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第04讲 二次函数y=a（x-h）2的图像和性质
知识点 1 的图像性质：
1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象.
先列表：
… 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
… 8 2 0 …
描点、连线，画出这两个函数的图象：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
开口向上 y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
开口向上 x=2 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
根据所画图象，填写下表：
【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．
先列表：
… 0 1 2 3 …
… 0 1 2 3 …
… 0 …
描点、连线，画出这两个函数的图象：
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
开口向下 y轴 当x＜0时，y随x的增大而减大；当x＞0时，y随x的增大而增小．
开口向下 当x＜－1时，y随x的增大而减大；当x＞－1时，y随x的增大而增小．
开口向下 x=1 当x＜1时，y随x的增大而减大；当x＞1时，y随x的增大而增小．
总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大． 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小．
知识点2：y=ax （a≠0）与y=a(x-h） +c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时，向右平移h个单位长度得到.当h < 0时，向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【题型1 二次函数的顶点与对称轴问题】
【典例1】
（2022秋 承德县期末）
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】
（2023 丰顺县校级开学）
2．二次函数的顶点坐标为 ．
【变式1-2】
3．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 ．
【题型2 二次函数图像变换问题】
【典例2】
（2023 东莞市一模）
4．将抛物线向右平移2个单位，可得到抛物线 ．
【变式2-1】
（2022秋 盘龙区期末）
5．二次函数的图象平移或翻折后经过点，则下列种方法中错误的是（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C．向下平移个单位长度 D．沿轴翻折，再向上平移个单位长度
【变式2-2】
（2022秋 津南区期末）
6．抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（　　）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【变式2-3】
（2022秋 大连期末）
7．把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
【题型3 二次函数的性质】
【典例3】
（2023 常州模拟）
8．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
【变式3-1】
（2022 兴化市模拟）
9．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．经过原点
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标是
【变式3-2】
（2022·绵阳市·九年级专题练习）
10．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大
11．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当时，y值随x值的增大而增大 D．当时，y值随x值的增大而减小
【题型4 二次函数的值大小比较】
（2022秋 大兴区校级期末）
【典例4】
12．已知函数的图象上有 ，， 三点，则 、 、的大小关系（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 丹徒区期末）
【变式4-1】
13．点、在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·九年级专题练习）
【变式4-2】
14．在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 二次函数图像与一次函数综合】
（2022秋 武清区校级月考）
【典例5】
15．如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 武清区校级月考）
【变式5】
16．如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
18．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
20．若抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
（2023 三明模拟）
21．将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线表达式是 ．
22．已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
23．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是 ．
（2022秋 天河区期末）
24．抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
（2022秋 密云区期末）
25．将抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
（2023 增城区一模）
26．已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
27．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小
28．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点坐标相同
D．当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大
29．若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
30．二次函数的顶点坐标为 ．
31．将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2（x＋1）2的图象，平移的方法是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
32．抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ．
33．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；
乙：对称轴是直线x＝4；
丙：与y轴的交点到原点的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为 ．
34．二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
35．已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为 ．
（2023 龙川县校级开学）
36．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
参考答案：
1．B
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
2．(1，0)
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为（1，0），
故答案为（1，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3． 向下 直线 增大 减小
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，即可写出各性质进行求解．
【详解】∵抛物线中a=-1＜0，
∴开口向下，对称轴是为直线，顶点坐标是，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
故答案为：向下；直线；；增大；减小．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．
【分析】根据二次函数图象平移的规律即可得出答案．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，可得到抛物线，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解答此题的关键．
5．B
【分析】分别求出平移和翻折后的解析式，将点代入即可求解．
【详解】解：项向右平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，，∴平移后的点经过点，故项不符合题意；
项向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，，∴平移后不经过点，故项符合题意；
项向下平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，, ∴平移后经过点，故项不符合题意；
项沿轴翻折，再向上平移个单位长度，则平移后的解析式为：，当时，, ∴平移后经过点，故项不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等相关知识点，求出平移和翻折后的解析式是解题的关键．
6．D
【分析】直接根据抛物线平移法则判断即可．
【详解】抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度平移得到的.
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：，即．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
8．D
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】在二次函数中，
∵，
∴图像开口向下，故A错误；
令，则，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数的对称轴为直线，故C错误；
二次函数的顶点坐标为，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
9．D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，0），
∴x＞-1时，y随x增大而增大，
把x=0代入y＝，
得y=，
∴抛物线经过（0，），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
10．A
【分析】根据的图像与性质即可求解．
【详解】的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小；
的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大．
故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质．
11．D
【分析】观察二次函数的图像，从而可得答案．
【详解】解；如图，由图像可得：当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误；
当x<1时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误；
当时，y值随x值的增大而减少，故C错误；
当时，y值随x值的增大而减小，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的图像探究二次函数的图像是解题的关键．
12．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，
点到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
13．C
【分析】将A和B分别代入二次函数中求出和的值，然后比较大小．
【详解】解：∵点是二次函数图象上的点，
∴；
∵点是二次函数图象上的点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能计算出结果再比较是解题的关键．
14．A
【分析】将点m，n）和（m+3，n）代入得到，解一元二次方程得出m的值，从而得出n的值．
【详解】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：
整理得：
解得：
把点代入可得：
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上代入求出m的值是解此题的关键．
15．D
【分析】由一次函数的增减性和一次函数与y轴的交点可判断A和B；由一次函数图象和二次函数的图象相比较可判断C和D．
【详解】解：A、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误；
B、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线的对称轴可知，，即，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，即，由直线可知，，，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解答本题的关键．
16．D
【分析】由一次函数的增减性和一次函数与y轴的交点可判断A和B；由一次函数图象和二次函数的图象相比较可判断C和D．
【详解】解：A、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误；
B、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线的对称轴可知，，即，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，即，由直线可知，，，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解答本题的关键．
17．D
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【详解】A.y=x2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A错误；
B.y=2(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项B错误；
C.y=-(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项C错误；
D.的对称轴为直线x=1，所以选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式求出对称轴．
18．B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3-m或m≤-1，解得即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴它的图象开口向上，对称轴为直线．
∵图象经过点，且，
∴或，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．A
【分析】将点m，n）和（m+3，n）代入得到，解一元二次方程得出m的值，从而得出n的值．
【详解】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：
整理得：
解得：
把点代入可得：
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上代入求出m的值是解此题的关键．
20．A
【分析】根据抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，即可得到，从而得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=-1，且它与函数的形状相同，开口方向相同，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．
【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．理解和掌握函数图像平移的规律是解题的关键．
22．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝m≥1．
故答案为：m≥1．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
23．
【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)，
当对称轴在点P左侧时，，
把P（3，1）代入得，
解得或(舍去)，
当对称轴在点P右侧时，，
把Q（9，1），代入得，
解得或(舍去)，
∴当时，抛物线与线段PQ有交点，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键．
24．C
【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案
【详解】解： y＝2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为
该函数不经过第三、四象限
如图，
故选C
【点睛】本题考查了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．
25．B
【分析】向右平移只需用x减去平移的数量即可，注意要加括号．
【详解】解：抛物线向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的平移，能够熟练运用左加右减的口诀是解题关键，要注意左右平移要加括号．
26．A
【分析】将，代入，求出和的值作比较即可．
【详解】解：将，代入，
得：，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
27．D
【分析】根据顶点式即可判断对称轴为，即可判断开口向上，由解析式可得最小值为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：由二次函数，
A.对称轴为，故A不正确，
B.开口向上，故B不正确，
C.二次函数当时，有最小值为，没有最大值，故C不正确,
D.在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小，故D正确,
故选D
【点睛】本题考查了的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
28．A
【分析】根据的图像与性质即可求解．
【详解】的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小；
的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大．
故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质．
29．B
【分析】根据题意得：当 时， ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
31．C
【分析】根据抛物线的顶点式为：y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k）解题即可．
【详解】抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．
则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与几何变换的相关知识点．
32．
【详解】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝ （x＋2）2顶点坐标为（ 2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），
∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝ （x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝ （x 2）2．
故答案为：y＝ （x 2）2．
【点睛】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标轴对称的坐标求法，关于x轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐标不变．
33．y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点且对称轴是直线x＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，0），
∵抛物线与y轴的交点到原点的距离为3．
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，
把（0，3）代入得3＝a（0﹣4）2，解得a＝，此时抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2；
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a（0﹣4）2，解得a＝﹣，此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2；
综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
故答案为y＝（x﹣4）2或y＝﹣（x﹣4）2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
34．减小
【分析】根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得．
【详解】解：∵，对称轴为直线，
∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
35．．
【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
36．1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．

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