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专题09-方阵问题
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妙招总结
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在正方形棋盘上摆棋子等问题,在数学中我们称这类问题为方阵问题。方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵两种,方阵问题的特点是:方阵每边的点数相等;相邻两层,每边所含的点数相差2,相邻两层的点数相差8。 实心方阵计算公式:(1)每边点数=一周的总点数4+1;(2)一周的总点数=(每边点数-1)x4;(3)总点数=每边点数x每边点数。 空心方阵计算公式:空心方阵总点数=(外层每边点数一层数)x层数x4. 解答方阵问题的关键是:判断此方阵是实心方阵还是空心方阵,我准方阵每边的数量,如果是空心方阵还要找准它的层数。
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妙招
演练
)
一．选择题（共20小题）
1．小东把一些5角的硬币平均排列在一张正方形纸的周边，每边的硬币数相等，这些硬币的总面值是12元，每边最多能放（　　）枚硬币。
A．5 B．6 C．7 D．8
2．为庆祝国庆60周年，学校排练团体操，六年级学生排成方阵，最外层每边（含顶点）站了12人，最外层一共有多少名学生？算式是（　　）
A．12×4 B．（12﹣1）×4 C．12×2+11×2
3．学校运动会要排成6×6的方阵，如果想排成一个8×8的方阵，那么需要增加（　　）人。
A．8 B．18 C．28
4．若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生（　　）人．
A．902 B．136 C．240 D．360
5．学校健美操队员排成6×6的方阵（每列6人，有6列），如果想增加两行。两列，排成一个8×8的方阵，那么需要增加（　　）人。
A．38 B．28 C．18
6．六一儿童节快到了，学校摆放了一个方阵花坛．这个花坛最外层每边各放20盆花，最外层一共摆了（　　）盆花．
A．80 B．76 C．78
7．希望小学进行体操比赛，五（2）班的同学站成6×6的方阵，这个方阵的最外层有（　　）名同学。
A．20 B．24 C．16
8．在一个正方形场地四周插上红旗，四个点都插了红旗，这样每边可插24面红旗，四周共插红旗（　　）面。
A．96 B．88 C．92
9．用36盆花摆了一个方阵，最外层每边摆有（　　）盆．
A．10 B．9 C．8
10．学校运动会开幕式上，彩旗方阵，横、竖每行都是8个学生，它的最外围有（　　）
个学生．
A．32 B．64 C．28 D．30
11．在一个正方形场地四周植树，四个顶点各植1棵，这样每边各有24棵树，场地四周共植（　　）棵树．
A．96 B．92 C．88
12．希望小学学生排成正方形方阵做早操，从前往后数小明排第7个，从后往前数排第13个，从左往右数，从右往左数都排第10个．最外层一共可以排（　　）个学生．
A．78 B．72 C．76 D．80
13．元旦节，学校举行诗歌朗诵比赛．五（2）班学生排成一个方阵，最外层每边站7名学生，最外层一共有（　　）名学生．
A．28 B．32 C．24
14．一队学生围成一个正方形，每边站了16人（四个顶点都有人），共有（　　）名学生．
A．68 B．64 C．60
15．舞蹈社团的同学排成了右面的队形，每边站4人，舞蹈社团一共有（　　）人。
A．9 B．12 C．16
16．在一个正方形花坛四周种树，四个顶点各种一棵，每边共种5棵，整个花坛四周种树（　　）棵．
A．16 B．20 C．25
17．三年级有40名学生参加体操表演，如果要站成方队，至少要去掉（　　）人．
A．4 B．15 C．9
18．为迎接六 一儿童节，四年级表演团体操，站成15行15列的方阵，如果从这个方阵中抽走一行一列，还剩（　　）人．
A．195 B．196 C．167
19．空心方阵每相邻两层的总人数相差（　　）人．
A．2 B．4 C．8
20．48名学生在操场做游戏．大家围成一个正方形，每边人数相等．四个顶点都有人，每边各有（　　）名学生．
A．12 B．13 C．11
二．填空题（共20小题）
21．（整数应用）一个正方形的队列横竖各增加一排后总人数为121人，增加了 　 　人。
22．希望小学五年级学生排成一个方阵，最外层每边有16人，最外层一共有 　 　人，这个方阵一共有 　 　人。
23．学校举行方阵队列表演，五年级参演同学排成了7行7列．如果去掉一行一列，要去掉　 　人，还剩　 　人．
24．学校健美操队排成一个8×8的方阵（每排8人，有8排），给最外面一圈的同学每人发一束花，一共要发 　 　束。
25．某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍．如果每班60人，这个方阵最多要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加．那么组成这个方阵的人数应为　 　人．
26．16位同学做游戏，他们手拉手围成一个正方形，每边人数相等。正方形每个顶点都站一人，每条边上各有 　 　位同学。
27．围棋盘的最外层，每边能放19枚棋子（如图所示），围棋盘一共可以摆放 　 　枚棋子，最外层一共可以摆放 　 　枚棋子。
28．某校四年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人，这个方阵共有学生　 　人．
29．参加校园体操表演的同学排成了一个正方形方阵，一共排了18行，因阵容原因，现在要在最外边加一圈同学，需要加 　 　人。
30．小明排在一个正方形方阵队伍中，无论从方阵的哪一面看，他的位置都能用数对（6，6）表示，这个方阵共有 　 　人，最外圈有 　 　人。
31．73人参加体操表演，如果要排成方队，至少要去掉　 　人．
32．为庆祝“六一”儿童节，城东小学四年级同学举行队列表演，他们排成2个“7×7”的方阵。每个方阵中，外两圈同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。最少需要准备 　 　套黄色运动服，　 　套红色运动服。
33．一个表演队的方阵，最外圈一共有44人，这个表演方阵一共有 　 　人。
34．三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数有20人，方阵最外层，每边　 　人，这个方阵共有　 　人．
35．四（3）班同学围成一个正方形，每边8人，四个顶点都有人，一共有　 　名同学．
36．有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽9棵树，四边一共栽　 　棵树．
37．同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边18个同学，一共有　 　个同学在玩游戏．
38．在一个正方形的水池边上摆花盆，每边摆8盆（四个角都要摆），一共可以摆 　 　盆。
39．有一个正方形池塘，每边都要种10棵树，最少要种 　 　棵树。如果有48棵树，每边种树的棵数相同且四个顶点各种一棵，每边种 　 　棵。
40．有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽7棵树，四边一共栽　 　棵树．
三．应用题（共20小题）
41．一个正方形花坛四周共栽了424朵花，4个角上各栽了1朵，每边有多少朵花？
42．曲妍把一些5角硬币均匀排列在一张正方形纸的四周（四个顶点处各放置一枚）．每边的硬币枚数相等．这些硬币面值一共是12元．每边放置了几枚硬币？
43．庆祝节日，工人叔叔把两种颜色的鲜花摆成了3个6×6的方阵．最外圈用红色的鲜花，其余用黄色的鲜花．一共要准备两种颜色的鲜花各多少盆？（先画图表示一个方阵，再解答．）
44．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算）
45．在2019年举行的庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵中，空降兵方队、武警方队、预备役方队和女民兵方队各有350名队员和两名领队。这四个方队一共有多少人？
46．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？
47．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？
48．用棋子在棋盘上摆正方形．正方形的4条边上都有2枚棋子，要用多少枚棋子？4条边上都有6枚棋子呢？
49．国庆阅兵展现了国家力量，某连队排成一个正方形的队伍．方队中，新兵王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个，这个方队一共有多少人？
50．一个方阵有36人，每两人之间相隔1.2m．这个方阵的边长是多少米？
51．一队学生站成10行10列方阵，如果去掉2行2列，那么要减少多少人？
52．二年级同学参加合唱表演，现在有55个同学参加表演，至少增加几个同学就能排成正方形的队形？（简单的方阵问题）
53．有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？
54．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花．
（1）一共摆放了多少盆花？
（2）黄花摆放了多少盆？
55．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？
56．国庆节到了，园丁叔叔用菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。两种颜色的菊花各需要准备多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答）
57．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？
58．某小学举行小学生广播体操比赛，五年级同学站成了一个10列10行的方阵，最外层站了多少名同学？这个方阵共有多少名同学？
59．在一次列队训练中，乐乐的东面有4个人，南面有3个人，西面有4个人，北面有5个人。这个方阵一共有多少人？
60．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】5角的硬币总面值是12元，则一共有硬币12÷0.5＝24（枚），要使每边放的硬币最多，四个角都要放，根据“每边的硬币数＝四周的硬币数÷4+1”即可解答。
【解答】解：5角＝0.5元
12÷0.5＝24（枚）
24÷4+1
＝6+1
＝7（枚）
答：每边最多能放7枚硬币．
故选：C。
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1。
2．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4＝（每边人数﹣1）×4；代入数据即可解答．
【解答】解：最外层一共有：
（12﹣1）×4＝44（人）
答：最外层一共有44人．
故选：B．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
3．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】根据“总人数＝行数×每行人数”求出两种方阵各自的总人数，然后再作差即可。
【解答】解：8×8﹣6×6
＝64﹣36
＝28（人）
答：需要增加28人。
故选：C。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
4．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】要求原有人数，必须知道后来总共多少人，再加上120人．所以就要想方设法求出后来总共多少人．利用弦图来求．
【解答】解：因为增加120人可构成大正方形（设边长为a），减少120人可构成小正方形（设边长为b），所以大、小正方形的面积差为240．
利用弦图求大、小正方形的边长（只求其中一个即可），如图所示，可知每个小长方形的面积为（240÷4）＝60．
根据60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10，试验．
①长＝30，宽＝2，则b＝30﹣2＝28．
原有人数＝28×28+120＝904（人），经检验是8的倍数（原有8列纵队），因为904﹣120＝784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去．
②长＝20，宽＝3，则b＝20﹣3＝17．
原有人数为奇数，不能排成8列纵队，舍．
③长＝15，宽＝4，则b＝15﹣4＝11．
原有人数为奇数，不能排成8列纵队，舍．
④长＝12，宽＝5，则b＝12﹣5＝7．
原有人数为奇数，不能排成8列纵队，舍．
⑤长＝10，宽＝6，则b＝10﹣6＝4．
原有人数＝4×4+120＝136（人）．经检验是8的倍数．满足条件．
答：原有学生136人．
故选：B．
【分析】此题考查了利用弦图分析解决方阵问题，要明确总人数都是完全平方数．
5．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”分别求出两种方阵的总人数再作差即可。
【解答】解：8×8﹣6×6
＝64﹣36
＝28（人）
答：需要增加28人。
故选：B。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
6．【考点】方阵问题；植树问题．版权所有
【答案】B
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆20盆，可以看做每边点数为20的方阵问题，根据最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：20×4﹣4
＝80﹣4
＝76（盆），
答：最外层一共摆了76盆．
故选：B．
【分析】此题考查了空心方阵问题中：最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
7．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】A
【分析】利用“方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4”计算出最外层四周人数即可。
【解答】解：6×4﹣4
＝24﹣4
＝20（名）
答：这个方阵的最外层有20名同学。
故选：A。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
8．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】用每边红旗数减去正方形两个顶点上的2面红旗，可算出每条边两个顶点之间插了多少面红旗，即可求出四条边两个顶点之间一共插了多少面红旗，再加上四个顶点的红旗数，即可求出四周共插红旗多少面。由此解答即可。
【解答】解：24﹣2＝22（面）
22×4＝88（面）
88+4＝92（面）
答：四周共插红旗92面。
故选：C。
【分析】此题考查方阵问题的应用。结合画图的方法，更容易理解。
9．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】A
【分析】四个顶点上各有1盆，所以用36加4再除以4就是方阵最外层每边有的盆数．
【解答】解：（36+4）÷4
＝40÷4
＝10（盆）；
答：方阵最外层每边有10盆花．
故选：A．
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，或每边的人数＝（四周的人数+4）÷4．
10．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的每边人数都是8，由此根据最外层人数＝每边人数×4﹣4即可解答问题．
【解答】解：8×4﹣4＝28（人），
答：最外层有28人．
故选：C．
【分析】此题考查了方阵问题中，最外层点数＝每边点数×4﹣4这个公式的计算应用．
11．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】每边种有24棵，4条边一共有24×4＝96棵，由于四个顶点都种有1棵，4个顶点重复计算了一次，实际上四周共栽96﹣4＝92棵．
【解答】解：24×4﹣4
＝96﹣4
＝92（棵）
答：四周共种92棵．
故选：B．
【分析】本题考查了方阵问题，用到的知识点是：总点数＝每边点数×4﹣4，或总点数＝（每边的点数﹣1）×4．
12．【考点】方阵问题；排队论问题．版权所有
【答案】B
【分析】从前往后数小明排第7个，从后往前数排第13个，说明这一列共有7+13﹣1＝19（人）；从左往右数，从右往左数都排第10个，说明这一行共有10+10﹣1＝19（人）；所以这个正方行方阵的最外层每边有19人，根据最外层人数＝每边人数×4﹣4可求得最外层的人数．
【解答】解：7+13﹣1＝19（人）
19×4﹣4
＝76﹣4
＝72（人）
答：最外层一共可以排72个学生．
故选：B．
【分析】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
13．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：7×4﹣4
＝28﹣4
＝24（人）
答：最外层一共有24名学生．
故选：C．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
14．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数＝每边人数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：16×4﹣4，
＝64﹣4，
＝60（人），
答：最外层一共有60人．
故选：C．
【分析】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
15．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答。
【解答】解：4×4﹣4
＝16﹣4
＝12（人）
答：舞蹈社团一共有12人。
故选：B。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
16．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】A
【分析】根据公式“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”代入数据解答即可．
【解答】解：5×4﹣4
＝20﹣4
＝16（棵）
答：整个花坛四周种树16棵．
故选：A．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
17．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】A
【分析】站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，最接近40的是36，据此解答．
【解答】解：方队的总人数应是完全平方数，最接近40的是36，
40﹣36＝4（人）
答：至少要去掉4人．
故选：A．
【分析】解答此题关键是明确，如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数．
18．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】抽走一行一列后剩14行14列，所以剩下的人数是14×14＝196，据此即可解答问题．
【解答】解：15﹣1＝14
14×14＝196（人）
答：还剩下196人．
故选：B．
【分析】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用．
19．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】C
【分析】此题可以画出一个实心方阵，根据每层总点数＝每边点数×4，求出相邻的两层的总人数，再相减即可选择出正确的答案．
【解答】解：根据题干分析画图如下：
观察图形可知，最外层总人数是：5×4﹣4＝16（人），
中间一层总人数是：3×4﹣4＝8（人）
16﹣8＝8（人），
所以空心方阵每相邻两层的总人数相差8人．
故选：C．
【分析】此题考查了方阵问题中最外层总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用以及空心方阵中相邻的两层的点数差是8，利用画图的方法可以更加直观形象，加深理解．
20．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】B
【分析】由于四个顶点都有人，根据方阵问题中“每边的人数＝四周的人数÷4+1，”可得每边各有48÷4+1＝13名学生．
【解答】解：48÷4+1＝13（名），
答：每边各有13名学生．
故选：B．
【分析】本题考查了方阵问题，相关的知识点是：每边的人数＝四周的人数÷4+1，四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
二．填空题（共20小题）
21．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】21。
【分析】总人数为121人，121＝11×11，所以现在的方阵每行每列都是11人，由于顶点处1人重叠，所以增加了（11×2﹣1）人；据此解答即可。
【解答】解：121＝11×11
11×2﹣1
＝22﹣1
＝21（人）
答：增加了21人。
故答案为：21。
【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。
22．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】60，256。
【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。
【解答】解：16×4﹣4
＝64﹣4
＝60（人）
16×16＝256（人）
答：最外层一共有60人，这个方阵一共有256人。
故答案为：60，256。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
23．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】7行7列共有7×7＝49人．去掉一行一列后剩6行6列，所以剩下的人数是6×6＝36，用原来的人数减去36即为要去掉多少人，据此即可解答问题．
【解答】解：7﹣1＝6（列）
6×6＝36（人）
7×7﹣36
＝49﹣36
＝13（人）
答：如果去掉一行一列，要去掉13人，还剩36人．
故答案为：13，36．
【分析】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用．
24．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】28。
【分析】每排8人，共8排，根据“最外围人数＝（每边人数﹣1）×4”，求出每个方阵最外围的人数，然后再乘1即可。
【解答】解：（8﹣1）×4×1
＝7×4×1
＝28（束）
答：一共要发28束。
故答案为：28。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。
25．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如果每班60人，至少要4个班，是240人，这意思是3个班不够，就是说180人不够；180人＜方阵人数＜240人；
（2）如果每班70人，至少是3个班，是210人，也同样说明是两个班不够，就是说140人是不够的；140人＜方阵人数＜210人；解上面两个就是：180人＜方阵人数＜210人
（3）方阵总人数＝每边人数×每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，由此即可解答．
【解答】解：如果每班60人：60×3＝180（人），60×4＝240（人），由此可得：180人＜方阵人数＜240人；
如果每班70人：70×2＝140（人），70×3＝210（人），由此可得：140人＜方阵人数＜210人；
用数轴表示为：
所以方阵的总人数应为：180人＜方阵人数＜210人，
方阵总人数＝每边人数×每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，180与210之间的完全平方数是142＝196，
答：这个方阵中的总人数是196人．
故答案为：196．
【分析】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，这里得出方阵总人数的取值范围是关键．
26．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】5。
【分析】由于四个顶点都有人，根据方阵问题中“每边的人数＝四周的人数÷4+1”，可得每边的人数。
【解答】解：16÷4+1
＝4+1
＝5（位）
答：每条边上各有5位同学。
故答案为：5。
【分析】本题考查了方阵问题，相关的知识点是：每边的人数＝四周的人数÷4+1，四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4。
27．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】361，72。
【分析】已知围棋的最外层每边有19个棋子，根据“最外层棋子数＝每边棋子数×4﹣4”可求得最外层一共有多少个棋子；根据“实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数”，用19×19可求得整个棋盘一共有多少个棋子．据此解答即可。
【解答】解：19×4﹣4
＝76﹣4
＝72（个）
19×19＝361（个）
答：围棋盘一共可以摆放361枚棋子，最外层一共可以摆放72枚棋子。
故答案为：361，72。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
28．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：60÷4+1＝16（人），因此这个方阵共有学生16×16＝256（人），据此解答．
【解答】解：60÷4+1＝16（人），
16×16＝256（人）；
答：这个方阵共有学生256人．
故答案为：256．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
29．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】76。
【分析】一个正方形方阵，一共排了18行，即每边18人，现在要在最外边加一圈同学，那么没边的人数增加2，即现在每边有20人，然后根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可。
【解答】解：18+2＝20（人）
20×4﹣4
＝80﹣4
＝76（人）
答：需要加76人。
故答案为：76。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
30．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】121，40。
【分析】因为小明的位置都能用数对（6，6）表示，所以他应该在方阵的最中间位置，他的前后左右都有6人，所以这个方阵的行数和列数都是6+6﹣1＝11（人），行数乘列数即为总人数；每边人数乘4再减去4就是最外圈的人数；据此解答即可。
【解答】解：6+6﹣1＝11（人）
11×11＝121（人）
11×4﹣4＝40（人）
答：这个方阵共有121人，最外圈有40人。
故答案为：121，40。
【分析】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用，关键是找出小明所在行和列的人数。
31．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，最接近73，且比73小的平方数是64，据此解答．
【解答】解：方队的总人数应是完全平方数，最接近73的是64，
73﹣64＝9（人）
答：至少要去掉9人．
故答案为：9．
【分析】解答此题关键是明确，如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数．
32．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】80；18。
【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有7人，共4层，然后根据总点数＝每边点数×每边点数求出总方阵的人数和内2层的人数，再进一步解答即可。
【解答】解：（1）7×7＝49（人）
（7﹣2﹣2）×（7﹣2﹣2）
＝3×3
＝9（人）
9×2＝18（人）
49﹣9＝40（人）
40×2＝80（人）
答：最少需要准备80套黄色运动服，18套红色运动服。
故答案为：80；18。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。
33．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】144。
【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4+1”求出每边人数，再根据“总人数＝每边人数×每边人数”求出总人数即可。
【解答】解：每边人数：
44÷4+1
＝11+1
＝12（人）
总人数：
12×12＝144（人）
答：这个方阵一共有144人。
故答案为：144。
【分析】本题主要考查了方阵问题，需要学生熟练掌握方阵中四周人数、每边人数以及总人数之间的关系。
34．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公式：每边的人数＝四周的人数÷4+1可得：20÷4+1＝6（人）；再根据公式：中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，可得，6×6＝36（人）；据此解答．
【解答】解：20÷4+1＝6（人）；
6×6＝36（人）；
答：方阵最外层，每边6人，这个方阵共有36人．
故答案为：6，36．
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数．
35．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据四（3）班同学围成一个正方形，每边8人，四个顶点都有人，8×4＝32（人），然后减去重复计算的4人即可．
【解答】解：8×4＝32（人）
32﹣4＝28（人）
答：一共有 28名同学，
故答案为：28．
【分析】解答此题的关键是去掉重复计算的四个顶点上的人．
36．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和＝每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：9×4﹣4
＝36﹣4
＝32（棵）
答：四边一共栽了32棵．
故答案为：32．
【分析】此题考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
37．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由于每个顶点都是两条边的交点，即4个顶点上的人都被重复计算一次，每边18个同学，18×4＝72，将四个顶点上的重复计算的人减去，则共有72﹣4＝68个同学．
【解答】解：18×4﹣4
＝72﹣4
＝68（个）
答：一共68个同学在玩游戏．
故答案为：68．
【分析】本题要注意4个顶点上的人都被重复计算一次，可实际画下图更容易明白．
38．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】28。
【分析】用每条边上的花盆数乘4减去4个顶点都重复的4盆，就得总花盆数。
【解答】解：8×4﹣4
＝32﹣4
＝28（盆）
答：一共可以摆28盆。
故答案为：28。
【分析】明确方阵边上人数的组成是解决本题的关键。
39．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】36，13。
【分析】根据“最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4”，解答即可。
【解答】解：（10﹣1）×4
＝9×4
＝36（棵）
48÷4+1
＝12+1
＝13（棵）
答：每边都要种10棵树，最少要种36棵树。如果有48棵树，每边种树的棵数相同且四个顶点各种一棵，每边种13棵。
故答案为：36，13。
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。
40．【考点】方阵问题；植树问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和＝每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：7×4﹣4
＝28﹣4
＝24（棵）
答：四边一共种了24棵．
故答案为：24．
【分析】此题考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
三．应用题（共20小题）
41．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可．
【解答】解：（424+4）÷4
＝428÷4
＝107（朵）
答：每边有107朵花．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
42．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】7．
【分析】5角的硬币总面值是12元，则一共有硬币12÷0.5＝24（枚），四个顶点处各放置一枚，根据方阵问题公式可得“每边的硬币数＝四周的硬币数÷4+1”即可解答．
【解答】解：5角＝0.5元
12÷0.5＝24（枚）
24÷4+1
＝6+1
＝7（枚）
答：每边放置了7枚硬币．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
43．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】用6乘6求出每个方阵的总盆数，然后用6×4减去4求出最外圈红色鲜花的盆数，再和每个方阵的总盆数相减求出黄色鲜花的盆数．最后再求3个方阵中两种颜色的盆数；据此画图解答即可．
【解答】解：画图如下，
6×6＝36（盆）
4×6﹣4＝20（盆）
36﹣20＝16（盆）
20×3＝60（盆）
16×3＝48（盆）
答：一共要准备红色鲜花60盆，黄色鲜花48盆．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
44．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】红花60盆，黄花48盆。
【分析】画图如下，先根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出每个方阵的总盆数，再利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周红花的盆数，然后作差求出黄花的盆数，再求出3个方阵两种颜色的花各多少盆即可。
【解答】解：1个方阵排列图如下：
（6﹣1）×4
＝5×4
＝20（盆）
6×6﹣20
＝36﹣20
＝16（盆）
20×3＝60（盆）
16×3＝48（盆）
答：一共要准备红花60盆，准备黄花48盆。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。
45．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】1408人。
【分析】用每个方队的队员人数乘方队个数，求出队员总人数；用每个方队领队的人数乘方队个数，求出领队总人数；再相加求出总人数。
【解答】解：350×4＝1400（人）
2×4＝8（人）
1400+8＝1408（人）
答：这四个方队一共有1408人。
【分析】本题主要考查三位数乘一位数和万以内加法的计算及应用。
46．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿蓝色运动服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数就是穿黄衣服的人数．
最后再用每个方队中蓝、黄的衣服人数分别乘5，求出5个方队中两种颜色的运动服的套数即可．
【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人）
一个方队穿蓝衣服的人有：6×4﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
一个方队穿黄衣服的人有：
36﹣20＝16（人）
所以5个方队蓝衣服需要：20×5＝100（套）
黄衣服需要：16×5＝80（套）
答：蓝衣服需要100套，黄衣服需要80套．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
47．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】64人。
【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）÷2＝9（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”，求出原来准备参加健美操表演的人数即可。
【解答】解：（17+1）÷2
＝18÷2
＝9（人）
（9﹣1）×（9﹣1）
＝8×8
＝64（人）
答：原来准备参加健美操表演的有64人。
【分析】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
48．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】棋盘上小正方形横着的正方形的边共有8×8＝64条，同理，竖着的正方形的边共有8×8＝64条，64+64＝128条，然后乘2（或6）即可．
【解答】解：2×（8×8×2）
＝2×128
＝256（枚）
6×（8×8×2）
＝6×128
＝768（枚）
答：正方形的4条边上都有2枚棋子，要用256枚棋子；正方形的4条边上都有6枚棋子，要用768枚棋子．
【分析】解答本题关键是求出共有多少条正方形的边．
49．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】81人．
【分析】此题可以把这个方队看作一个实心方阵问题来解决：王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个（重复计算了一次），由此可知：王明所在的行与列的人数都是5+5﹣1＝9人，利用方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可求得方队人数．
【解答】解：5+5﹣1＝9（人）
9×9＝81（人）
答：这个方队共有81人．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
50．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】因为36＝6×6，所以每行就有6人，所以每边的间隔数＝人数﹣1，即6﹣1＝5；然后乘上间距即可求解。
【解答】解：因为36＝6×6，所以每行就有6人；
1.2×（6﹣1）
＝1.2×5
＝6（米）
答：这个方阵的边长是6米。
【分析】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。
51．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】10行10列方阵，共有10×10＝100人，如果去掉2行2列，还剩10﹣2＝8行，10﹣2＝8列，还剩8×8＝64（人），然后用总人数减去剩下的人数就是减少的人数．
【解答】解：10﹣2＝8（人），
10×10＝100（人），
8×8＝64（人），
100﹣64＝36（人）；
答：要减少36人．
【分析】本题关键是求出去掉2行2列的列数和行数（即每列的人数和列数）．
52．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】9个．
【分析】排成正方形的队形，那么每行、每列的人数都相等，想乘积稍大于55，且两个乘数相同的乘法口诀“八八六十四”，可知方队的总人数是64人，再减去已有的55人，就是需要增加的人数．
【解答】解：8×8＝64（个）
64﹣55＝9（个）
答：至少增加9个同学就能排成正方形的队形．
【分析】解决本题先理解正方形队形的含义，根据乘法口诀求出总人数，再根据减法的意义求解．
53．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，需要2+5＝7人，去掉顶点1人，那么原来最外层每边的人数：（2+5﹣1）÷2＝3（人），然后根据“实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”，求出原来方阵的人数，再加上2人求出有学生多少人即可．
【解答】解：（2+5﹣1）÷2＝3（人）
3×3+2＝11（人）
答：有学生11人．
【分析】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
54．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】（1）144盆；（2）44盆．
【分析】（1）求一共摆放了多少盆花，根据方阵总点数＝每边点数×每边点数解答即可；
（2）求黄花摆放了多少盆，根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可．
【解答】解：（1）12×12＝144（盆）
答：一共摆放了144盆花．
（2）12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（盆）
答：黄花摆放了44盆．
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
55．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】最外层每边都有6枚硬币，要求最外层一共有多少枚硬币，根据最外层点数＝每边点数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：6×4﹣4
＝24﹣4
＝20（枚）
答：最外层一共有20枚硬币．
【分析】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
56．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】72盆，75盆。
【分析】用7乘7求出每个方阵的总盆数，然后用7×4减去4求出最外圈红色菊花的盆数，再和每个方阵的总盆数相减求出黄色菊花的盆数。最后再求3个方阵中两种颜色的盆数；据此画图解答即可。
【解答】解：画图如下：
7×7＝49（盆）
4×7﹣4
＝28﹣4
＝24（盆）
49﹣24＝25（盆）
24×3＝72（盆）
25×3＝75（盆）
答：一共要准备红色菊花72盆，黄色菊花75盆。
【分析】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
57．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】44盆。
【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，144＝12×12，所以这个方阵的每行、每列都是12盆，最外层每边也是12盆；最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，再由此求出最外层的盆数。
【解答】解：144＝12×12
所以最外层每边有鲜花12盆。
12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（盆）
答：最外层一共有44盆鲜花。
【分析】本题考查了方阵的特点，以及最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
58．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】36，100。
【分析】最外层每边有10人，有4个边，用乘法计算，每个角上的人都重复计算了，需要减去；一列有10人，一共有10列，用乘法计算。
【解答】解：4×10﹣4
＝40﹣4
＝36（人）
10×10＝100（人）
答：最外层站了36名同学；这个方阵共有100名同学。
【分析】本题主要考查了方阵问题，注意重复计数的数量需要减去。
59．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】81人。
【分析】根据题意可知，乐乐东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。
【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人）
每列的人数：3+5+1＝9（人）
总人数：9×9＝81（人）
答：这个方阵一共有81人。
【分析】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为乐乐自己没加上，所以还要加1，才能准确求出结果。
60．【考点】方阵问题．版权所有
【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。
【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。
最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。
【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人）
6×4﹣4
＝24﹣4
＝20（人）
36﹣20＝16（人）
20×4＝80（件）
16×4＝64（件）
答：黄色表演服80件，红色表演服64件。

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