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第二章经典模型
一 、追及和相遇问题
高中物理必修一 第二章 匀变速直线运动的研究
1、什么是“追及和相遇”问题
两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。
2、“追及和相遇”问题的特点：
（1）有两个相关联的物体同时在运动。
（2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。
追及和相遇问题
3、追及和相遇问题的分析方法
分析两物体运动过程，画运动示意图
由示意图找两物体位移关系
据物体运动性质列(含有时间的) 位移方程
追及和相遇问题
4、“追及和相遇”问题解题的关键是：
准确分析两个物体的运动过程，找出两个物体运动的三个关系：
时间关系（大多数情况下，两个物体的运动时间相同，有时运动时间也有先后）、位移关系、速度关系。
追及和相遇问题
初速度大者追初速度小者的常见情形分析
5、两种追及问题分析：
实物图
情景图
匀减速追匀速
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
t0时刻以前(v2＞v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时)
t0时刻 (v2＝v1) Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx＜x0，追不上，有最小距离
若Δx＞x0，相遇两次
追及和相遇问题
初速度小者追初速度大者常见情形分析
实物图
情景图
注意：匀速(或匀加速)追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论
匀加速追匀速
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
t＝t0以前(v2＜v1) 两物体距离增大
t＝t0时(v1＝v2) 相距最远
t＝t0以后(v2＞v1) 两物体距离减小
追及情况 只能追上一次
追及和相遇问题
5、解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t 图像法。
例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
x汽
x自
△x
追及和相遇问题
方法一：分析法
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。示意图如右图
x汽
x自
△x
[探究]：汽车经过多少时间能追上自行车 此时汽车的速度是多大 汽车运动的位移又是多大？
追及和相遇问题
解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
V-t图像的斜率表示物体的加速度
当t=2s时两车的距离最大
v/ms-1
自行车
汽车
t/s
o
6
t0
α
方法二：图象法
动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律
追及和相遇问题
例2、A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系：
由A、B位移关系：
(包含时间关系)
方法一：分析法
追及和相遇问题
方法二：图象法
v/ms-1
B
A
t/s
o
10
t0
20
解:在同一个V-t图中画出A车和B车的速度图线，如图所示.火车A的位移等于其图线与时间轴围成的梯形的面积，而火车B的位移则等于其图线与时间轴围成的矩形的面积。两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，不难看出，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100。
物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移.
追及和相遇问题
6、有条件限制的追及问题
追及和相遇问题
例3、在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求：
(1)甲车经多长时间停下；
(2)甲、乙两车相遇前最大距离；
(3)甲、乙两车经多长时间相遇。
追及和相遇问题
解：（1）以初速度方向为正方向，甲车从开始刹车到停下所经历的时间：
t1＝ ＝4 s。
乙车的位移：x2＝v2t2＝10×2 m＝20 m
两车的最大距离：xm＝L＋x1－x2＝20 m
（2）
（3）2 s末两车之间的距离是20 m，再经过2 s甲车停止，所以可知甲车 停止时，乙车还未追上甲车，则有：v2t3＝L＋
代入数据解得：t3＝5 s。
如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。
追及和相遇问题
例4、一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。
(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？
(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字)
追及和相遇问题
解：（1）t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。
由v汽t0＋1 000 m＝ t0
代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。
（2）设摩托车加速时间为t1，加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小 ，则有at1＝v1＝30 m/s
at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m
代入数据得a≈0.56 m/s2。
如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。
追及和相遇问题
1.(多选)甲、乙两车在同一直道上从同一地点同时出发，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知甲车由静止开始做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动，图线在5 s末时相交，则下列说法正确的是（ ）
A.前5 s内平均速度相同
B.甲车速度一直大于乙车速度
C.5 s末甲车和乙车相遇
D.t＝2.5 s时两车相距最远
ACD
追及和相遇问题
2、(多选)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动，在t＝0时刻，二者相距15 m，甲在后，乙在前，它们运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A.t＝2 s时刻，甲物体刚好赶上乙物体
B.t＝4 s时刻，甲和乙相距15 m
C.0～4 s内，甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
ABD
追及和相遇问题
3、大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72 km/h速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36 km/h速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1 s反应时间后开始刹车(假设在反应时间内汽车的车速不变)，刹车的加速度大小为2 m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为（ ）
A.30 m B.35 m C.40 m D.45 m
B
追及和相遇问题
4、平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始匀加速行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，求：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
追及和相遇问题
5、行车安全无小事，特别是特殊天气情况下。在遭遇持续强降雨天气的情况下，某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车速度大小分别为v1＝35 m/s、v2＝20 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车只是立即刹车，则轿车要经过x＝122.5 m停下来。两车可视为质点。
(1)求轿车刹车后减速运动的加速度大小？
(2)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？
(3)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2 s收到信号，立即以大小a2＝2.5 m/s2的加速度加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？

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