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3.2.1函数的单调性（第1课时）
【学习目标】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性
理解单调性的作用和实际意义
【重点难点】函数单调性的求解
【学习流程】
◎基础感知
回顾 函数的概念，图像
◎探究未知
知识点一　增函数、减函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域是D：
(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．
记忆点：1．对区间D的要求
函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．
2．x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈D；
(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x13．自变量的大小与函数值的大小关系
(1)单调递增：x1(2)单调递减：x1f(x2)．　　
例1、下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2；②f(x)＝； ③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
知识点二　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间．
记忆点：1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．　　　　
2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
例2、如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．
例3、若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．
利用定义判断或证明函数的单调性
方法技巧：利用定义证明函数单调性的步骤
1、取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x12、作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式
3、定号：确定差或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论
4、结论：根据定义得出结论
例4、判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
跟踪训练：1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1　　B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋
2．利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
三、求函数的单调区间
方法技巧：求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．　
例5、已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)画出函数的图象； (2)根据图象写出它的单调区间．
跟踪训练：3. 求函数f(x)＝的单调减区间．
四、函数单调性的应用
方法技巧：1．利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　　　　
例6、(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
变式训练：1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围
跟踪训练：4．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
5．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)五、复合函数y＝f(g(x))的单调性
方法技巧：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论]　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))的单调性，简记为“同增异减”.
例7、已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性
跟踪训练：6. 求函数f(x)＝的单调区间．
◎达标检测
1．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
4．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)≠f(x2)
【总结反思】
熟记函数单调性的判断

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