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专题01 有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）
【知识导图】
【知识清单】
1.有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；
(2)有理数的分类: ① ②
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；
a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数.
【例1】把下列各数填在相应的大括号里：
，－3.14，0，18%，，2019，，，－1
整数：；
正分数：；
非负有理数：．
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.
【例2】．（2023 馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2
3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
(3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
(4)相反数的商为-1.
（5）相反数的绝对值相等
【例3】如果的相反数是最大的负整数，的相反数是它本身，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
4.绝对值：
(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为： 或 ；
(3) ； ；
(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；
【例4】（2022秋 寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．
（1）a＝　　，b＝　 　．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．
5.有理数比大小：
（1）正数永远比0大，负数永远比0小；
（2）正数大于一切负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；
（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
【例5】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0.
6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；
注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数.
等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：0
倒数等于本身的数：1，-1
绝对值等于本身的数：正数和0
平方等于本身的数：0,1
立方等于本身的数：0,1，-1.
【例6】．（2023 绥化模拟）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
7. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
【例7】计算：
(1) (2)．
8．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
【例8】阅读理解下题的计算方法，并解决问题：
计算：．
解：原式
上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：．
9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
【例9】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与零相乘都得零；
（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。
【例10】.计算：
（1）； （2）；
（3）．
11 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算）
【例11】（2022秋 朝阳区校级月考）用简便方法计算：
①； ②．
12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
【例12】 计算：
13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
【例13】已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是 　　．
14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0；
（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
【例14】（2022秋 兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．
15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1
【例15】（2023 路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.22819×1010 B．0.22819×1011
C．2.2819×1010 D．2.2819×1011
16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.
【例16】（2022秋 青田县期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）
17.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。
【例17】（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）计算：
【提升练习】
1．（2023 南召县模拟）如果定义新运算“※”，满足a※b＝2a+3b+（﹣a），那么﹣1※2＝　 ．
2．（2023春 沈阳月考）有4个不同数字1，﹣2，2，3，用学过的运算方法（加，减，乘，除，乘方）使其结果为24，写出运算式子．
（写出两种等式） 　 ．
3．（2023春 长宁区期末）计算：．
4．（2023春 浦东新区期末）计算：﹣23+|﹣5|﹣18×（﹣）2．
5．（2022秋 硚口区期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．
6．（2022秋 鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
7．（2022秋 鞍山期末）计算：
（1）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．
8．（2022秋 泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？
9．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．
小明的解法：原式的倒数为＝－4＋10＝6，所以
(1)请你判断小明的解答是否正确？
(2)请你运用小明的解法计算：
10．已知一些两位数相乘的算式：62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11.利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式.观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： .
11．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，设点A，B，C所对应数分别为a、b、c，且．
（1）若点C为原点，，则__________，_________，_________；
（2）若点B为原点，，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且，求m的值．
12．解答下列问题：
（1）画出数轴，并在数轴上表示与2；
（2）数轴上表示的点与表示2的两点之间的距离为　　　　；
（3）若|a﹣3|=2，|b+2|=1，且点A，点B在数轴上表示的数分别是a，b，则A、B两点间的最大距离是　　　　，最小距离是　　　　；
（4）数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．点A在点C左侧，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每分钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每分钟4个单位长度从点C向左运动．
①如图1，　　　　分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等；
②如图2，　　　　分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
13．（2022秋 澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 　　；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
14．（2022秋·七年级单元测试）阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？
15．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足．
(1)填空： ___________，___________，___________．
(2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；
(3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系．
16.点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和两点之间的距离 　　；
(2)若数轴上表示点的数满足，那么　　；
(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；
(4)|的最小值是 　　．
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数．
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专题01 有理数（17个考点梳理+题型解读+提升训练）
【知识导图】
【知识清单】
1.有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；
(2)有理数的分类: ① ②
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；
a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数.
【例1】把下列各数填在相应的大括号里：
，－3.14，0，18%，，2019，，，－1
整数：；
正分数：；
非负有理数：．
【答案】，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019，
【分析】根据整数（包括正整数，0和负整数），正分数（大于0的分数）以及非负有理数（包括0和正有理数）的定义解答即可．
【详解】解：，，
整数：；
正分数：；
非负有理数：．
故答案为：，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019，．
【点睛】本题考查的是有理数的分类，多重符号的化简，绝对值的含义，掌握有理数的分类是解题的关键，难点是非负有理数的理解.
2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.
【例2】．（2023 馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，
∴a可以是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
(3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
(4)相反数的商为-1.
（5）相反数的绝对值相等
【例3】如果的相反数是最大的负整数，的相反数是它本身，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义确定m、n的值，再代入m＋n，计算即可求出其值．
【详解】∵m的相反数是最大的负整数，n的相反数是它本身,
∴m＝1,n＝ 0，∴m＋n＝1＋0＝1，故A选项是正确答案．
4.绝对值：
(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为： 或 ；
(3) ； ；
(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；
【例4】（2022秋 寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．
（1）a＝　　，b＝　 　．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．
【解答】解：（1）∵a与2互为相反数，而2的相反数是﹣2，
∴a＝﹣2，
∵b与﹣互为倒数，而﹣的倒数是﹣3，
∴b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0，
∴m﹣a＝0，b+n＝0，
又∵a＝﹣2，b＝﹣3，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴mn＝﹣2×3＝﹣6，
答：mn的值为﹣6．
【点评】本题考查的是非负数的性质，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性是正确解答的前提．
5.有理数比大小：
（1）正数永远比0大，负数永远比0小；
（2）正数大于一切负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；
（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。
【例5】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0.
解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．
解：如图所示：
因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1＜0＜＜4＜＋5.
方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键．
6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；
注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数.
等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：0
倒数等于本身的数：1，-1
绝对值等于本身的数：正数和0
平方等于本身的数：0,1
立方等于本身的数：0,1，-1.
【例6】．（2023 绥化模拟）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【解答】解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1，
故选：D．
7. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数.
【例7】计算：
(1) (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的加法运算法则及求一个数的绝对值进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算及求一个数的绝对值；解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
8．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
【例8】阅读理解下题的计算方法，并解决问题：
计算：．
解：原式
上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：．
【分析】按照拆项法和有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝[（﹣2018）+（﹣2017）+4036]+[（）+（）（）]
＝1+（）
．
【点评】本题考查了有理数的加法法则，把带分数拆分成整数部分和分数部分是解题的关键．
9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
【例9】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与零相乘都得零；
（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。
【例10】.计算：
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式，0乘以任何数都为0；
（3）原式．
11 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算）
【例11】（2022秋 朝阳区校级月考）用简便方法计算：
①；
②．
【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）
＝3+1﹣6
＝﹣2．
②原式＝（﹣100+）×24
＝﹣100×24+×24
＝﹣2400+2
＝﹣2398．
12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
【例12】 计算：
【答案与解析】
方法1：
方法2：
所以
13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；
【例13】已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是 　　．
【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，
∴a≠0，a+b＝0，
∴＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，
故答案为：1．
14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0；
（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
【例14】（2022秋 兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．
【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．
∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0．
∴a＝2，b＝﹣1．
∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．
15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1
【例15】（2023 路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.22819×1010 B．0.22819×1011
C．2.2819×1010 D．2.2819×1011
【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．
故选：C．
16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.
【例16】（2022秋 青田县期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）
【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；
B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故B符合题意；
C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故C不符合题意；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；
故选：B．
17.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。
【例17】（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．
【提升练习】
1．（2023 南召县模拟）如果定义新运算“※”，满足a※b＝2a+3b+（﹣a），那么﹣1※2＝　 ．
【解答】解：﹣1※2
＝2×（﹣1）+3×2+[﹣（﹣1）]
＝﹣2+6+1
＝5．
故答案为：5．
2．（2023春 沈阳月考）有4个不同数字1，﹣2，2，3，用学过的运算方法（加，减，乘，除，乘方）使其结果为24，写出运算式子．
（写出两种等式） 　 ．
【解答】解：根据题意得：
23×[1﹣（﹣2）]＝24和21﹣（﹣2）×3＝24．
故答案为：23×[1﹣（﹣2）]＝24，21﹣（﹣2）×3＝24．
3．（2023春 长宁区期末）计算：．
【解答】解：原式＝﹣4﹣
＝
＝
＝
＝﹣4+1
＝﹣3．
4．（2023春 浦东新区期末）计算：﹣23+|﹣5|﹣18×（﹣）2．
【解答】解：﹣23+|﹣5|﹣18×（﹣）2．
＝﹣8+5﹣18×
＝﹣8+5﹣2
＝﹣5．
5．（2022秋 硚口区期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，
当x＝2时，
x3+cdx2﹣
＝23+1×22﹣
＝8+1×4﹣0
＝8+4﹣0
＝12；
当x＝﹣2时，
x3+cdx2﹣
＝（﹣2）3+1×（﹣2）2﹣
＝﹣8+1×4﹣0
＝﹣8+4﹣0
＝﹣4，
由上可得，x3+cdx2﹣的值为12或﹣4．
6．（2022秋 鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；
（3+5）×（6÷2）＝24；
（5﹣3）×2×6＝24；
（2）如抽到黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，
则有：3×6+10﹣4＝24．
7．（2022秋 鞍山期末）计算：
（1）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．
【解答】解：（1）
＝（）×（﹣）+（﹣）
＝﹣
＝﹣2+1+
＝；
（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）
＝﹣8﹣3×（16+2）﹣9÷（﹣2）
＝﹣8﹣3×18﹣9×（﹣）
＝﹣8﹣54+4.5
＝﹣57.5．
8．（2022秋 泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？
【解答】解：（1）（﹣5×3﹣6）×3+7＝﹣56；
（2）设这个数为x，
（3x﹣6）×3+7＝2023，
解得，x＝226．
∴小明想的那个数是226．
9．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．
小明的解法：原式的倒数为＝－4＋10＝6，所以
(1)请你判断小明的解答是否正确？
(2)请你运用小明的解法计算：
【答案】（1）正确；（2）
【详解】解：（1）正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
（2）原式的倒数为：
=
=-26
∴
10．已知一些两位数相乘的算式：62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11.利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式.观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、 直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上： .
【答案】（1）62×11，34×11，54×11；（2）62×11=682，34×11=374，54×11=594，
可以发现：一个两位数乘以11，乘积是一个百位数，百位数字是原两位数十位数字，各位数字是原两位数的个位数字，十位数字是原两位数的个位数字与十位数字的和；（3）过程见详解；（4）62×11，34×11， 18×22，15×55，54×11.
【详解】（1）有共同特征的3个算式分别是：62×11，34×11，54×11，它们中都含有因数11；
（2）62×11=682，34×11=374，54×11=594，
可以发现：一个两位数乘以11，乘积是一个百位数，百位数字是原两位数十位数字，各位数字是原两位数的个位数字，十位数字是原两位数的个位数字与十位数字的和.
（3）设一个两位数是10a+b，
11（10a+b）=110a+11b=100a+10a+10b+b=100a+10(a+b)+b，
∴规律为：一个两位数乘以11，乘积是一个百位数，百位数字是原两位数十位数字，个位数字是原两位数的个位数字，十位数字是原两位数的个位数字与十位数字的和.
(4)∵18×22=36×11，15×55=75×11,
∴所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式有：62×11，34×11， 18×22，15×55，54×11.
11．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，设点A，B，C所对应数分别为a、b、c，且．
（1）若点C为原点，，则__________，_________，_________；
（2）若点B为原点，，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且，求m的值．
【答案】（1）-3，-1，-4；（2）-2；（3）m=8或-40．
【详解】解：（1）∵点C为原点，BC=1且B在C的左边
∴B所对应的数为-1，
∵AB=2BC，
∴AB=2，
∴AC=AB+BC=3,
∴点A所对应的数为-3，
∵m=a+b+c=-3-1+0=-4；
故答案为：-3，-1，-4；
（2）∵点B为原点，AC=6，AB=2BC，
∴AC=3BC=6,即BC=2,AB=AC-AB=4
∴点C所对应的数为2，点A所对应的数为-4
∴m= a+b+c=-4+2+0=-2；
（3）∵原点O到点C的距离为8，
∴点C所对应的数为±8，
∵OC=AB，
∴AB=8，
当点C对应的数为8，AB=8，AB=2BC，
∴BC=4，
∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为-4，
∴m=a+b+c=4-4+8=8；
当点C所对应的数为-8，AB=8，AB=2BC，
∴BC=4，
∴点B所对应的数为-12，点A所对应的数为-20。
∴m=-20-12-8=-40
综上，m=8或-40．
12．解答下列问题：
（1）画出数轴，并在数轴上表示与2；
（2）数轴上表示的点与表示2的两点之间的距离为　　　　；
（3）若|a﹣3|=2，|b+2|=1，且点A，点B在数轴上表示的数分别是a，b，则A、B两点间的最大距离是　　　　，最小距离是　　　　；
（4）数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．点A在点C左侧，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每分钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每分钟4个单位长度从点C向左运动．
①如图1，　　　　分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等；
②如图2，　　　　分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）8，2；（4）①1或；②或4．
【详解】（1）如图所示：
（2）的点与表示2的两点之间的距离为2﹣()=；
（3）∵|a﹣3|=2，|b+2|=1，
∴a﹣3=±2，b+2=±1，
解得：a=1或5，b=﹣3或﹣1，
故A、B两点间的最大距离是5﹣(﹣3)=8，最小距离是1﹣(﹣1)=2，
故答案是：8，2；
（4）①设x分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等，依题意有
　3﹣2x=5﹣4x，
解得：x=1；
或2x+4x=3+5，
解得：x=．
故1或分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等；
②设y分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等，依题意有
2x+4x=5﹣3，
解得：x=；
或3+2x=4x﹣5，
解得：x=4．
故或4分钟后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等．
13．（2022秋 澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 　　；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【解答】解：（1）AC＝15﹣（﹣10）＝25，
∴点A到点C的距离为25，
故答案为：25；
（2）存在，设点P表示的数为x，
当P点在A点的左侧（含A点）时：﹣10﹣x+5﹣x＝25，
解得：x＝﹣15，
当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25，
解得：无解；
当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，
解得：x＝10，
∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x＝﹣15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度；
（3）设点P表示的数为x，
则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，
∵点P在点A、C之间，
∴PA+PB+PC＝AC+PB＝25+PB，
当点P与点A重合时，PB最大，此时PB＝5﹣（﹣10）＝15，
∴PA+PB+PC的最大值为25+15＝40，
当点P与点B重合时，PB最小，此时PB＝0，
∴PA+PB+PC的最小值为25，
∴S的最大值为40，最小值为25．
14．（2022秋·七年级单元测试）阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？
【答案】(1)几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，或
(2)几何意义是点到点的距离等于点到点的距离，
(3)几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，最小值为
【详解】（1）解：等式的几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，这里或．
（2）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，，
则等式的几何意义是点到点的距离等于点到点的距离，即，所以．
（3）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，，
则式子的几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，即．
结合数轴可知：当时，式子的值最小，最小值为．
15．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足．
(1)填空： ___________，___________，___________．
(2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；
(3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系．
【答案】(1)，3，8
(2)或
(3)
【详解】（1）解：
得
（2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3，
①当点M在点A的左侧时
则，
点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍
解得
②当点M在线段之间时
则，
点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍．
解得
③当点M在点B右侧时，不满足题意．
综上所述：点M对应的数为或．
（3）解：，理由如下：
设运动时间为t秒，根据题意得：
，，
，
点C为线段的中点，
线段的长度总为一个固定的值．
16.点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和两点之间的距离 　　；
(2)若数轴上表示点的数满足，那么　　；
(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；
(4)|的最小值是 　　．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）为在数轴上表示和的两点间的距离为，即可求解；
（3）表示在数轴的点到和的点的距离之和，即可求解；
（4）的最小值，表示与、、距离和的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意知：
数轴上表示和两点之间的距离．
故答案为：．
（2）解：
即在数轴上表示和的两点间的距离为，
或．
故答案为：或；
（3）解：表示数轴上数的点到和的点的距离之和，
，
位于和之间，
；
（4）
的最小值，表示与、、距离和的最小值，
当时，有最小值，最小值为．
故答案为：．
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数．
【答案】(1)8
(2)3或9
【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；
（2）分两种情况：①当点P在线段上时；②当点P在线段延长线上时；分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
即点A表示的数是，点B表示的数是5，
∴
（2）解：分两种情况：①点P在线段之间时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是3；
②点P在点B右侧时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是9．
综上所述：点P对应的数为3或9．
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