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知识点课件
一
初中学过哪几种表示函数的方法
解析法、列表法和图象法
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
如3.1.1的问题1、2.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系；如3.1.1的问题4.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系;如3.1.1的问题3.
这三种方法是常用的函数表示法.
一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注：(1) 为常量, .
(2) 中前面的系数为1.
(3)定义域没有固定,与 的值有关.
1.幂函数定义
3.幂函数的图像









【总结】①只有 时图像才是直线；

②图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
③图像一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内 由上到下递减.

【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

偶函数 奇函数
定义
图象
定义域 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),
关于y轴对称
关于原点对称
关于原点对称
2.用定义法判断函数的奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(-x)和f(x)的关系；
③作出相应结论。
1.代数法：①该函数的定义域关于y轴对称，
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
偶函数判断方法
2.几何法: 函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
奇函数
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
1.代数法：①奇函数的定义域关于y轴对称，
②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
2.几何法:函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是奇函数
函数的单调性的定义
如果x1，x2，当x1＜x2时, 都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数在区间上单调递增；此时区间称为函数f(x)的增区间.
一般地，函数f(x)的定义域为，区间：
特别地，若函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.
图像从左往右看，上升
函数的单调性的定义
一般地，函数f(x)的定义域为，区间：
如果x1，x2，当x1＜x2时, 都有f(x1) f(x2)，那么就称函数在区间上单调递减；此时区间称为函数f(x)的减区间.
特别地，若函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.
函数的增区间和减区间统称为函数的单调区间.
单调性的证明的步骤
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设D,且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2) ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
(4). 作结论.
① 分解因式, 得出因式x1－x2 .
② 配成非负实数和.
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：
（1） 都有 f(x) ≤ M；
（2） 使得 f(x0) = M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：
（1） 都有 f(x) ≥ M；
（2） 使得 f(x0) = M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值



必须掌握的对数运算公式：
如果a>0，且a 1，M>0，N>0,那么：
1弧度的角：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 rad，则
把半径为1的圆叫做单位圆.
在单位圆o中,AB弧长等于1，∠AOB就是 1 弧度的角
O
A
B
180°=π rad
= rad 0.01745rad
1 rad=
计算
角的概念推广后，在弧度制下，角度制与弧度制之间建立起一一对应的关系，常用弧度与角度对应关系：
度
弧度
三角函数的定义
【定义】设∠α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)
（1）把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα
（2）把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做∠α的正切函数，记作tanα， 即 =tanα ( ).



我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
4
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
p
p
p
p
P (cosα, sinα)
P (cosα, sinα)
P (cosα, sinα)
P (cosα, sinα)
α
由例题2可知，只要知道∠α终边上任意一点P（x,y）的坐标，就可以求得∠α的三个三角函数值:
1.同角三角函数的基本关系式:
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
（弧度制）
探
究
三角函数 定义域
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
x
o
y
x
o
y
x
o
+
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
R
口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
α 0 π
sinα
cosα
tanα
π
2
3π
2
π
6
π
4
π
3
2π
3
3π
4
5π
6
牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！
常见角的三角函数值














无













无

1、任意角的三角函数的定义：
一、复习引入
2.三角函数值的符号
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
一全正
二正弦
三正切
四余弦
+
2.整数指数幂的运算性质
二、根式的性质：
规定正数的正分数指数幂的意义：
规定正数的负分数指数幂的意义：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
分数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
有理数指数幂的运算性质
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零数T，使得对每一个x∈D，都有（x+T）∈D，且f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期.
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
正余弦函数是周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
周期函数定义：
五点作图法
y＝sin x









y＝cos x
正弦曲线
x
y
o
1
-1
-2
-

2
3
4
-2
-
o

2
3
x
-1
1
y
余弦曲线
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减
最值 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1；
x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1
[－1,1]
[－1,1]
[2kπ－π，2kπ]

2kπ
2kπ＋π
[2kπ，2kπ＋π]
探索新知
函 数三要素
函 数性 质
定义域
值 域
单调性
奇偶性
周期性
奇函数
无最值
最 值
奇变偶不变，符号看象限
cos(a- )=cosacos +sinasin
cos(a+ )=cosacos -sinasin
sin(a+ )=sinacos +cosasin
sin(a- )=sinacos -cosasin
向量
向量的概念
向量的定义
表示方法
零向量
相等向量
平行（共线）向量
相反向量
知识建构：
单位向量
向量的关系
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
A
O
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
B
新课 导入
1.向量的夹角
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
2.平面向量的数量积的定义
3.投影的意义
数量积： a·b＝x1x2＋y1y2
模长1：
模长2：
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0
a∥b
x1y2－x2y1＝0
垂直：
平行：
夹角：
性质：
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
公式变形
已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角.
C
A
B
a
b
c
a∶b∶c
2R
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
=2R
二、棱柱、棱锥、棱台的体积

V长方体=abc (a , b , c分别是长方体的长，宽，高）
V棱柱=Sh










圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
S
B
C
球表面积和体积公式
半径是R的球的表面积是
S＝4 R2
复数a+bi
(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
共轭复数的性质
1. 平面的基本事实
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2. 平面的基本事实的推论
梳理总结
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
共面直线
异面直线
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内，没有公共点。
同一平面内，
有且只有一个公共点.
同一平面内，没有公共点；
空间中直线与直线的位置关系
图形表示
α
a
a
α
a
α
符号表示
a
a∩ ＝A
a∥
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
文字语言表示
两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.
(1)两个平面平行
---没有公共点；
(2)两个平面相交
---有一条公共直线.
α
β
α∥β
α∩β=a
画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1、线线位置关系
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2.空间中直线与平面的位置关系：
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点.
3.空间中平面与平面的位置关系：
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
直线与平面平行的判定定理：
　　若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
a//
a

b
用符号语言可概括为：
简述为：线线平行 线面平行
∥
∥
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
α
β
a
b
推论:
p
a’
b’
两个平面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
符号语言：
该定理中有三个条件：这三个条件缺一不可
新 知
异面直线所成角：（平移）
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
b
a
b`
a`
O
思想方法 :
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题.
异面直线所成的角
当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°．
空间中两条直线所成角θ的取值范围是： ．
0°≤ θ ≤90°
两直线垂直：
异面垂直、相交垂直
2.异面直线所成的角的范围
（0,90°]
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
异面直线垂直：
O

α
b
a
a′
问题：如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
垂直分为两种：
相交直线的垂直
异面直线的垂直
异面直线所成的角的取值范围是什么？
1. 直线与平面垂直的定义：“任意”
3. 直线和平面垂直的判定定理
定义的运用：线线垂直
线面垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
线线垂直
线面垂直
4. 直线和平面所成角
2. 点到平面的距离
线线垂直
直线与平面垂直的相关定义：　
　　一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
　直线l叫做平面α的垂线，
平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成
与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
垂线
垂足
垂面
2
直线与平面的垂直
新知讲解
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
点到平面的距离也就是立体图象的高
概念生成
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．（文字语言）
符号语言：
m
n
P
图像语言：
线线垂直线面垂直
体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化
新知讲解
过斜线上斜足外一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角().
1.为斜线
2. 与的交点A为斜足
3.直线为直线在平面上的射影.
4.为直线 与平面所成角
一条直线垂直于平面,我们说
它所成的角是直角；
射影
一条直线和平面平行,或在平面内,
我们说它所成的角是0°的角.
概念生成
1.若，则与面内的所有直线都垂直.
(若，则)
2.两条平行直线垂直于同一个平面.
(若，则)
3.若a⊥α，则平面外与a垂直的直线.
(若，则)
4.垂直于同一条直线的两个平面平行.
5.线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.
(若，则)
1、二面角及二面角的平面角
平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角。
(1)半平面:
(2)二面角:
l
二面角的面
二面角的棱
二面角的平面角
过二面角棱上任一点在两个半平面
内分别作垂直于棱的射线，则这两条
射线所成的角叫做二面角的平面角。
α
β
B
。
O
A
B1
。
O1
A1
二面角的平面角的范围
A
B


l
α(β)
l
A(B)
O
θ=0o
α
β
l
A
B
O
θ =180o
[0。,180。]
3、 过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
. (两个平面分别作棱的垂线)
2、平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角(). （有垂线才有射影)
直线与平面所成的角为.
1、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(，方法是平移后相交，放三角形中求解.
三种所成的角：（都要指出形成的角）
如图画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个
平行四边形的一组边画成垂直．
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
2、两平面垂直的定义
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
这个定理说明了，
可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
3、平面与平面垂直的判定定理
线面垂直 面面垂直
图形语言：
符号语言：
β
a
A
α
平面与平面垂直的性质定理1:
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
作用: 面面垂直 线面垂直


A
B
1、简单随机抽样的概念:
2、简单随机抽样的特点:
3、简单随机抽样的常用方法：
③机会均等抽样.
①总体个数有限；
②逐个进行抽取；
①抽签法；
②随机数表法.
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
温故知新
分层抽样的定义
每一层抽取的样本数=
×总样本量
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
考点1抽样方法的选取及应用
1.两种抽样方法的适用范围：
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；
(3)当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样.
分层随机抽样如何估计总体平均数
在比例分配的分层随机中抽样中
1.通过调查获取数据——抽样调查、普查
2.通过试验获取数据——
3.通过观察获取数据——
4.通过查询获得数据——
获取数据的途径
新知探究
搜集数据
整理和直观描述数据
分析数据
学习框架
简单随机抽样
分层抽样
频率分布表
频率分布
直方图
扇形图
条形图
折线图
用样本估计总体
用样本平均数估计总体平均数
用样本中的比例估计总体中的比例
用样本的频率分布估计总体的频率分布
1).求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
2).决定组距与组数（将数据分组）
3). 将数据分组
画频率分布直方图的步骤
4).列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
5).画出频率分布直方图.
组距：指每个小组的两个端点的距离，
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少常分5-12组.
极差
组距
组数
多
等长
取整
分组
频率分布
疏密
知识清单
频率
面积
频率分布
原始数据信息
不规则
1
第一步
第二步
第三步
按从小到大排列原始数据（从小到大排序）
计算i=n×p%.（计算位置）
若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
计算一组n个数据的第p百分位数步骤:
四分位数
25%
第一四分位数
下四分位数
50%
75%
中位数
第三四分位数
上四分位数
另外，在后面的学习中，我们也常用到第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.
把一组数据按大小顺序排列,处在最中间的一个数据(或两个数据的平均数); 从频率分布直方图中估计中位数左右两边的直方图的面积相等.
一组数据中重复出现次数最多的数; 从频率分布直方图 中估计众数是最高的矩形的中点.
1.众数
2中位数
3平均数
如果有n个数据 那么这n个数的平均数
也可以从频率分布直方图中估计平均数,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中的横坐标之和.
方差、标准差
1、用定义计算样本方差和样本标准差
2、分层抽样总样本方差的计算
3、用频率分布直方图估计样本方差
方差的估计值等于每一个小矩形底边中点值减去平均数的平方乘小矩形的面积的和.
平均数、方差性质
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示.
概念生成
所有样本点的集合称为试验的样本空间，用表示
若一个随机试验有个可能结果
则称样本空间为有限样本空间.
样本点是随机试验的每个可能的基本结果（集合的元素）
样本空间是全体样本点的集合.（集合）
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即 则称事件A与事件B相等，记作A=B.
探究新知
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作
A
B
Ω
1. 包含关系
探究新知
一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作
（如下图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）
A
B
Ω
2. 并事件（和事件）
探究新知
一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作
（如下图所示的蓝色区域）
A
B
Ω
3. 交事件（积事件）
探究新知
一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.
（如下图所示）
A
B
Ω
4. 互斥事件
例题讲解
一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记作 .（如下图所示）
A
Ω
5. 对立事件
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
【归纳小结】
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A, B, C，A∪B∪C (或A+B+C)发生当且仅当A, B, C中至少一个发生，A∩B∩C (或ABC)发生当且仅当A, B, C同时发生，等等.
古典共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中， 和 分别表示事件A和样本空间 包含的样本点个数。
概率的基本性质
2.事件的相互独立性的定义
成立，则称事件A与B相互独立，简称独立.
对于任意事件A与B,如果
相互独立两个事件的发生彼此互不影响
易知,必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立.
1.事件的相互独立性的定义
2.相互独立事件的性质
对于任意事件A与B,如果
成立，则称事件A与B相互独立，简称独立.
如果事件A与B相互独立，那么
互斥事件与相互独立事件的区别与联系
互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系，但忽视事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否，对另一个事件发生的概率没有影响，互斥的两个事件，可以独立独立的两个事件，也可以翅用表格表示如下
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即集合A∩B=
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
空间向量的基础概念
空间向量的定义：空间中，既有大小又有方向的量
空间向量的符号：,…
空间向量的图示：有向线段及其长度
空间向量的模(长度)：空间向量的大小，记作||,||,…
零向量：长度为0(起点与终点重合)的向量，记作
单位向量：长度为1的向量，记作
相反向量：长度相等且方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是
共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
相等向量：长度相等且方向相同的向量(与起点无关)
说明任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，
成为同一平面内的两向量.
直线的方向向量
注：一条直线有无数个方向向量，它们互为共线向量。
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，
则对于直线上任意一点P，由向量共线的充要条件知，，
故把与平行的非零向量称为直线l的方向向量。
直线l可以由其上一点和它的方向向量确定.
新知5：向量共面的判定
向量共面的充要条件：
作用: 判定三个向量是否共面(找x,y,z).
推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).
新知5：共面向量：
1、向量a平行与直线l
2、向量a平行与平面α
3、共面向量
→
→
深度探索
投影向量
类比平面向量的投影向量，可以得到空间向量的投影向量。
1、在空间中，在上的投影向量为:
2、在空间中，在上的投影向量为:（为的方向向量）
3、在空间中，在上的投影向量为:（分别由的起点A和起点B做平面的垂线，垂足分别为A’,B’，得到向量）
向量α,的夹角就是向量α所在直线与平面β所成的角，即线面角.
→
→
1.空间向量基本定理
如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使得
都叫做基向量
叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.
所有空间向量组成的集合为
空间直角坐标系定义
在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz.
||＝||＝||＝1.
·＝·＝·＝0
Oxy平面
Oyz平面
Oxz平面
①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量.
②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.
它们把空间分成8个部分.
在空间直角坐标系Oxyz中,
(1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直；
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
在Oyz平面内的射影坐标为____________
在Oxz平面内的射影坐标为____________
在Oxy平面内的射影坐标为____________
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
Oyz
Oxz
Oxy
(0,3,4)
(2,0,4)
(2,3,0)
(-1,-3,-5)
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
(1,0,0)
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
空间中的特殊点和对称点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面
点的坐标
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(0, 0, z)
(x, y, 0)
(x, 0, z)
(0, y, z)
已知点A(x , y , z) ，则：
①点A关于x轴对称的点为A1___________;
②点A关于y轴对称的点为A2___________;
③点A关于z轴对称的点为A3___________.
④点A关于原点对称的点为A4___________.
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________;
⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________;
⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________.
(x , y , -z)
(-x , y , z)
(x , -y , z)
(x , -y , -z)
(-x , -y , z)
(-x , y , -z)
(-x , -y , -z)
规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
设
设
猜想：
平面向量的特殊位置关系
空间向量的特殊位置关系
设
设
当 时，
当 时，
能否表示为 ？

两个空间向量平行与两个平面向量平行的条件本质上是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ.
2、空间向量平行与垂直的坐标表示
平行：
垂直：
探究新知
3、长度、夹角、两点间距离公式
空间向量长度的几何意义表示长方体对角线的长度.
O
注意：
①
②当 时，
两向量分别同向、垂直、反向
探究新知
在空间直角坐标系中，已知点 ，则
两点间的距离
O
注意：上述公式都与坐标原点的选取无关！
探究新知
=( , -
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①当≠时，∥ ＝λ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
②⊥ ·＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
③求模：；
④求夹角：cos<,>==
3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则
①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；向量坐标等于终点坐标减起点坐标.
②空间两点距离公式：=
【注】点A(x，y，z)到原点O的距离
P
几何中
向量中
点
方向向量
a
A
B
点P在直线l上
充要条件
一个点
一个方向
+
如何用向量表示空间中的直线？
思考2
l
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 = a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
存在实数t，使得 ，即
线→点+方向向量
= t
P
a
A
B
进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，
O
可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
=+t ①
或=+t ②
① ②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
a
b
B
C
P
A
O
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 ．
{P|a·AP=0}
α
A
P
l
a
给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的. 由此可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面.
最好法向量不要出现分数，方便运算
求平面法向量的步骤
l1l2(1)αl(2)mα(3)βPmn线线平行线面平行面面平行平行，使得..，使得.1、直线与直线的垂直
如图，设 ， 分别是直线 l1，l2 的方向向量. 若 l1与 l2 垂直，等价于它们的方向向量垂直，即
直线与平面的垂直
如图，设 是直线l 的方向向量， 是平面α 的法向量，若l 与α 垂直，则
3、平面与平面的垂直
如图，设 ， 分别是平面α ，β的法向量，若α 与β 垂直，则
位置关系 图形语言 符号语言 向量形式 向量运算
线线平行
线线垂直
线面平行
线面垂直
面面平行
面面垂直
探究：已知直线 的单位方向向量为 ，A是直线 上的定点，P是直线 外一点，如何利用这些条件求点P到直线 的距离？
点到直线的距离
1. 写出两点向量
2. 计算两点向量 在直线 上的投影向量
3. 勾股定理求距离
思考：如何求两条平行直线之间的距离？
点到平面的距离
探究：平面 外一点P，A是平面 内的一定点，平面 的法向量为 ，如何利用这些条件求点P到平面 的距离？
1. 写出两点向量
2. 计算 在法向量 上的投影向量
3. 求出投影向量的长度，即点到平面的距离
思考：如何求两个平行平面间的距离？
新知探究
问题5：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线 到平面 的距离？两个平行平面之间的距离呢？
线面、面面距离平面外一点到平面的距离
两点间的距离
向量法求距离
=| |
点到直线的距离
==
两平行线之间的距离
==
点到平面的距离
|= | =
问题4：直线与平面所成角θ和< , >有什么关系？
设的方向向量为， 平面α的法向量为
θ+< , >=
或θ+ = < , >
sinθ=|cos< , >|
θ ∈[0°，90°]
追问3：两个平面的夹角θ与这两个平面的法向量的夹角有什么关系？
设平面α的法向量为， 平面β的法向量为
θ=<,>
或θ= π- <,>
cosθ=|cos<,>|
θ ∈[0°，90°]
求平面α，β的夹角
求法向量 的夹角
求得向量的夹角
求得平面α，β的夹角
转化为求两平面的法向量的夹角
思路2
一般性、适用性
复习导入：
延时符
1.倾斜角：
2.斜率：
直线向上的方向与x轴正方向的夹角
α∈[0°,180°)
3.平行
两条不重合的直线l1,l2，斜率分别是k1,k2
l1//l2
l1⊥l2
k1=k2
k1k2=-1
α
x
y
O
l1
l2
α
β
垂直
x
y
O
x
y
O

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