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第06讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax +bx+c（a≠0）与y=a（x-h) +k之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
2．从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
3．一般式化成顶点式
对照，可知，．
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
知识点2 二次函数y=ax +bx+c（a≠0）图象的画法
1．一般方法：列表、描点、连线；
2．简易画法：五点定形法．
其步骤为：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
（2）求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点3 二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图像和性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
知识点4 二次函数图象和性质
a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】
【典例1】（2022秋 郊区期末）
1．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．向上， B．向下， C．向下， D．向上，
【变式1-1】（2022秋 镇海区期末）
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式1-2】（2022秋 厦门期末）
3．点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】
【典例2】（2023 纳溪区模拟）
4．把函数的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023 纳溪区模拟）
5．把函数的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022 泸州）
6．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023 神木市一模）
7．把抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【典例3】（2023 成都模拟）
8．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【变式3-1】（2022秋 绵阳期末）
9．抛物线中，y与x的部分对应值如下表：
x … 1 3 4 6 …
y … 8 18 20 18 …
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
【变式3-2】（2022秋 金水区期末）
10．关于二次函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图像与轴的交点坐标为
B．图像的对称轴在轴的左侧
C．图像的顶点坐标为
D．当时，的值随值的增大而减小
【变式3-3】（2023 秦都区校级模拟）
11．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
以下结论错误的是（　　）
A．抛物线的顶点坐标为
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】
【典例4】（2023 汉中二模）
12．二次函数的图象经过四个点，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023 宜州区二模）
13．均在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023 邯郸模拟）
14．已知点，在二次函数的图象上，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023 洞头区二模）
15．已知是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023 南岗区模拟）
16．已知，是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】
【典例5】（2022秋 江门校级期末）
17．已知二次函数在时有最小值－2，则m＝（ ）
A．或 B．4或 C．或 D．4或
【变式5-1】（2023 山丹县模拟）
18．二次函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
【变式5-2】（2022秋 江阳区期末）
19．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ）
A．或3 B．－1或1 C．0或2 D．2或4
【变式5-3】（2022秋 盐山县校级期末）
20．当 的值最小时，的取值是（　　）
A．0 B． C．3 D．
【变式5-4】（2022秋 和平区校级期末）
21．已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2
【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】
【典例6】（2023 兴庆区校级二模）
22．若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023 绥化模拟）
23．函数和(a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023 新都区模拟）
24．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023 拱墅区模拟）
25．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】
【典例7】（2023 梅州一模）
26．如图是二次函数的图象，有如下结论：①；②；③：④．其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（2023 广东模拟）
27．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④对任意实数，都有．其中正确的有（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式7-3】（2023 雁塔区校级三模）
28．如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：；；；，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023 滕州市校级模拟）
29．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2021 兰州）
30．二次函数y＝x2＋4x＋1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
（2021 河池）
31．二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时，
C． D．
（2022 六盘水）
32．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
（2022 盐城）
33．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
（2022 长春）
34．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
（2022 北京）
35．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
（2022 绍兴）
36．已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
（2023 高阳县校级模拟）
37．抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 云州区期末）
38．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2023 拱墅区模拟）
39．将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 宛城区校级模拟）
40．将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（　　）
A．， B．， C．， D．，
（2023 碑林区校级模拟）
41．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
（2022秋 大连期末）
42．画二次函数的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 …
关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；其中正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023 鄞州区校级一模）
43．二次函数中当时y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 盐湖区期末）
44．二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 金水区期末）
45．关于二次函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图像与轴的交点坐标为
B．图像的对称轴在轴的左侧
C．图像的顶点坐标为
D．当时，的值随值的增大而减小
（2022秋 盐山县校级期末）
46．当 的值最小时，的取值是（　　）
A．0 B． C．3 D．
（2022秋 梅里斯区期末）
47．抛物线（）的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022秋 番禺区校级期中）
48．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　）
A．3或 B． C．或1 D．3
（2022 兰州）
49．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022 贺州）
50．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022秋 济南期末）
已知二次函数有最小值为0，求m的值．
参考答案：
1．C
【分析】对于抛物线，当时，开口向上；当时，开口向下，顶点坐标为，据此即可完成解答．
【详解】解：由二次函数图象的性质可知，抛物线，
则抛物线的开口向下，顶点坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的开口方向、顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
2．B
【分析】根据对称轴公式即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式是解题的关键．
3．B
【分析】两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵，两点纵坐标相等，
∴对称轴，故C、D错误；
∴该抛物线的顶点可能是，不可能是，A错误，B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，抛物线的对称性：当抛物线上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数．
4．A
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】解：∵y=x2 2x+3=(x 1)2+2，
∴把函数y=x2 2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x 1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
5．A
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】解：∵y=x2 2x+3=(x 1)2+2，
∴把函数y=x2 2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x 1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
6．D
【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．
【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
7．D
【分析】将抛物线化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线化成顶点式为，
将抛物线向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为，
即，
抛物线的解析式为，
，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
8．C
【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小；
故①正确，②错误，③正确；
令，即，
解得：，，
抛物线开口向上，与轴交于，，
当或时，，
故④正确，
综上所述，正确的有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．D
【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】由图可知，和时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．
10．D
【分析】根据题目中的函数解析式，结合二次函数的图像与性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴当时，，
即图像与轴的交点坐标为，故选项A正确；
该函数的对称轴是直线，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为，
故选项C正确；
该函数解析式中，故函数图像开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，明确题意，正确运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
11．D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点与 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程的根，根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
由点，可得，对称轴为，
∴抛物线的顶点坐标为，故A正确；
由点与可得，开口向上，当时，y随x增大而增大，故B正确；
由对称性可得，、对称，故C正确；
∵，开口向上，故当时，或，故D错．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与x轴的交点．
12．C
【分析】根据二次函数的解析式求得函数的对称轴，结合开口方向和二次函数的对称性可得的正负，随后逐一判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
∴点与点关于对称轴对称，点与点关于对称轴对称，
，在点左侧，
，
在点的左侧，
，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像和性质求得的正负是解题的关键．
13．C
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，y随x的增大而减小，
∵的对称点为，且，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
14．B
【分析】分两种情况，①若在直线的右边，在直线的左边，列不等式求出解集，②若在直线的左边，在直线的左边，列不等式求出解集．
【详解】解：，
， 二次函数图象开口向下，对称轴是直线：
①若在直线的右边，在直线的左边，
由题意可得，
，
②若在直线的左边，在直线的左边，
∵
∴，
综上所述：．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
15．D
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：由题意可得：抛物线对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y取得最大值，即最大；
∵比离对称轴更远，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
16．B
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：抛物线，
图象开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
∵，是抛物线上的点，且，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
17．B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线，再分和两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
∴；
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
∴；
综上所述，或，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
18．B
【分析】把二次函数化为顶点式，即可求出最小值．
【详解】解：∵，
∴，
当时，二次函数有最小值；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是正确的把二次函数的一般式化为顶点式．
19．A
【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：∵函数在上的最小值为4，
∴令，
解得：或，
∵，
∴函数图象开口向上，
∴或，
∴或，
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20．C
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答，即可得出答案．
【详解】，
，
，
∴当时，的值最小
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式的形式是解题的关键．
21．C
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围m≤x≤m+1分三种情况分析：
（1）顶点坐标在范围m≤x≤m+1右侧时；
（2）顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时；
（3）顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时；
分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【详解】解：y=x2-2x+2=（x-1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，有m＜1，此时y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数取得最小值，y最小值=m=（m+1）2-2（m+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1，
解这个不等式，即 0≤m≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1，
∴m=1．
（3）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x=m时，函数取得最小值，y最小值=m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃）
∴m=1或2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
22．A
【分析】根据二次函数的图象可以判断、、的符号，从而可以确定一次函数的图象经过的象限，即可求解．
【详解】解：由二次函数的图象可得，开口向上，对称轴在轴的右侧，
∴，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．C
【分析】先分别根据函数图像确定抛物线、直线的系数，然后看是否一致即可解答．
【详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；
B．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；
C．由抛物线可知，由直线可知，故一致，符合题意；
D．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图像，掌握一次函数和二次函数图像的有关性质是解答本题的关键．
24．B
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
25．B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
26．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵二次函数的图象对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∴，①错误；
当时，，②正确；
∵，
∴，即，③错误；
设抛物线与x轴的交点横坐标分别为，，
由图象可得，，，
∴当时，即，
∴，
∴，即，④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐条分析4个结论的正误，解决该题型题目时，根据二次函数的图象找出二次函数系数的正负是关键．
27．D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由时及，可判断②；由时及a与b的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴，故①错误；
∵时，，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
由图象可得时，，
∴，故③正确；
由时函数取最小值可得，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
28．B
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论；由对称轴及对称轴公式可判断结论；抛物线的对称轴直线，由时，，即可判断结论；由时，，即可判断结论．
【详解】解：开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故结论错误；
对称轴为直线，
．
．
故结论正确；
，
，
当时，，
，故结论不正确；
当时，，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
29．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
∴①说法错误，
∵，
∴，
∴，
∴②说法错误，
由图象可知点的对称点为，
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴④说法正确；
当时，，
∴，
∴，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
30．C
【分析】根据抛物线的对称轴公式计算选择即可．
【详解】∵二次函数 ，其中，
∴抛物线对称轴为直线．
故选C．
【点睛】本题考查求抛物线的对称轴．掌握求抛物线的对称轴公式是解答本题的关键．
31．D
【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．
【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1∴当-1C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；
D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．
32．
【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，
则，，
解得，
将代入得：，解得，
则二次函数的解析式为，
当时，，
即该函数的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．
33．
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
34．##
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
35．(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
36．(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶
，解得：；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为，
∴+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴=-4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝-2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
37．A
【分析】将函数化成顶点式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴抛物线的顶点为：．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线一般式化顶点式及求顶点，解题的关键是熟练掌握化顶点式的方法．
38．B
【分析】先根据二次函数的性质得到离对称轴越远函数值越大，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知开口向上的二次函数，离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
39．D
【分析】根据二次函数的图象平移的规律，即可求解．
【详解】解：将二次函数的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：；
再将二次函数的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握二次函数的图象平移的规律“左加右减”，“上加下减”是解题的关键．
40．D
【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
41．C
【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，
∴图象开口向上，
∵，
∴或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
42．C
【分析】先由表中数据可知，随的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用时，或，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线和时得到时的函数值．
【详解】解：由表中数据可知，随的增大先增大后减小，
函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
时，或，
函数的对称轴为直线，
开口向下，
当时，随的增大而减小，故②正确，符合题意；
对称轴为直线，当时，
时，，故③正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的表示、二次函数的性质，解题的关键是学会读表．
43．B
【分析】根据二次函数的性质，结合当时y随x的增大而增大，列出关于b的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵当时y随x的增大而增大，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质，列出关于b的不等式．
44．C
【分析】根据二次函数的图像可以判断a、b、c的符号，从而可以确定一次函数 的图像经过的象限，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图像可得，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
45．D
【分析】根据题目中的函数解析式，结合二次函数的图像与性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴当时，，
即图像与轴的交点坐标为，故选项A正确；
该函数的对称轴是直线，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为，
故选项C正确；
该函数解析式中，故函数图像开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，明确题意，正确运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
46．C
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答，即可得出答案．
【详解】，
，
，
∴当时，的值最小
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式的形式是解题的关键．
47．D
【分析】根据二次函数（）的图象和系数、、的关系解答即可．
【详解】∵抛物线（）的图象开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，
抛物线（）的图象与轴交于，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线（）的图象与轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵根据抛物线（）的图象可知，
时，，
∴，故④正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数（）的图象和系数、、的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
48．A
【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
【详解】解：
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
49．B
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
50．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
51．1
【分析】先根据二次函数有最小值，得出二次项系数，再根据最小值是0，列式计算即可得解．
【详解】解：∵有最小值0，
∴且，
解得或（舍去）．
经检验：是该方程的解．
即m的值为1．
【点睛】考查了二次函数的最值问题，熟记最大值（最小值）的公式是解题的关键，同时考查二次函数的性质．

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