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25.2 用列举法求概率（第一课时）导学案
学习目标
1 会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.
2 用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率.
重点难点突破
★知识点1： 列举法的概念：
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
【注意】用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是有限个.②每个结果出现的可能性相等.
★知识点2： 列表法求概率的步骤：
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
核心知识
一、列举法的概念：
在一次试验中，如果可能出现的结果只有________，且各种结果出现的可能性大小_______，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
【注意】用列举法求概率的前提有两个：
①所有可能出现的结果是________.②每个结果出现的可能性_________.
二、列表法求概率的步骤：
1）_________；
2）通过表格_________，确定所有___________的结果数n和______________的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
思维导图
复习巩固
【提问】简述概率计算公式？
引入新课
【问题一】老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，学生赢. 你们觉得这个游戏公平吗？
新知探究
【问题二】同时掷两枚硬币，求下列事件的概率：
1）两枚硬币两面一样.
2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
3）问题一中的游戏公平吗？
【问题三】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？由此你发现了什么？
典例分析
例1 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是_________
【针对训练】
1. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为____________
2. 如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为______________
3．（2020·江苏南通·统考中考真题）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：
1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
4．（2022·江苏南京·统考中考真题）甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：
(1)选取1个景点，恰好在甲城市；
(2)选取2个景点，恰好在同一个城市．
新知探究
【问题三】同时投掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率（用列表法求解）.
1）两个骰子的点数相同.2）两个骰子点数的和是9.3）至少有一个骰子的点数为2.
【问题四】简述列表法求概率的步骤？
典例分析
例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是_______________
【针对训练】
1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行调查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是______________
2.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是___________；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．
3．在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字3，4，5, 另有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字2，3，4，5，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为x，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为y．
(1)从口袋中摸出一个小球恰好标有数字3的概率是___________；
(2)求点P（x，y）在直线上的概率．
直击中考
1．（2023·安徽中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 用列举法求概率应该注意哪些问题？
3. 列表法适用于解决哪类概率求解问题？使用列表法有哪些注意事项？
【参考答案】
复习巩固
【提问】简述概率计算公式？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：.
引入新课
【问题一】老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，学生赢. 你们觉得这个游戏公平吗？
公平
新知探究
【问题二】同时掷两枚硬币，求下列事件的概率：
1）两枚硬币两面一样.
2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
3）问题一中的游戏公平吗？
解：两枚硬币两面一样包括两面都是正面、都是反面两种情形，所以P(两枚硬币两面一样)= .
两枚硬币一正一反包括正反、反正两种情形，所以P(两枚硬币一正一反)=
∵P(学生赢)=P(老师赢)∴这个游戏是公平的.
【问题三】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？由此你发现了什么？
同时投掷两枚硬币，会出现：两正、两反，一正一反和一反一正；先后两次掷一枚硬币，也会出现：两正、两反，一正一反和一反一正.所以这两种实验的所有可能的结果一样. “两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的，因此作此改动对所得结果没有影响．当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．
典例分析
例1 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是
【针对训练】
1. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为
2. 如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为
3．（2020·江苏南通·统考中考真题）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：
1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
解：1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲共6种；
2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
4．（2022·江苏南京·统考中考真题）甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：
(1)选取1个景点，恰好在甲城市；
(2)选取2个景点，恰好在同一个城市．
1）解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种，
∴恰好在甲城市的概率=，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为．
2）随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、BE、、、， 其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种，
∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．
新知探究
【问题三】同时投掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率（用列表法求解）.
1）两个骰子的点数相同.2）两个骰子点数的和是9.3）至少有一个骰子的点数为2.
解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，可以用下表列举出所有可能出现的结果：
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相同.
1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1,1),(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，所以P(A)= =
2)两枚骰子的点数相同(记为事件B)的结果有4种，即(3,6),(6,3),(5,4)，(4,5) 所以P(B)= =
3)至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，即(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)
(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)所以P(B)=
【问题四】简述列表法求概率的步骤？
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式，计算出事件的概率．
典例分析
例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是
【针对训练】
1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行调查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是
2.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．
2）列表如下：
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有丁的概率为：
3．在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字3，4，5, 另有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字2，3，4，5，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为x，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为y．
(1)从口袋中摸出一个小球恰好标有数字3的概率是；
(2)求点P（x，y）在直线上的概率．
2）所有可能出现的结果列表如下：
所有可能出现的结果有12种，且每种结果的可能性相同，
由表可知12种可能出现的结果中，点P在直线y =x-1上的有（3，2），（4，3），（5，4）共3种，∴，
直击中考
1．（2023·安徽中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ C ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ C ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ A ）
A． B． C． D．

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