，当时，点P的横坐标的取值范围是（ ） ( http: / / www. )
A．（，） B．(，]∪[，)
C．(，) D．(，]∪[，) ( http: / / www. )
【解析】故，选B．
【例5】在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
【答案】D
【详解】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，
∴，即，
∴，
而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
【例6】已知椭圆与双曲线共焦点，两个公共焦点分别为、，点P为两曲线的一个交点，那么 ； ．
【解析】，
（或）．
【例7】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【详解】，，
则，所以，，
因为，所以，，可得.因此，双曲线的渐近线方程为，即.
课后练习
1、椭圆的焦点分别为、， P是椭圆上位于第一象限的点，若△PF1F2的内切圆半径为，则点P的纵坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【解析】利用等面积法：．
2、设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是7，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为离心率为，又焦点三角形面积，又解得，故，故选：A.
3、椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.
4、设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有得故.
故渐近线的斜率.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与.故双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：C
5、已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线右焦点为，取中点，连接
设，由双曲线定义知：，，且，，又，为中点，又为中点，且，，解得：，，，，
又双曲线焦点三角形面积
，，双曲线渐近线方程为。
6、椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 ．
【解析】根据上题的性质，当时，有，时，为钝角，故．
7、设为椭圆:的两个焦点。为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.
【答案】0
【解析】如图，由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，即，又由焦点三角形的面积，所以，所以，所以.
二、圆锥曲线中的定值问题
知识归纳
1、双曲线焦点到渐近线距离为b
定理一：双曲线C：的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数
定理二：双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是ax－by＝0和ax＋by＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是乘积．
2、圆锥曲线的中点弦问题
在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=－.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=－.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=－.
在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=. (2)k1·k2=. (3)k0·k=.
3、圆锥曲线的斜率问题
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值.
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA ，kPB ，且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值－.
典例分析
【例8】若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 ．
【解析】焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以．
【例9】已知双曲线C：，P是C上的任意点．则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的
乘积是 ．
【证明】设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0，
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
【例10】斜率为的直线l与椭圆交于、两点，线段的中点为，直线斜率为，则的值等于__________.
【解析】.
【例11】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，，则，两式相减得：，∴===，
又==，∴，联立，得.∴椭圆方程为.
【例12】过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，由于双曲线在点处的切线方程为，故切线的斜率；因为，则，则，即双曲线的离心率。
【例13】已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设点、，则，由题意，得，，两式相减，得，整理得，所以，因此，双曲线的离心率为
【例14】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【详解】由抛物线的定义知，则，解得，又点在抛物线上，代入，得，得，，所以，抛物线，因为斜率为的直线过点，所以的方程为，联立方程得，即，设，，由根与系数的关系得，则直线的斜率，直线的斜率，.
课后练习
1、已知椭圆，点为右焦点，为上顶点，平行于的直线交椭圆于，两点且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，直线的斜率为，则，所以，由线段的中点为，所以
所以，又，所以，又，所以，∴.
2、已知抛物线，过其焦点且斜率为的直交抛物线于 两点，若线段的中点的横坐标为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】抛物线的标准方程是，焦点坐标是，则直线的方程是，与抛物线方程联立得，，因为线段的中点的横坐标为2，所以，得，所以该抛物线方程，则准线方程.
3、已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解法一：由题意知，，则.设，，
则两式相减，得.因为线段的中点为，
所以，，又，所以，整理得，
所以，即，得.
解法二：由题意知，，则.设直线的方程为，即，代人双曲线方程，得.
设，，则，所以，又，所以，整理得，所以，
即，得，则
4、已知椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，设直线的斜率为，则的值为_________.
【答案】
【详解】设，，则，∴，，∵椭圆的离心率，∴，又，∴，∴椭圆的方程可化为，
∵直线与椭圆交于两点，∴，，作差得，即，∴，
三、极点与极线问题
知识归纳
1、极点和极线的定义（代数定义）
已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
以上代数定义表面，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程．
特别的：
（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；
（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；
（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为．当为其焦点时，极线变为，恰为抛物线的准线．
2、极点与极线的作图（几何意义）
如图1，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线与四点，连接交于点，连接交于点，则直线为点对应的极线．
图1 图2
如图2，同理可知为点对应的极线，是点对应的极线．△称为自极三点形．若连接交圆锥曲线与点，则恰为圆锥曲线的两条切线．
3、极点与极线的性质
定理1 （1）当点在圆锥曲线上时，其极线时曲线在点点处的切线；
当点在外时，其极线时曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；
当点在内时，其极线时曲线过点的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
证明（1）假设同以上代数定义，对：的方程，两边对求导得，解得，于是曲线在点处的切线斜率，故切线的为，化简得，，又点在曲线上，故有，从中解出，然后代入前式可得曲线在点处的切线的方程为．
根据代数定义，此方程恰为点的极线方程．
设过点所作的两条切线的切点分别为，如图2，则由（1）知，在点处的切线方程分别为和，又点在切线上，所以有
，，
观察这两个式子，可发现点都在直线上，又两点确定一条直线，故切点弦所在的直线方程为．根据代数定义，此方程恰为点对应的极线方程．
图3 图4 图5
设曲线经过点的弦的两端分别为,如图3，则由（1）知，曲线在这两处的切线方程，，
设两切线的交点为，则有，
，
观察这两个式子，可发现点都在直线上，又两点确定一条直线，故直线的方程为．
又直线过点，所以这意味着点在直线．
所以，两切线的交点的轨迹方程式．
根据上述几何定义个性质可知，当曲线为圆或椭圆时，若极点在曲线外，则极线与曲线相交有两个共同点；若极点在曲线内，则极线与曲线相离没有公共点；若极线与曲线相交，则极点在曲线外；若极线与曲线相离，则极点在曲线内．
若过极线上一点可作的两条切线，为切点，则直线必过极点．
定理2（配极原则）点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点;
直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线．
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线．
定理3 如图4，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于两点，交于点，则①．反之，若①式成立，则称点调和分割线段，或称点与点关于调和共轭．
点关于圆锥曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是点的极线．
定理2和定理3的证明，在高等解析几何教材中都能找到，在此均省略．
定理4:如图5，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为．
若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且;
若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且；
若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线．
典例分析
【例15】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】切点弦所在的直线就是点对应的极线，其方程为，化简即得
．故选A．
【例16】过椭圆内一点，做直线与椭圆交于点，作直线与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于点，过分别作椭圆的切线交于点，则所在的直线方程是 ．
【解析】本题实质就是求椭圆内一点对应的极线方程，结果为．
【例17】已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数是 ．
【解析】由知点在椭圆内且不是中心，由椭圆定义得，即．由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零．
【例18】已知椭圆的方程为，过直线上任意一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为 ．
【解析】由题设，切点弦是点对应的极线，设点Q的坐标为，则可知直线的方程为，即，显然直线过焦点，所以原点到直线的距离的最大值为1．
【例19】已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则切线的方程为，切线的方程为，因为点在切线上，所以，，所以直线的方程为，所以，因为点在椭圆上，
所以，所以，
课后练习
1、过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则直线PA的方程为，直线PB的方程为，
点均在两直线上，故，直线AB的方程为3x+4y=4.点到直线AB的距离，则.本题选择D选项.
2、过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是（ ）．
A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2
【答案】C
【解析】由题意得，设切点分别为，所以切线方程为别为，，变形为由于两条切线都这M点，所以过A,B两点的直线方程为,变形，与抛物线组方程组，消去x得，解得或，选C.
3、过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
4、已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,则直线AB的方程　　　　　.
【答案】y=x0x-y0.
【解析】联立方程得消去y,整理得x2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l与抛物线C相离.
由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=x0x-y0.
5、在直线上任取一点，过点向圆作两条切线，切点分别为，则直线经过一个定点，该定点的坐标为_____ ．
【解析】设点的坐标为，因为点对应的极线为直线，其方程为，整理得，令，可见直线过定点．
四、抛物线中的重要结论
知识归纳
1、抛物线焦长公式及性质
(1)．
(2)．
(3)．
(4)设,则．
(5)设AB交准线于点P，则；．
证明：(1) ；同理.
(2)．
(3)设O到AB的距离为,则 ，故．
(4)，．
(5)；；；．
关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）
(1)；
(2)
(3)；
(4)设，则；
(5)设AB交准线于点P，．
2、抛物线的设线问题
如图1，已知AB是过抛物线焦点F的弦，M是AB的中点，是抛物线的准线，，N为垂足．则：
（1）以AB为直径的圆与准线l相切．
（2）
（3）则（重点）
（4）设，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上（重点）
与抛物线联立的直线只能是，故可得
两种直线与抛物线的联立形式
定理：已知AB是抛物线的弦，则令AB方程为，故
（k为直线AB斜率的倒数）
（5）（中点弦问题）（k为直线AB斜率的倒数）
（6）（图2）故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点
（7）直线过定点(图3)
时，（垂直问题）
已知AB是抛物线弦，则令AB方程为，故（k为直线AB斜率）
（8）（中点弦问题）（k为直线AB斜率）
（9） （中垂线过定点问题）
故抛物线的弦AB中点，则AB中垂线过定点
（10）直线过定点
证明：（1）过A作AC垂直L，C为垂足．在梯形ACDB中，
，故以AB为直径的圆与准线l相切．
（2）在与中， ；在中，
设直线AB的方程为与抛物线联立得：，即
故．
因为点D的坐标为，直线OA的方程为，因此只要证明即证明 即证明，根据（3）中结论即可证明．
3、抛物线切线方程及性质
设在抛物线上任意一点的切线方程为：
证明：点在抛物线上；又求导得；
在点的切线方程为：即
同理，在抛物线上任意一点的切线方程为：
证明：点在抛物线上；又对y求导得；
在点的切线方程为：即
定理：在抛物线上任意一点的切线与x轴的交点为B，则．（图1）
在抛物线上任意一点的切线与y轴的交点为B，则．（图2）
图1 图2 图3
4、 阿基米德三角形与焦点弦
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．下面来逐一介绍阿基米德三角形．
如图3，已知Q是抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA、QB分别交抛物线于A、B两点，M（）为AB中点，则：
（1）；（2）AB过抛物线的焦点；（3）
证明：（1）点在抛物线上
求导得； （求导）
所以点的切线方程为： 即 （切线）
得：， （作差）
即 （求点）
（2）将点Q代入切线方程得： （代入）
令AB方程为，代入得： （联立）
，所以直线AB过定点即抛物线焦点． （过定点）
同理，此性质在抛物线依然成立．
5、抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=－的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
典例分析
【例20】已知抛物线：的焦点为F，直线与交于，（A在轴上方）两点，若，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】抛物线焦点为，且直线AB的倾斜角为60°，故，选D．
【例21】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．2
【解析】，故选D．
【例22】已知直线与抛物线交于A，B两点，点，若，则m=（　　）
A． B． C． D．0
【解析】易知直线过焦点，点M在准线上，根据性质：以焦点弦AB为直径的圆切于准线，切点纵坐标与弦AB中点纵坐标相等可知：（为斜率倒数），故选B．
【例23】已知点P在抛物线C：的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】P（﹣3，2）在抛物线C：的准线上，故p=6，抛物线
C：y2=12x，根据秘籍中的性质（1）可知，AB中点的纵坐标与P点纵坐标相等
（如图），即，且AB过抛物线的焦点；设AB方程为，代入抛物线方程得：，，故直线AB的斜率为3．
【例24】已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．不能确定
【答案】B
【解析】设，，
由，可得，所以，，
因为过点 作直线与抛物线分别切于点，且以为直径的圆过点，
所以，可得，
直线的方程为： ①，
同理直线的方程为：，②，
①②，可得，即.故选：B．
【例25】如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线于AB两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N，记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，则________．
【答案】2
【详解】，，，，
则，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得，∴，同理可得，
有，设直线的方程为，代入，整理得，∴，∴.
课后作业
1、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点、，交其准线于点 ，若，且则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，故此抛物线的方程为．
2、已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】，设切线，联立，故，，解得，故，则或
故以MN为直径的圆的方程为或，故选：C.
3、点M是抛物线上的点，则以点M为切点的抛物线的切线方程为　　　　．
【解析】将点M代入抛物线得：p=2，故以点M为切点的切线方程为，即
4、求直线被抛物线截得线段的中点坐标．
【解析】，代入抛物线方程得：，故，，即中点坐标为．
5、过点作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的斜率为　　　 ．
【解析】根据定理1的公式得，AB直线方程为：，故斜率为3．
6、直线l经过点且与抛物线只有一个公共点，满足这样条件的直线l有　　　　条．
【解析】设直线与抛物线切于点，故有代入点得：，与抛物线方程联立得：或，故存在两条切线，还有一条直线与抛物线只有一个公共点，故答案为3条．
7、已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取，，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标
是时，最小，最小值是2.
提高练习
1．已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的个数是　　
A．点的横坐标为
B．△的周长为
C．小于
D．△的内切圆半径为
【解答】解：设△的内心为，连接，，，
双曲线中的，，，不妨设，，，
由△的面积为20，可得，即，
由，可得，故A正确；
由，，且，，可得，，
则，则，故C正确；
由，则△的周长为，故B正确；
设△的内切圆半径为，可得，
可得，解得，故D不正确．
故选：ABC．
2．如图，为椭圆上的动点，过作切线交圆于，，过，作切线交于，则　　
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
【解答】解：设，，，，则，即，
过，作切线交于，则，所以，，即，，
因为点为椭圆上的动点，所以，
可得点的轨迹方程为，故错误，正确；
因为，，，，
所以
，
因为，所以，
所以，即的最大值为，故正确，错误．
故选：．
3．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有　　
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
【解答】解：，正确；
设，，，，，
有，，
由，，作差得：，所以，
则有，错误；
，
则有，可得，正确；
易知的最小值为通径，则有，即，
解得，所以，错误．
故选：．
4．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是　　
A．
B．存在点满足
C．直线与直线的斜率之积为
D．若△的面积为，则点的横坐标为
【解答】解：由椭圆方程可得：，，，，，，，，
对于，由椭圆的定义可知，故错误；
对于，若，则点在圆：上，联立椭圆方程可得方程组无解，故错误；
对于，设点的坐标为，则，
直线与直线的斜率之积为，故正确；
对于，三角形的面积为，解得，
代入椭圆方程可得，故正确．
故选：．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则　　
A．双曲线的离心率
B．当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上
C．为定值
D．的最小值为
【解答】解：双曲线的渐近线的，圆与渐近线相切，所以，所以，，所以，正确．
设，△内切圆与轴相切与点，则，故的横坐标，，记内心为，则垂直于轴，
所以内切圆的方程为，错误．
设，为双曲线上任一点，则它到两渐近线的距离，，
，正确．
过，与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标．得交点，
同理得，所以，正确
故选：．
6．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是　　
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为
C．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
【解答】解：由题意设双曲线的方程为，则，
将点代入得，解得，
双曲线的方程为，则，，．
对于，由双曲线的定义知，，即，
解得或22，故错误；
对于，点为双曲线的右顶点，过点与双曲线相切时，
直线与双曲线有唯一公共点，直线的方程为；当直线与双曲线的渐近线平行时，
直线与双曲线有唯一公共点，此时直线的斜率为，
直线的方程为，即或，故错误；
对于，是双曲线左支上的点，则，
则，将代入，
可得，即，
可得△为直角三角形，，故正确；
对于，由题意得双曲线为，设，，，，则，，
两式作差可得：，即，
为弦的中点，，，且直线的斜率存在，
，得直线的斜率，
则直线的方程为，故正确．
故选：．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，那么下列说法中正确的有　　
A．若点在双曲线上，则
B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上
C．双曲线上存在点，使得
D．双曲线上有8个点，使得△是直角三角形
【解答】解：对于，若为双曲线的一个顶点，如，则，故错误；
对于，设曲线的半焦距为，则，
双曲线的半焦距为，则，双曲线的焦点坐标为，，
以为直径的圆的方程为，点，适合上式，故正确；
对于，若双曲线上存在点，使得，
由，两式联立可得或，故错误；
对于，以为直径的圆与双曲线有4个交点，过、分别作轴的垂线，与双曲线有4个交点，可得双曲线上有8个点，使得△是直角三角形，故正确．
故选：．
8．已知双曲线的上、下两个顶点分别是，，上、下两个焦点分别是，，是双曲线上异于，的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有　　
A．渐近线方程为
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使△为等腰三角形的点有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于
【解答】解：．双曲线的渐近线方程为：，所以错误；
．设，，则，所以，故正确；
．如图，在双曲线的上支，第一象限有2个满足题意的，由双曲线的对称性，可知点有且仅有8个，故错误；
．设焦点坐标为：，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；
故选：．
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是　　
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
【解答】解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，则与相交，故对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故正确．
故选：．
10．已知抛物线的焦点为，、在抛物线上，且，过，分别引抛物线两切线交于点，则下列结论正确的是　　
A．点位于抛物线的准线上 B．
C． D．
【解答】解：由抛物线，则，准线方程为，
设直线的方程为，，，，，
则，因为，所以，
联立，消整理得：，则，，
所以，则，（正值舍去），所以，，
由，则，，
所以切线得斜率，则切线得方程为，即，
所以切线得斜率，则切线得方程为，即，
所以，所以，故，故正确，
联立，解得，所以，所以点位于抛物线的准线上，故正确，
，所以，所以，故正确，
，故错误．
故选：．
11．已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为，为坐标原点，则下列说法正确的有　　
A．若，，，，则
B．当时，
C．以为直径的圆与准线相切
D．不论为何值，三角形的面积为定值
【解答】解：设直线的方程为，联立方程组，消可得，①，
，，，，，故正确；
当时，此时直线方程为，
联立方程组，消整理可得，，
，故正确；
由①可得，，，
以为直径的圆的圆心坐标为，，
则圆心到直线的距离为，故正确；
设原点到直线的距离，
，不是定值．故不正确．
故选：．
12．抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是　　
A．的最小值是2
B．动点到点 的距离最小值为3
C．存在直线，使得，两点关于直线对称
D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
【解答】解：：当垂直于准线时，的值最小，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：等于到准线的距离为，所以正确；
：设则，所以，当时，的最小值为，所以不正确；
：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，，
联立可得：，
△，所以，
所以，，所以，的中点为，
由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以不正确；
：设，，，，，，设直线的方程为：，
所以，切线方程分别为：，即，
同理可得：，两式联立求出，可得，
因为，在抛物线上，，整理可得：，所以，
所以，不在准线上，所以不正确．
故选：．
13．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是　　
A．存在点，使得
B．
C．对于任意的点，必有向量与向量共线
D．面积的最小值为
【解答】解：设，，，．设直线，
联立，化为，得到，．
设过点的切线为，联立，整理可得，
由△，可得．同理可得过点的切线斜率为，
对于，，，故错；
对于，可得，处的切线方程分别为：，，可得，，
，又因为直线的斜率为，，
．故正确；
对于，设的中点为，则由由，轴，向量，
向量与向量共线，故正确；
对于，如图，设准线与轴的交点为，
面积的，当最短时（最短为，也最短，最短为，面积的最小值为，故正确．
故选：．
14．已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于，，，两点，则下列结论中正确的是　　
A．的取值范围是
B．
C．存在，使得以为直径的圆经过点
D．若三角形的面积为，则直线的倾斜角为或
【解答】解：对于：由题意可得，，设直线的方程为，
由，得，
因为直线与抛物线的相交于两点，所以，
解得，且，故不正确；
对于：由韦达定理可得，，
所以，所以，同号，所以，故不正确；
对于：假设存在，使得以为直径的圆经过点，则，所以，
所以，，
，
解得，所以存在，满足题意，故正确；
对于，所以直线的方程为，
则点到直线的距离为，所以，
所以，所以，设直线的倾斜角为，，
所以或，故正确．
故选：．
15．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，，，，．则下列选项正确的是　　
A．
B．以线段为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为，
【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，
可得，，，故错误；
由，的中点到准线的距离为，
可得，即有以为直径的圆与准线相切，则它与直线相离，故正确；
由，可得，即，又，，
解得，，，，所以，故正确；
由即的导数为，可得处的切线的方程为，
处的切线的方程为，
联立两条切线的方程，解得，，
即，到的距离为，，
则的面积为，当时，取得等号，
则面积的取值范围为，，故正确．
故选：．
16．已知抛物线的准线为，焦点为，原点为，过的直线交抛物线于点、，在第一象限，分别过、作准线的垂线于、，直线的倾斜角为．则下列说法正确的是　　
A． B．
C．、、三点共线 D．以为直径的圆与轴相切
【解答】解：设，，，，由题意知，直线的方程为，且，
将其与联立，消去得，，
①，②，，，即③，
由②③解得，，，
代入①得，，解得，，，即选项正确；
把，分别代入中，可得，，，，
，，
由选项可知，，，，即选项错误；
准线于，，，，，
、、三点共线，即选项正确；
，，，，，线段的中点坐标为，
线段的中点横坐标恰为的一半，以为直径的圆与轴相切，即选项正确．
故选：．
17．已知椭圆的左、右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点（异于左、右端点），且，则下列说法正确的有　　
A．椭圆的离心率不确定
B．椭圆的离心率为
C．的值受点，的位置影响
D．的最小值为
【解答】解：设，则，，
，
即，则椭圆的离心率为，
故错误，正确；
点，是椭圆上关于原点对称的两点，
四边形为平行四边形，即，
代入已知条件可得：，不受点，的位置影响，故错误；
设，，由题意可得，，
则有，从而有
，当，即当点为短轴的端点时，最大，
此时最小，由，
可得
，故正确．
故选：．
18．椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是　　
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为3
【解答】解：由椭圆，得，，．
对于，由椭圆定义可得，，
的周长为，故正确；
对于，设为椭圆上的任意一点，则满足，
，则，
由，得，，故正确；
对于，椭圆的离心率为，故错误；
对于，设为椭圆上的任意一点，则到圆的圆心的距离
，，故正确．
故选：．
19．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于，两点，为线段的中点，下列结论正确的是　　
A．直线与垂直
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线过椭圆焦点，则
【解答】解：由椭圆方程，得，．
对于，设，，，，
则，，两式作差可得，
，则，故错误；
对于，若点坐标为，则，则直线方程为，
即，故正确；
对于，若直线的方程为，点坐标为，则，，
故错误；
对于，椭圆的通径最短，为，最长为长轴长4，又由直线有斜率且不过原点，
，故正确．
故选：．
20．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△的说法正确的有　　
A．△的周长为
B．当时，△的边
C．当时，△的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点，使得△为直角三角形
【解答】解：根据椭圆方程可得，，．
对于，△的周长为，故正确；
对于，当时，△的边，故错；
对于，当时，△的面积为，故错；
对于，设，，当时，则有，解得，此时点为上下顶点，
当时，有两个点，当时，有两个点，故正确；
故选：．
图1
图2
图3
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