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浙教版2023-2024学年七上数学第2章有理数的运算 尖子生测试卷 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．﹣6的绝对值与4的相反数的差，再加上﹣7，结果为（　　）
A．﹣5 B．﹣9 C．﹣3 D．3
2．将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（　　）
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
3．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，……，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（　　）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： ， ，则 ，用 十六进制可表示为（　　）
A．8C B．140 C．32 D．EO
5．求的值，可令，则，因此．
仿照以上推理，计算出的值为（　　）．
A． B． C． D．
6．如果 是非零有理数，且 ，那么 的所有可能的值为（　　）
A．0 B．1或-1 C．0或-2 D．2或-2
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（　　）
A．- B． C．2020 D．2021
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
9．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则 ；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的说法有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（　　）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： 　 　．
12．已知有理数满足下列式（a-3）2-|b-2|=-2，|b-2|+（c-1）2=2，则2ac-bc=　 　.
13．计算： 　 　.
14．中百超市推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过 100 元，不享受优惠
⑵一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折；
⑶一次性购物超过 300 元一律 8 折．某人两次购物分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款　 　．
15．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|取得最大值时，这个四位数的最小值是　 　.
16．已知整数，，，满足，且，则的值为　 　
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．对于有理数 ， ，定义一种新运算“ ”规定 .
（1）计算 的值；
（2）已知 ，求 的值.
18．定义一种新运算“ ”：观察下列各式：
2 3＝2×3+3＝9；
3 （﹣1）＝3×3﹣1＝8；
4 4＝4×3+4＝16；
5 （﹣3）＝5×3﹣3＝12.
（1）请你想一想：a b＝　 　；
（2）a b＝b a　 　成立（填入“一定不”、“一定”或“不一定”）；
（3）已知（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，c与a互为倒数，试求c （a b）的值.
19．将连续的偶数2，4，6，8……，排成如下表：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和，
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由.
20．定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 等.类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的下3次方”，一般地，把 个 相除记作 ，读作“ 的下 次方”.
理解：
（1）直接写出计算结果： 　 　.
（2）关于除方，下列说法正确的有　 　（把正确的序号都填上）；
① ；
②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数.
（3）应用：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如： （幂的形式）
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：
　 　； 　 　；
（4）计算： .
21．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是　 　；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是　 　；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：　 　
22．计算：
（1）计算：12﹣(-6)+(﹣7)-15
（2）计算：﹣5+（-12）-11-|﹣ |
（3）计算：（-2）3+（-3）×[ ×4]÷（﹣2）
（4）﹣12021+ ÷ ﹣ ×（﹣18）
（5）观察下列各式：
- =-1+ ，- - ，- - ，……
①根据上述规律写出第5个等式是 ▲ ；
②规律应用：计算（- ）+（- ）+（- ）+…+（- ）
③拓展应用：（直接写出结果）
+ + +…+ = ▲
23．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=(　 　)2=　 　；
（2） =　 　；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
24．阅读理解：计算时，
若把分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化
难度，过程如下：
解：令，，
则原式=.
（1）上述过程使用了什么数学方法？　 　；体现了什么数学思想？　 　；
（填一个即可）
（2）用上述方法计算：
①；
②；
③计算：.
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浙教版2023-2024学年七上数学第2章有理数的运算 尖子生测试卷 2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．﹣6的绝对值与4的相反数的差，再加上﹣7，结果为（　　）
A．﹣5 B．﹣9 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解析】|﹣6|﹣（﹣4）+（﹣7）=6+4﹣7=10﹣7=3．
故选D．
2．将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（　　）
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
【答案】C
【解析】 将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等 ，一把是将这九个数从小到大排列后，排第五位的数填中间，然后分别让两头的数组合成一对往里面填写，据此可得x处应该填-3.
故答案为：C.
3．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，……，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（　　）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
【答案】B
【解析】
故答案为：B
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： ， ，则 ，用 十六进制可表示为（　　）
A．8C B．140 C．32 D．EO
【答案】A
【解析】∵A=10，E=14
∴A×E=10×14=140
∴140÷16=8 12
∵C=12
∴A×E=8C
故答案为：A.
5．求的值，可令，则，因此．
仿照以上推理，计算出的值为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
∴，
∴，
即．
故答案为：A
6．如果 是非零有理数，且 ，那么 的所有可能的值为（　　）
A．0 B．1或-1 C．0或-2 D．2或-2
【答案】D
【解析】 、 、 为非零有理数，且
、 、 只能为两正一负或一正两负.
①当 、 、 为两正一负时，设 、 为正， 为负
原式
②当 、 、 为一正两负时，设 为正， 、 为负
原式
综上， 的值为2或-2.
故答案为：D.
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（　　）
A．- B． C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】原式，
，
，
，
，
故答案为：A.
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【答案】B
【解析】(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860.
故答案为：B.
9．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则 ；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的说法有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】 ①若ab＜0，且a，b互为相反数，则 ，正确 ；
②∵a+b＜0，ab＞0，∴a<0，b<0，∴2a+3b<0，∴|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，正确；
③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|=b-a≥0，∴b≥a，错误；
④当a>0， b>0时，则a>b， ∴a-b>0， a+b>0，∴(a+ b). (a- b)为正数；
当a>0， b<0时，a-b>0， a+b>0，∴(a+ b).(a- b)为正数；
当a<0，b>0时，a-b<0， a+b<0，∴(a+ b). (a- b)为正数；
当a<0， b<0时，a-b<0， a+b<0，∴(a+ b).(a- b)为正数；
故 ④ 正确；
⑤∵a＜b，ab＜0，∴b>0，a<0，
当0∵|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3-a<3-b，不符合题意；
∴b>3，
∵|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3-a∴a+b>6，正确.
综上，正确的有4项.
故答案为：C.
10．如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（　　）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
【答案】C
【解析】∵有4个不同的正整数a、b、c、d满足 ，
∴四个括号内的值分别是： ， ，
不妨设： ， ， ， ，
解得： ， ， ， ，
∴ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： 　 　．
【答案】-2012
【解析】∵ ，
， ，即每四项结果为 ，
∵2012÷4=503，
∴ ．
故答案为：-2012．
12．已知有理数满足下列式（a-3）2-|b-2|=-2，|b-2|+（c-1）2=2，则2ac-bc=　 　.
【答案】 或
【解析】 （a-3）2-|b-2|=-2，|b-2|+（c-1）2=2，
( a-3）2-|b-2|+|b-2|+（c-1）2
即
|b-2|+（c-1）2=2，
或
解得 或
当 时，
当 时，
故答案为：2或6.
13．计算： 　 　.
【答案】0
【解析】原式
=
，
故答案为：0.
14．中百超市推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过 100 元，不享受优惠
⑵一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折；
⑶一次性购物超过 300 元一律 8 折．某人两次购物分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款　 　．
【答案】288元或316元
【解析】一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折则在这个范围内最低付款，
90 元，因而第一次付款 80 元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280（符合超过 100 不高于 300）．
则两次共付款：80+280=360 元，超过 300 元，则一次性购买应付款：360×0.8=288 元；
当第二次付款是超过 300 元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过 300 元），则两次共应付款：80+315=395 元，则一次性购买应付款：395×0.8=316 元．
则一次性购买应付款：288 元或 316 元． 故答案是：288 元或 316 元．
15．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|取得最大值时，这个四位数的最小值是　 　.
【答案】1119
【解析】依题意a≤b≤c≤d，
则原式=（b-a）+（c-b）+（d-c）+（d-a）=2（d-a）最大，
则d=9，a=1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119.
16．已知整数，，，满足，且，则的值为　 　.
【答案】-1或1
【解析】整数，，，满足，且，
，，，或，，，，
当，，，时，
；
当，，，时，
；
故答案为：-1或1.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．对于有理数 ， ，定义一种新运算“ ”规定 .
（1）计算 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）解： ，
（2）解：当 时，
，
，
解得， ；
当 时，
，
解得， .
由上可得， 的值是 或
18．定义一种新运算“ ”：观察下列各式：
2 3＝2×3+3＝9；
3 （﹣1）＝3×3﹣1＝8；
4 4＝4×3+4＝16；
5 （﹣3）＝5×3﹣3＝12.
（1）请你想一想：a b＝　 　；
（2）a b＝b a　 　成立（填入“一定不”、“一定”或“不一定”）；
（3）已知（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，c与a互为倒数，试求c （a b）的值.
【答案】（1）3a+b
（2）不一定
（3）解：∵（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，
∴（a+3）2+|b﹣1|＝0
∴a+3＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝﹣3，b＝1，
∵c与a互为倒数，
∴ca＝1，
∴c＝﹣ ，
∴c （a b）＝﹣ （﹣3 1））＝﹣ （﹣3×3+1））＝﹣ （﹣8）＝﹣ ×3﹣8＝﹣9.
【解析】（1）a b＝3a+b，
故答案为：3a+b；
（2）2 3＝2×3+3＝9，3 2＝3×3+2＝11，
当a＝b时，a b＝b a成立，
∴a b＝b a不一定成立，
故答案为：不一定；
19．将连续的偶数2，4，6，8……，排成如下表：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和，
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由.
【答案】（1）解：十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，即是16的5倍
（2）解：设中间的数为x，则十字框中的五个数的和为：
（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x=5x，所以五个数的和为5x
（3）解：假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（2）得
5x=2010，所以x=402，但402位于第41行的第一个数，在这个数的左边没有数，所以不能框住五个数，使它们的和等于2010
20．定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 等.类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的下3次方”，一般地，把 个 相除记作 ，读作“ 的下 次方”.
理解：
（1）直接写出计算结果： 　 　.
（2）关于除方，下列说法正确的有　 　（把正确的序号都填上）；
① ；
②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数.
（3）应用：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如： （幂的形式）
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：
　 　； 　 　；
（4）计算： .
【答案】（1）
（2）①②④
（3）；
（4）
＝16×（- ）-8+（-8）×2
＝-2-8-16
＝ 26.
【解析】（1）23＝2÷2÷2＝2× × ＝ ，
故答案为： ；
（2）当a≠0时，a2＝a÷a＝1，因此①正确；
对于任何正整数n，1n＝1÷1÷1÷…÷1＝1，因此②正确；
因为34＝3÷3÷3÷3＝ ，而43＝4÷4÷4＝ ，因此③不正确；
根据有理数除法的法则可得，④正确；
故答案为：①②④；
（3）56＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝5× × × × × ＝（ ）4，
同理可得， ＝（ 2）7，
故答案为：（ ）4，（ 2）7；
21．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是　 　；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是　 　；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：　 　
【答案】（1）15
（2）
（3）[（+3）-（-3）]×（+4）+0=24（答案不唯一）
【解析】【解答】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且数值最大的数，所以选-3和-5，（-3）×（-5）=15；
（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选3和-5，且-5为分母，（ 5）÷（+3）= ；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只要答数是24即可，比如-3、0、3、+4，四个数，[（+3）-（-3）]×（+4）+0=24，再如：抽取-3、-5、3、4，则-[（-3）÷3+（-5）]×4=24．
22．计算：
（1）计算：12﹣(-6)+(﹣7)-15
（2）计算：﹣5+（-12）-11-|﹣ |
（3）计算：（-2）3+（-3）×[ ×4]÷（﹣2）
（4）﹣12021+ ÷ ﹣ ×（﹣18）
（5）观察下列各式：
- =-1+ ，- - ，- - ，……
①根据上述规律写出第5个等式是 ▲ ；
②规律应用：计算（- ）+（- ）+（- ）+…+（- ）
③拓展应用：（直接写出结果）
+ + +…+ = ▲
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式 == ；
（4）解：原式 ；
（5）解：①- =- + ；②
=
=
=
；③
【解析】（5）①∵- =-1+ ，- - ，- - ，……
∴第5个等式是 ，
故答案为： ；
③
=
=
=
，
故答案为： ．
23．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=(　 　)2=　 　；
（2） =　 　；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225
（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075
24．阅读理解：计算时，
若把分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化
难度，过程如下：
解：令，，
则原式=.
（1）上述过程使用了什么数学方法？　 　；体现了什么数学思想？　 　；
（填一个即可）
（2）用上述方法计算：
①；
②；
③计算：.
【答案】（1）换元法；整体思想（转化思想）
（2）解：①令++=a，+++=b，
∴b-a=，
∴原式=（1+a）b-（1+b）a=b+ab-a-ab=b-a=；
②令++…+=m，+++=t，
∴t-m=，
∴原式=（1+m）t-（1+t）m=t+mt-m-mt=t-m=；
③令1×2×3=x，1×3×5=y，
∴==
∴原式====.
【解析】（1）根据材料中的解法可知：上述使用了换元法，体现了整体思想（转化思想）.
故答案为：换元法；整体思想（转化思想）.
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