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3.2.1函数的单调性（第2课时）
【学习目标】1.掌握函数的最大最小值相关概念
2.学会求解函数的最值
【重点难点】1.利用函数单调性求最值 2.函数最值求参数问题
【学习流程】
◎基础感知
◎探究未知
一、知识点：函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 若存在实数M，对所有的x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈A，使得f(x0)＝M
结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称M为函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
记忆点：(1)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；
(2)最大(小)值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1，0　　B．0，2 C．－1，2 D.，2
跟踪训练：1．设函数f(x)＝3x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
2．函数f(x)＝，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
图象法求函数的最值
方法技巧：用图象法求最值的3个步骤
1、作出图象；2、在图象中找出最高点和最低点的纵坐标；3、确定函数的最大（小）值.
　例2. 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值.
跟踪训练：1.已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值．
单调性法求最值
方法技巧：1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．　　
例3. 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．
跟踪训练：1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有>0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．
2．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
利用函数的最值解决恒成立问题
方法技巧：分离参数法解决恒成立的问题
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
跟踪训练：1.设函数f(x)＝x－，x∈[1，＋∞)，则使f(mx)＋mf(x)<0恒成立的实数m的取值范围是________．
◎达标检测
1．二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝(　　)
A．－1　　B．1 C．－2 D．－
2．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝(　　)
A. B. C. D.
3．若函数f(x)＝在区间[1，a]上的最小值为，则a＝________．
4．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．
【总结反思】
参变分离求恒成立问题

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