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空间向量题型总结
题型一、概念辨析
下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.
若、共线，则、所在的直线平行
是向量的必要非充分条件；
已知两向量、，则空间任意一个向量，总可以唯一表示为＝x+y.
若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
例二．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二、空间向量线性运算（包括共线、共面问题）
例二．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
例三．下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
例四．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.
例五．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
题型三、数量积及空间向量基本定理运用
例一．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.
(1)求；
(2)求；
(3)求的长.
例二．已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（　　）
A． B．
C． D．
题型四、空间向量及其运算的坐标表示
例一．（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．与夹角的余弦值为
例二．（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
例三．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
题型五、空间向量的运用
求直线的方向向量和平面的法向量
例一．若，在直线上，则直线的一个方向向量为 （ ）
A． B．
C． D．
例二．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
（1）定义法：求平面BCC1B1的一个法向量．
（2）待定系数法：求平面MCA1的一个法向量．
利用空间向量证明垂直、平行问题
例一．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．
求证：C1F∥AD1
求证：A1C1∥平面ABCD.
求证：平面平面.
在直线A1B1上是否存在一点G，是的AA1∥平面C1FG？
例二．如图，在正方体中，是的中点，建立适当的空间直角坐标系。
证明：．
求证：AC⊥平面DEF.
求证：平面ACB1⊥平面DEF.
利用空间向量研究距离和夹角问题
利用空间向量研究距离问题
例一．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段DD1, BB1的中点。
（1）求点A1到直线B1E的距离。
（2）求直线FC1到直线AE的距离。
（3）求点A1到平面AB1E的距离。
（4）求直线FC1到平面AB1E的距离。
（二）利用空间向量研究夹角问题
例一．如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC,AD的中点。
（1）求直线AM和CN夹角的余弦值.
（2）求直线CN和平面BCD所成角的正弦值.
（3）求平面ABC与平面BCD所成角的余弦值.
高考真题.
1.（2023 新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．
2. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

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