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1.1.1 集合及其表示方法——题型·技巧攻略
题型1判断给定的对象能否构成集合 3
题型2判断元素与集合的关系 4
题型3集合的表示 6
◆类型1列举法表示集合 7
◆类型2描述法表示集合 7
◆类型3列举法与描述法的理解 8
◆类型4区间表示集合 10
题型4根据元素与集合的关系求参数 10
题型5集合元素互异性的应用 11
题型6集合与一元二次方程 11
知识点一.元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
知识点二.元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三.集合元素的特点
1.确定性：集合的元素必须是确定的。
2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.无序性：集合中的元素可以任意排列。
知识点四.集合相等
集合相等：给定两个集合A和B如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等，记作A=B。
知识点五.集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合。
2.无限集：含有无限个元素的集合。
知识点六.常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点七.集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念．
①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
③特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
题型1判断给定的对象能否构成集合
【方法总结】判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【例题1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【变式1-1】1.(多选)（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．全体较高的学生 B．所有素数
C．2021年高考数学难题 D．所有正方形
【变式1-1】2.（2023·全国·高一假期作业）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x的正整数
【变式1-1】3.（2023·全国·高一假期作业）由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
【变式1-1】4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
题型2判断元素与集合的关系
【方法总结】判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【例题2-1】（2021秋·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.
【变式2-1】1.（2022·高一课时练习）用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【变式2-1】2．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】3.（2022秋·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）已知集合，下列选项中均为的元素的是__________.（填写序号）
① ② ③ ④
【例题2-2】用符号“∈”或“ ”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【变式2-2】已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
【例题2-3】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【变式2-3】1．集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
【变式2-3】2．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2－1)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
【变式2-3】3.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a、b为有理数)，则下列元素中，不属于集合M的元素的有(　　)
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【例题2-4】（多选）（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【变式2-4】1.（2022秋·江苏扬州·高一校考开学考试）以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）；（4）若，则．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2
【变式2-4】2.（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）设是实数集，满足若，则，，且.
(1)若，则集合中至少还有几个元素 求出这几个元素.
(2)集合中能否只含有一个元素 请说明理由.
【变式2-4】3.（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
题型3集合的表示
◆类型1列举法表示集合
【方法总结】用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
【例题3-1】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【变式3-1】用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
◆类型2描述法表示集合
【方法总结】 一.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 二．利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
【例题3-2】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【变式3-2】1.用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3)
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【变式3-2】2.用描述法表示下列集合:
{3,6,9,12,…}.
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【变式3-2】3.下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
◆类型3列举法与描述法的理解
【方法总结】 1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}． 2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．
【例题3-3】教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
【变式3-3】1.（2023·江苏·高一假期作业）用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【变式3-3】2．（2023·全国·高一假期作业）用另一种方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，写出集合P;
(4)集合，，写出集合B.
【变式3-3】3.（2023·全国·高一假期作业）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【变式3-3】4.（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合__．
【变式3-3】5.（多选）（2023·江苏·高一假期作业）方程组的解集可表示为（　　）
A． B．
C．{1，2} D．
◆类型4区间表示集合
【例题3-4】（2022·高一课时练习）用区间表示下列的集合

【变式3-4】1．（2020·高一课时练习）用区间表示不等式的所有解组成的集合A.
【变式3-4】2．（2020·高一课时练习）已知区间关于原点对称，求a的值，并写出该区间.
题型4根据元素与集合的关系求参数
【方法总结】由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【例题4】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【变式4-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【变式4-1】2.（2022秋·高一课时练习）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．
【变式4-1】3. 集合A是含有两个不同实数a-3,2a-1的集合，求实数a的取值范围．
【变式4-1】4.若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是(　　)
A.0 B.2 019 C.1 D.0或2 019
题型5集合元素互异性的应用
【例题5】（2023·上海·）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
【变式5-1】1.（2022·上海·高一专题练习）非零实数，构成的数能组成的集合是________________.
【变式5-1】2.（2023·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______.
【变式5-1】3．（多选）（2021秋·高一课时练习）设为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．以上都不正确
【变式5-1】4.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
题型6集合与一元二次方程
【例题6】（2022秋·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
【变式6-1】1. （2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【变式6-1】2.（2022秋·高一课时练习）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.
【变式6-1】3.（2022秋·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考阶段练习）已知方程．
(1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式；
(2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值
【变式6-1】4.（2022秋·山东淄博·高一校考阶段练习）已知集合，
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
题型7集合新定义
【例题7】已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x B}，则集合A*B等于(　　)
A．{1,2,3}　　　　　　 B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
【变式7-1】1.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
【变式7-1】2.（多选）（2023春·河南·高一校联考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】3.（多选）（2021秋·安徽宣城·高一安徽省宣城中学校考阶段练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式7-1】4.（2023·全国·高一专题练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．N B．Z C．Q D．
【变式7-1】5.（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数，，定义运算 如下：
①当，奇偶性相同时，；
②当，奇偶性不同时，．
若集合，则的元素个数为__________．
【变式7-1】6.（2021秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
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1.1.1 集合及其表示方法——题型·技巧攻略
题型1判断给定的对象能否构成集合 3
题型2判断元素与集合的关系 5
题型3集合的表示 12
◆类型1列举法表示集合 12
◆类型2描述法表示集合 13
◆类型3列举法与描述法的理解 15
◆类型4区间表示集合 19
题型4根据元素与集合的关系求参数 20
题型5集合元素互异性的应用 22
题型6集合与一元二次方程 24
知识点一.元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
知识点二.元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三.集合元素的特点
1.确定性：集合的元素必须是确定的。
2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.无序性：集合中的元素可以任意排列。
知识点四.集合相等
集合相等：给定两个集合A和B如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等，记作A=B。
知识点五.集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合。
2.无限集：含有无限个元素的集合。
知识点六.常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点七.集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念．
①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
③特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
≥
≤
题型1判断给定的对象能否构成集合
【方法总结】判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【例题1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【答案】BCD
【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案.
【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；
B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
故选：BCD
【变式1-1】1.(多选)（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．全体较高的学生 B．所有素数
C．2021年高考数学难题 D．所有正方形
【答案】BD
【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性.
【详解】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误；
B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确；
C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误；
D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确
故选：BD
【变式1-1】2.（2023·全国·高一假期作业）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x的正整数
【答案】B
【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.
【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.
故选：B
【变式1-1】3.（2023·全国·高一假期作业）由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
【答案】①④
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.
故答案为：①④
【变式1-1】4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【答案】A
【解析】由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
题型2判断元素与集合的关系
【方法总结】判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【例题2-1】（2021秋·高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.
【答案】3
【分析】根据集合的表示规则和常用集合的含义求解.
【详解】是无理数，属于实数，①正确；
是分数，属于有理数，②正确；
0表示一个元素，表示一个集合，③错误；
N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误；
是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确；
故答案为：3.
【变式2-1】1.（2022·高一课时练习）用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
【分析】利用元素与集合之间的关系以及常见数集的符号表示即可得出答案.
【详解】表示自然数集；表示正整数集；
表示整数集；表示有理数集；表示实数集.
故答案为：；；；；；；；；；；；.
【变式2-1】2．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2 N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
【变式2-1】3.（2022秋·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）已知集合，下列选项中均为的元素的是__________.（填写序号）
① ② ③ ④
【答案】①③
【分析】根据集合中元素的定义可直接得到结果.
【详解】由题意知：集合中有两个元素，分别为和.
故答案为：①③.
【例题2-2】用符号“∈”或“ ”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【答案】(1) 　∈　(2) 　∈　(3) 　∈ (4)∈　∈　
【解析 】 (1)因为2=>,所以2 B;因为(1+)2=3+2<3+2×4=11,所以1+<,所以1+∈B.
(2)因为n是正整数,所以n2+1≠3,所以3 C;当n=2时,n2+1=5,所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),则-1是数,所以-1 D;又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.
(4) 第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x上,(-1,1)不在直线上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1) A.
【变式2-2】已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
【答案】②
【解析】依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．
【例题2-3】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【答案】　0,1,2
【解析】 由∈N，x∈N知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
【变式2-3】1．集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
【答案】 9
【解析】 由x∈A，则10－x∈A可得：x＞0,10－x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*.
若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.
因此集合A中元素个数至多有9个．
【变式2-3】2．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2－1)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
【答案】 ＝＋1＝1×＋1，而1,1∈Z，所以＋1∈A，即∈A.
【变式2-3】3.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a、b为有理数)，则下列元素中，不属于集合M的元素的有(　　)
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】　A
【解析】 ①0＝0＋0×；②＝0＋1×；③2π不是有理数；④＝3＋2；⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
【例题2-4】（多选）（2023秋·湖南怀化·高一统考期末）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
【变式2-4】1.（2022秋·江苏扬州·高一校考开学考试）以某些整数为元素的集合P具有以下性质：
（1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数；
（3）；（4）若，则．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2
【答案】A
【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解.
【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）．
由（1）可设，且，，则、，而．
假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故（k是正整数），
不妨令P中负数为奇数（k为正整数），
由（4）得，矛盾．
故若，则P中没有负奇数．
若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及，
得均在P中，即（m为非负整数），
则P中正奇数为，由（4）得，矛盾．
综上，，.
故选:A．
【变式2-4】2.（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）设是实数集，满足若，则，，且.
(1)若，则集合中至少还有几个元素 求出这几个元素.
(2)集合中能否只含有一个元素 请说明理由.
【答案】(1)至少还有两个元素-1和
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意逐个代入验证即可求得A中的元素；
（2）用反证法假设集合中只含有一个元素，然后利用方程无解即可证明.
（1）
，，，，
因此A中至少还有两个元素：和；
（2）
不能.用反证法证明：
如果集合中只含有一个元素，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素
【变式2-4】3.（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
(1)若，试证明中还有另外两个元素；
(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意得若，则；
又因为，所以；
即集合中还有另外两个元素和.
（2）由题意，若（且），则，则，若则；
所以集合中应包含，故集合不是双元素集合.
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以中应有6个元素，且其中一个元素为，
由结合条件可得，
又因为，所以剩余三个元素和为，即，
解得，
故.
题型3集合的表示
◆类型1列举法表示集合
【方法总结】用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
【例题3-1】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
【变式3-1】用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．
◆类型2描述法表示集合
【方法总结】 一.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 二．利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
【例题3-2】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【解析】　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【变式3-2】1.用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3)
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【答案】 (1){x∈N|0≤x<10,且x是偶数}.
{x|x=3n,n∈N*}.
(3).
(4){(x,y)|x±y=0}.
【变式3-2】2.用描述法表示下列集合:
{3,6,9,12,…}.
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【答案】 (1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n,n∈N*}.
(2)先统一形式,,,,,…找出规律,集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应,集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同,即乘积大于零.所以集合表示为{(x,y)|xy>0}.
【变式3-2】3.下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【解析】(1)不相同．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．
◆类型3列举法与描述法的理解
【方法总结】 1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}． 2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．
【例题3-3】教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
【答案】(1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}
(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}
【变式3-3】1.（2023·江苏·高一假期作业）用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解.
【详解】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为．
（2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为．
（3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为.
（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，
由于点有无数个，则用描述法表示为．
（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为．
【变式3-3】2．（2023·全国·高一假期作业）用另一种方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，写出集合P;
(4)集合，，写出集合B.
【答案】(1)且
(2)
(3)
(4)
【分析】对于（1），（2），利用描述法表示集合；对于（3），（4），利用列举法表示集合；
【详解】（1）因为均为奇数，所以利用描述法表示为且.
（2）因为均平方形式，所以利用描述法表示为.
（3）因为，，所以利用列举法表示出.
（4）因为集合，，所以.
【变式3-3】3.（2023·全国·高一假期作业）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.
【详解】（1）方程的解集为.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.
（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．
【变式3-3】4.（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）用列举法表示集合__．
【答案】
【分析】根据题意可得，求出的值即可求解.
【详解】由题意得，所以，所以.
故答案为: .
【变式3-3】5.（多选）（2023·江苏·高一假期作业）方程组的解集可表示为（　　）
A． B．
C．{1，2} D．
【答案】ABD
【分析】求出方程组的解，再结合选项判断即可．
【详解】方程组的解为，
方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，
∴、、均符合题意．
故选：ABD．
◆类型4区间表示集合
【例题3-4】（2022·高一课时练习）用区间表示下列的集合

【答案】；；；；
【解析】由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式.
【详解】的区间表达为; 的区间表达为; 的区间表达为; 的区间表达为 ; 的区间表达为.
【点睛】本题考查集合与区间的转换，属于基础题.
【变式3-4】1．（2020·高一课时练习）用区间表示不等式的所有解组成的集合A.
【答案】
【解析】求出不等式的解并用区间表示.
【详解】由可知，所以.
【点睛】本题考查区间，注意以“”或“”为区间的一端时这一端必须是小括号，属于基础题.
【变式3-4】2．（2020·高一课时练习）已知区间关于原点对称，求a的值，并写出该区间.
【答案】，.
【解析】区间关于原点对称则两端点值互为相反数列出方程即可求出a.
【详解】由已知得，∴，∴，即该区间为.
【点睛】本题考查区间，属于基础题.
题型4根据元素与集合的关系求参数
【方法总结】由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【例题4】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【答案】或
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】因为2∈A，所以或，即或.
故答案为：或
【变式4-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知集合中含有两个元素和．
(1)若是集合中的元素，试求实数的值；
(2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【答案】(1)1或
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）依题意可得或，分别求出的值，再代入检验即可；
（2）依题意可得或，求出的值，再判断是否符合集合元素的互异性，即可得解.
【详解】（1）因为是集合中的元素，
所以或．
若，则，
此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，
此时集合中含有两个元素，，符合要求．
综上所述，满足题意的实数的值为或．
（2）不能．理由如下：
若为集合中的元素，则或．
当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性．
综上，不能为集合中的元素．
【变式4-1】2.（2022秋·高一课时练习）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．
【答案】
【分析】先由题意得是的解，代入求得，再将代回方程解之即可.
【详解】因为，所以，解得．
解方程，即，得或．
故M含有两个元素．
【变式4-1】3. 集合A是含有两个不同实数a-3,2a-1的集合，求实数a的取值范围．
【答案】 根据题意可知A中有两个元素，由集合中元素的互异性，可得a-3≠2a-1，所以a≠-2.
即实数a的取值范围为a∈R，a≠-2.
【变式4-1】4.若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是(　　)
A.0 B.2 019 C.1 D.0或2 019
【答案】 C.若集合M中有两个元素,则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
题型5集合元素互异性的应用
【例题5】（2023·上海·）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
【答案】7
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
【变式5-1】1.（2022·上海·高一专题练习）非零实数，构成的数能组成的集合是________________.
【答案】
【分析】分别讨论，的符号，分四种情况讨论，计算的值结合元素的互异性即可求解.
【详解】当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
由元素的互异性可知数能组成的集合是，
故答案为： .
【变式5-1】2.（2023·高一课时练习）由构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【分析】分与讨论即可求解.
【详解】当时，，此时元素个数为1；
当时，，
所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2.
所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.
故答案为:2.
【变式5-1】3．（多选）（2021秋·高一课时练习）设为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．以上都不正确
【答案】ABC
【分析】根据为非零实数，分四种情况分类讨论，求得的值，结合选项，即可求解.
【详解】因为为非零实数，
当时，；
当中有一个小于时，不妨设，此时；
当中有一个大于时，不妨设，此时；
当时，，
所以集合，结合选项A、B、C正确.
故选：ABC.
【变式5-1】4.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合元素的互异性，即可判断选项.
【详解】根据集合中元素的互异性，可知，都不相等，所以一定不是等腰三角形.
故选：A
题型6集合与一元二次方程
【例题6】（2022秋·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将代入方程求解即可；
（2）分、两种情况求解即可；
（3）由条件可得，且，解出即可.
（1）∵，∴，
∴；
（2）当时，，符合题意；
当时，，∴．
综上，或；
（3）集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解，
∴，且，
解得且，
∴实数的取值范围为．
【变式6-1】1. （2023·高一课时练习）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.
(1)若A是空集，求a的范围；
(2)若A是单元素集合，求a的范围：
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）讨论，根据可得结果；
（2）讨论，根据可得结果；
（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.
【详解】（1）若A是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，得.
综上所述：.
（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，，得.
综上所述：或.
（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或.
综上所述：或.
【变式6-1】2.（2022秋·高一课时练习）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.
【答案】答案见解析
【分析】化简方程为，分、和且，三种情况讨论，结合元素的互异性和题设条件，即可求解.
【详解】根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
由，
当时，可得，不符合题意；
当时，即时，可得，符合题意；
当且时，此时，可得，解得，
此时，符合题意，
综上可得，实数的值为或.
当时，；当时，.
【变式6-1】3.（2022秋·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考阶段练习）已知方程．
(1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式；
(2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式小于0可得；
（2）由韦达定理可解.
（1）若方程的解集为，则方程无实数解，
所以，即实数a，b满足
（2）由题意可知1，3是方程的两根，
由韦达定理有，即
【变式6-1】4.（2022秋·山东淄博·高一校考阶段练习）已知集合，
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）当时，得到方程无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；
（2）由集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解.
（1）由题意，集合，则方程无实数根，
则，解得，
所以当A是空集，的取值范围为；
（2）由题意，集合A中至多只有一个元素，则或A中只有一个元素，
①当时，由（1）得；
②当A中只有一个元素时，
当时，可得，则适合题意；
当时，则，即；
综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为或．
题型7集合新定义
【例题7】已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x B}，则集合A*B等于(　　)
A．{1,2,3}　　　　　　 B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
【答案】　C
【解析】　x＝1∈A,1 B；x＝2∈A,2∈B；x＝3∈A,2 B ∴A*B＝{1,3}．
【变式7-1】1.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
【答案】 当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;
当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
【变式7-1】2.（多选）（2023春·河南·高一校联考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
【变式7-1】3.（多选）（2021秋·安徽宣城·高一安徽省宣城中学校考阶段练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】BD
【分析】根据“偏食”的定义进行求解即可
【详解】因为集合，且与构成“偏食”，
所以或，
当时，得，此时，符合题意，
当时，得，此时，符合题意，
综上，或，
故选：BD
【变式7-1】4.（2023·全国·高一专题练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．N B．Z C．Q D．
【答案】C
【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.
【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；
任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；
对于集合，，，故不是数域，D选项错误.
故选：C
【变式7-1】5.（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数，，定义运算 如下：
①当，奇偶性相同时，；
②当，奇偶性不同时，．
若集合，则的元素个数为__________．
【答案】
【分析】根据定义结合已知条件，对、分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【详解】因为，
当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素；
当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素；
当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素；
所以的元素共有个.
故答案为：
【变式7-1】6.（2021秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.
【详解】当时，
当时，
当时，
当时，
则满足关系式的的个数为2个，
故选：C．
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