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03
功与能
导入 生活中的能量
能量与我们的生活息息相关。风力、水力发电，将风的动能、水的重力势能转化成了电能；高速列车行驶，将电能转化为动能；用电磁炉烧水、煮饭，将电能转化为内能……人类活动离不开能量的转化。如何量度能量的转化？能量的转化遵循着怎样的规律？通过本章的学习，认识了功和机械能之间的关系，你就会明白其中的道理。
第三节 机械能守恒定律及其应用
瀑布从悬崖上倾泻而下（图 3-11），发出震耳的轰鸣，这巨大的威力，源于悬崖上方的河水处于一定高度而具有巨大的能量。 这种能量有什么特点？水在下落过程中的能量如何转化？本节将学习重力势能、弹性势能及机械能守恒定律。
第三节 机械能守恒定律及其应用
一、重力势能
被举高的物体能够做功，因而具有能量。在物理学中， 把物体因为处于一定高度而具有的能量称为重力势能。例如， 瀑布上方的河水、打桩时被举高的夯锤等，都具有重力势能。
物体重力势能的大小与哪些因素有关呢？下面我们通过实验来回顾初中物理学习过的内容。
第三节 机械能守恒定律及其应用
一、重力势能
做中学
物体的重力势能大小与哪些因素有关
如图 3-12 所示，让同一个小球分别从不同高度由静止释放并落入沙中，观察小球在沙中陷入的深度。再将两个大小相同、质量不同的小球，分别从同一高度由静止释放 落入沙中，观察两个小球在沙中陷入的深度。
对比观察到的现象，你能得出什么结论？
第三节 机械能守恒定律及其应用
一、重力势能
由实验可知，物体重力势能的大小与物体的质量大小以 及所处的高度有关。物体的质量 越大，高度 越高，它具有的重力势能就越大。在物理学中，重力势能用符号 表示，其计算公式为
重力势能是标量。在国际单位制中，它的单位和功的单位相同，都是焦耳，符号为 J。
物体所处的高度总是相对一定的水平面而言，相对于不 同的水平面，物体所处的高度是不同的。为了便于研究问题， 我们一般先选定某一个水平面作参考。若把这个水平面的高 度设为零，则物体在该水平面的重力势能也为零，这样的水 平面称为零势能参考平面。
第三节 机械能守恒定律及其应用
一、重力势能
重力做功与重力势能变化的关系 对确定的参考平面，物体的高度发生变化时，其重力势能也要发生变化，而这一过程必然伴随着重力做功。重力做功与重力势能变化有着怎样的 关系？
如图 3-13 所示，一个质量为 的物体， 从 点沿斜面滑到 点，位移为 ，斜面与 竖直方向的夹角为 ， 点的高度为 ， 点 的高度为 。根据功的定义，物体从 A 点到 点过程中，重力做的功为 。若物体从 点先竖直运动到 点，再水平运动 到 点，由于物体从 点运动到 点的过程 中重力不做功，因此物体沿该路径重力做的功为 。
拓展一步
第三节 机械能守恒定律及其应用
一、重力势能
这表明，从 点到 点，虽然路径不同，但重力做的功是相同的。还可 以证明，无论物体沿哪条路径从 点运动到 点，其重力做的功皆为 。由此可知，重力做功的多少与始末位置的高度差有关，与路径无关，且 等于重力势能的减少量。
拓展一步
第三节 机械能守恒定律及其应用
二、弹性势能
在射箭比赛中，运动员的手一松开，拉弯的弓在恢复原状的过程中就能把箭发射出去（图 3-14）。可见，发生形变的物体在恢复形变的过程中也能做功，因而也具有能量。物理学中，把物体因为发生弹性形变而具有的能量称为弹性势能。拉弯的弓、击球时的球拍以及被拉长或压缩的弹簧等都具有弹性势能。
第三节 机械能守恒定律及其应用
二、弹性势能
研究表明，弹性势能的大小跟物体发生形变的大小有关。 在弹性限度内，物体形变越大，弹性势能越大。
弹性势能和重力势能一样，其大小都与物体间的相对位 置有关：重力势能的大小与物体和参考平面的相对位置有关， 弹性势能的大小与发生弹性形变的物体各部分的相对位置有关。人们把这类由相对位置决定的能量称为势能。
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
物理学中，将物体的动能与重力势能（弹性势能）之和称为机械能。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
下面，我们先观察一个实验。
做中学
小球能碰到鼻子吗
如图 3-15 所示，把悬挂的小球拉至鼻尖处从静止释放，人立于原地保持不动，小球摆动回来时会碰到鼻子吗？
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
虽然我们会担心小球碰到鼻子，但从实验结果看，小球碰不到鼻子。这是为什么呢？我们可从能量转化的角度得到答案。
实验中，小球在来回摆动，其动能和重力势能在相互转化。当小球高度减小时，重力势能转化为动能；当小球高度增大时，动能又转化为重力势能。不仅动能和重力势能可以相互转化，别的形式的机械能也能相互转化。例如，运动员撑杆跳高（图3-16），从运动员起跳、越过横杆再到落地的过程中，运动员的动能、重力势能以及杆的弹性势能也在相互转化。
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
大量事实表明，物体的机械能可从一种形式转化为另一 种形式。下面，我们从理论上研究只有重力势能与动能发生 转化时能量遵循的规律。
如图 3-17 所示，小球从空中某点自由下落，选取下落过 程中的任意两点 和 ，由动能定理可知，重力所做的功等 于小球下落过程中动能的增加量，即
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
又因为重力做的功等于下落过程中重力势能的减少量，即
由以上两式可得
即
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
上式表明，自由落体运动中，只有重力做功，小球在 点的动能与重力势能之和等于在 点的动能与重力势能之和。 由于 、 两点是任意选定的，故在自由落体运动中，任何位 置（时刻）物体的机械能保持不变。
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能和 弹性势能可相互转化，机械能保持不变。
大量的实验和研究表明，在只有重力或弹力这类力做功的情况下，系统的动能与势能相互转化，机械能的总量保持 不变。这个结论称为机械能守恒定律。
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
事实上，并非只有动能和势能可以相互转化，任何形式 的能量都可以相互转化，但总能量保持不变，这就是能量守 恒定律。
利用机械能守恒定律和能量守恒定律可解释很多现象， 例如水力发电从能量角度看，就是将高处水的一部分重力势 能转化为电能（图 3-18）。你能通过能量守恒定律解释上面 实验中的小球为什么不会碰到鼻子了吧。
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
例 题
荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动（图 3-19）。若 秋千绳的长度 ，荡到最高点时秋千绳与竖直方 向的夹角 。取重力加速度 ，求荡到最低点时秋千的速度大小。（忽略阻力及秋千绳的质量， 且人在秋千上的姿势视为不变）
分析
秋千绳拉力的大小和方向不断变化，难以直接用 牛顿第二定律和运动学公式来求解。但在摆动过程中， 只有重力做功，系统的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。
第三节 机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
解
以人和秋千座板组成的系统为研究对象并将其视 为质点，受力分析如图 3-20 所示。选择秋千在最低位 置时的水平面为零势能参考平面。设秋千荡到最高点 处为初状态，在最低点 处为末状态。已知 ， 。
初动能 ，此时重力势能 末动能 ，此时重力势能 。
第三节机械能守恒定律及其应用
三、机械能守恒定律
根据机械能守恒定律，有
即
所以
讨 论
在实际情境中，若人在荡秋千时姿势不变，秋千将逐渐停下来，这是有 阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下， 其机械能才守恒。
第三节 机械能守恒定律及其应用
作业与活动
1. 一举重运动员将质量为 160 kg 的杠铃从地面举到了 1.8 m 的高度。在 此过程中，他对杠铃做了多少功？杠铃的重力势能改变了多少？取重力加速度 。
2* . 如图所示，轻弹簧 k 一端 与墙相连，质量 的木块沿 光滑水平面的初速度 向左运动。求弹簧在被压缩过程中 的最大弹性势能。
第三节 机械能守恒定律及其应用
3. 研究高空抛物可能给人们带来的伤害。请查阅相关资料，了解我国法 律对高空抛物犯罪行为的规定；调查学校及周边地区的高空抛物情况；从不 同高度由静止释放小沙包等物体，探究其下落时可能造成的破坏作用，并从 能量转换的角度进行解释。请拟出完成项目任务的计划，并根据实施情况写 出研究报告。（请注意安全）
项目任务与实践活动

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