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山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-02填空题
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 青州市二模）国家统计局网站显示，今年3月份，全国社会消费品零售总额为37855亿元，同比增长10.6%，37855亿用科学记数法表示为3.7855×10n，则n＝　 　．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
2．（2023 潍城区二模）分解因式：﹣2x2+4xy﹣2y2＝　 　．
3．（2023 潍坊一模）因式分解：x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝　 　．
三．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
4．（2023 潍坊一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，0），，连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC，则线段BC所在直线的函数表达式为 　 　．
四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，4），双曲线 经过OA的中点B，AD⊥y轴于点D，且交双曲线于点C，连接BC，则四边形OBCD的面积为 　 　．
五．勾股定理（共1小题）
6．（2023 潍城区二模）如图，在数轴上以宽为1个单位长度，长为2个单位长度画一个矩形，以原点O为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点A．在点A的左侧截取AB＝2，则点B表示的数为 　 　．
六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
7．（2023 青州市二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点O在AB上，⊙O的半径为3，AC＝2，若点D是圆上的动点，则点D到BC距离的最大值为 　 　．
七．圆锥的计算（共1小题）
8．（2023 临朐县一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 　 　．
八．作图—基本作图（共1小题）
9．（2023 潍城区二模）如图，点N为△ABC的内心，连接BN，CN．分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点O1，O2，作直线O1O2，交BC的垂直平分线于点M，连接BM，CM，若∠BMC＝152°，则∠N＝　 　°．

九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
10．（2023 青州市二模）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 　 　．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023 青州市二模）某学生的眼睛离地面的距离为m米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角为30°，继续向正前方走n米再看篮球框，测得仰角为60°，篮球框距地面的高度为 　 　米．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 潍坊一模）某饭店为吸引顾客，推出了“掷骰子得折扣”的活动，顾客同时投掷两颗骰子，然后按照所得点数情况决定最后的折扣，规则如图所示，一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折扣的概率为 　 　．
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-02填空题
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 青州市二模）国家统计局网站显示，今年3月份，全国社会消费品零售总额为37855亿元，同比增长10.6%，37855亿用科学记数法表示为3.7855×10n，则n＝　12　．
【答案】12．
【解答】解：37855亿＝3785500000000＝3.7855×1012，
∴n＝12．
故答案为：12．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
2．（2023 潍城区二模）分解因式：﹣2x2+4xy﹣2y2＝　﹣2（x﹣y）2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：﹣2x2+4xy﹣2y2
＝﹣2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣2（x﹣y）2．
故答案为：﹣2（x﹣y）2．
3．（2023 潍坊一模）因式分解：x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝　（a﹣b）（x+2）（x﹣2）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝（a﹣b）（x2﹣4）＝（a﹣b）（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（a﹣b）（x+2）（x﹣2）．
三．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
4．（2023 潍坊一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，0），，连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC，则线段BC所在直线的函数表达式为 　y＝　．
【答案】y＝．
【解答】解：过点B作BH⊥x轴于点H，如图所示：
∵点A、B的坐标分别为（﹣，0），，
∴BH＝1，AH＝＝，
在Rt△ABH中，根据勾股定理，得AB＝＝2，
∵sin∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
在等边△ABC中，AC＝AB＝2，∠CAB＝60°，
∴∠CAH＝90°，
∴点C坐标为（，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
代入点B和点C坐标，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝，
故答案为：y＝．
四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，4），双曲线 经过OA的中点B，AD⊥y轴于点D，且交双曲线于点C，连接BC，则四边形OBCD的面积为 　7.5　．
【答案】7.5．
【解答】解：∵OA的中点为B，点A的坐标为（﹣6，4），
∴B（﹣3，2），
∴双曲线为：y＝﹣，
∵AD⊥y轴于点D，且交双曲线于点C，
∴C（﹣，4），
∴四边形OBCD的面积为：×4×6﹣×（6﹣1.5）×（4﹣2）＝7.5，
故答案为：7.5．
五．勾股定理（共1小题）
6．（2023 潍城区二模）如图，在数轴上以宽为1个单位长度，长为2个单位长度画一个矩形，以原点O为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点A．在点A的左侧截取AB＝2，则点B表示的数为 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【解答】解；由勾股定理得：OM＝＝，
∴OA＝OM＝，
∵AB＝2，
∴OB＝OA﹣AB＝﹣2，
∴点B表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2．
六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
7．（2023 青州市二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点O在AB上，⊙O的半径为3，AC＝2，若点D是圆上的动点，则点D到BC距离的最大值为 　4　．
【答案】4．
【解答】解：过点O作OM⊥BC，垂足为M，延长MO交⊙O于点D，此时点D到BC距离最大，且点D到BC的距离最大值＝DM，
∴CM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM＝AC＝1，
∵OD＝3，
∴DM＝OD+OM＝4，
∴点D到BC距离的最大值为4，
故答案为：4．
七．圆锥的计算（共1小题）
8．（2023 临朐县一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵OA＝＝5，OB＝＝5，AB＝＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
∴该圆锥的高＝＝．
故答案为：．
八．作图—基本作图（共1小题）
9．（2023 潍城区二模）如图，点N为△ABC的内心，连接BN，CN．分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点O1，O2，作直线O1O2，交BC的垂直平分线于点M，连接BM，CM，若∠BMC＝152°，则∠N＝　128　°．

【答案】128．
【解答】解：过点M作AB的垂线，
∵点M是△ABC的边BC、AC垂直平分线的交点，
∴过点M作AB的垂线是线段AB的垂直平分线，
∴MA＝MB＝MC，
∴∠BAM＝∠ABM，∠CAM＝∠ACM，
∵∠BMC＝152°，
∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣152°＝28°，
∴∠BAM+∠ABM+∠CAM+∠ACM＝2∠BAC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝152°，
∴∠BAC＝76°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝104°，
∵点N为△ABC的内心，
∴BN平分∠ABC，CN平分∠ACB，
∴∠NBC+∠NCB＝（∠ABC+∠ACB）＝，
∴∠N＝180°﹣（∠NBC+∠NCB）＝128°．
故答案为：128．
九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
10．（2023 青州市二模）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 　（4045，）　．
【答案】（4045，）．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2022A2023B2023的顶点A2023的横坐标是：4×1011+1＝4045，纵坐标是：，
故答案为：（4045，）．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023 青州市二模）某学生的眼睛离地面的距离为m米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角为30°，继续向正前方走n米再看篮球框，测得仰角为60°，篮球框距地面的高度为 　（n+m）　米．
【答案】（n+m）．
【解答】解：如图：过点E作ED⊥BC，垂足为D，延长AG交ED于点F，
由题意得：AB＝CG＝FD＝m米，AG＝BC＝n米，∠EAG＝30°，∠EGF＝60°，AF⊥ED，
∵∠EGF是△AEG的一个外角，
∴∠AEG＝∠EGF﹣∠EAG＝30°，
∴∠EAG＝∠AEG＝30°，
∴GE＝GA＝n米，
在Rt△EGF中，EF＝EG sin60°＝n（米），
∴ED＝EF+FD＝（n+m）米，
∴篮球框距地面的高度为（n+m）米，
故答案为：（n+m）．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 潍坊一模）某饭店为吸引顾客，推出了“掷骰子得折扣”的活动，顾客同时投掷两颗骰子，然后按照所得点数情况决定最后的折扣，规则如图所示，一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折扣的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：由题意可知，两颗骰子点数相同时得到七五折扣，
列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
共有36种等可能的结果，其中两颗骰子点数相同的结果有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种，
∴一位顾客投掷两颗骰子后，得到七五折扣的概率为＝．
故答案为：．
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山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 潍城区二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x是4的平方根．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023 潍坊一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023 潍坊一模）（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2023 青州市二模）如图1，两个正方形拼接成一个“L”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分．小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法．
（1）请在下面图形（图5）中再画出另外两种分割方法；
（2）若小正方形的边长为2，大正方形的边长为4．小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线AB的表达式为y＝﹣x+．小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点．请你证明此发现；
（3）小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示．请根据此图，简述其作图思路；
（4）通过上述探究过程，谈谈你的收获．（两条即可）
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2023 潍城区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出y1≥y2时自变量x的取值范围．
6．（2023 临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023 潍城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于点A（4，0）和点B（﹣2，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标．
七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023 潍坊一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
八．多边形（共1小题）
9．（2023 潍坊一模）【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．
请参照下面的探究过程，完成相应的问题！
【观察发现】：
（1）图2，当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．
C D E F
边上的点数x 4 8 8 9
多边形面积S 2 4 4
请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：　 　．
（2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图3中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．
图1 图2
边上的点数x 　 　 　 　
多边形面积S 　 　 　 　
归纳S与x之间的关系式为：　 　．
【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图4中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
九．四边形综合题（共2小题）
10．（2023 潍城区二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，进行如下操作．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在DC上选一点P，沿AP折叠，使点D落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，AM，并延长PM交BC于点Q，连接AQ．
（1）操作判断
根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，请回答下列问题：
①写出图中一个30°的角；
②∠MAQ＝　 　°，∠BAQ＝　 　°．
（2）迁移探究
改变点P在DC上的位置（点P不与点C，D重合），如图2，判断∠MAQ与∠BAQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为4cm，随着点P在DC上的位置变化，当FQ＝0.5cm时，求出DP的长．
11．（2023 青州市二模）某工厂加工车间要从一块四边形钢板ABCD中切割一个正方形，已知AD＝9米，CD＝2米，AB＝14米，∠A＝∠D＝90°．如图，现有方案1和方案2两种切割方案，图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上．
（1）求BC的长；
（2）求的值；
（3）若在△BEF余料上再切割一个最大正方形．请直接写出此正方形的边长．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
12．（2023 潍城区二模）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长．
13．（2023 潍坊一模）如图，在水平地面上放置了一个⊙O和矩形ABCD，⊙O与地面相切于点E，EA＝6，，矩形的宽AB＝3，长AD＝6．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D′．
（1）旋转过程中，当点B′，C′，D三点共线时，如图①．求证：直线AD′与⊙O相切；
（2）旋转过程中，当边AD′落在OA上时，如图②．求矩形ABCD扫过的面积．
一十一．圆的综合题（共1小题）
14．（2023 临朐县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF BF．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2023 潍坊一模）图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度i＝1：2.4的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为19°．
（1）求平台DE到水平面BC的垂直距离；
（2）求桥墩AB的高度．
（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2023 潍城区二模）如图，灯塔C在港口A的东北方向，一艘巡逻艇接到指令，从A出发以速度v前往正东方向的灯塔B执行紧急任务．完成任务后，巡逻艇再以速度v′由B出发，沿B→C→A的路线返回港口A．已知灯塔C在灯塔B的北偏西方向，巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，求v′（结果用含v的代数式表示）．
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 潍城区二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中x是4的平方根．
【答案】（1）﹣2；
（2），1．
【解答】解：（1）
＝×﹣4﹣（﹣1）
＝1﹣4+1
＝﹣2；
（2）
＝（﹣）÷﹣1
＝×﹣1
＝×﹣1
＝﹣
＝．
∵x是4的平方根，
∴x＝±2．
由于x＝2时，原分式没有意义，
所以x＝﹣2．
当x＝﹣2时，
原式＝＝1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2023 潍坊一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
【答案】（1）第一次购进了这种服装200件，每件进价240元．
（2）销售价定为280元/件．
【解答】解：（1）设第一次购进了这种服装x件，
由题意可得：．
解之得x＝200，经检验x＝200是方程的解，并符合题意．
则48000÷200＝240．
答：第一次购进了这种服装200件，每件进价240元；
（2）设销售价为t元/件，则每天销售量为：（件）．
则由题意可得：（t﹣250）×（680﹣2t）＝3600，
整理，得t2﹣590t+86800＝0，
解得t1＝280，t2＝310．
∵让利促销，
∴t2＝310（舍去），取t1＝280．
答：销售价定为280元/件．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023 潍坊一模）（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
【答案】（1）1﹣；
（2）不等式组的解集为﹣1≤x＜4．整数解为：﹣1，0，1，2，3．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣（）
＝1﹣1﹣
＝1﹣；
（2）解不等式①，得x＜4．
解不等式②，x≥﹣1．
在数轴上表示出不等式①和②的解集：
所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜4．
整数解为：﹣1，0，1，2，3．
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2023 青州市二模）如图1，两个正方形拼接成一个“L”型的图形，现用一条直线将图形分为面积相等的两部分．小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法．
（1）请在下面图形（图5）中再画出另外两种分割方法；
（2）若小正方形的边长为2，大正方形的边长为4．小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线AB的表达式为y＝﹣x+．小颖发现：上述三种不同的分割直线都经过同一个点．请你证明此发现；
（3）小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示．请根据此图，简述其作图思路；
（4）通过上述探究过程，谈谈你的收获．（两条即可）
【答案】（1）见解答；
（2）三种不同的分割直线都经过同一个点为：（﹣，）；
（3）见解答；
（4）（答案不唯一）：①根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点．
【解答】解：（1）将图形补成矩形，再连接矩形中心，即可平分面积，如图：
（2）将图1按照题设图3的方式建立坐标系如图3，
则点G、H的坐标分别为：（﹣2，3）、（﹣1，1），
设直线GH的表达式为：y＝k（x+2）+3，
将（﹣1，1）代入上式得：1＝k（﹣1+2）+3，
解得：k＝﹣2，
则直线GH的表达式为：y＝﹣2x﹣1，
联立y＝﹣x+和y＝﹣2x﹣1并解得：x＝﹣，
即交点为：（﹣，）；
经验证，图2的直线也过该点，
即三种不同的分割直线都经过同一个点；
（3）设点H（1，0），将点H右侧矩形补到AB上侧，构成矩形OHGD，
连接FG、EH交于点P，过点P作于GE和FH都相交的直线，即为所求直线；
（4）基本收获（答案不唯一）：①根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2023 潍城区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出y1≥y2时自变量x的取值范围．
【答案】（1）一次函数为y1＝﹣2x+2，反比例函数为y2＝﹣；
（2）x≤﹣1或0＜x≤2．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象点B，BC⊥y轴，垂足为C，且S△OBC＝2，
∴S△OBC＝，
∵k2＜0，
∴k2＝﹣4，
∵反比例函数的图象过A（﹣1，m），B（n，﹣n）两点，
∴﹣1×m＝n×（﹣n）＝﹣4，
∴m＝4，n＝2，
∴A（﹣1，4），B（2，﹣2），
把A、B点的坐标代入y1＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣2x+2，反比例函数为y2＝﹣；
（2）观察图象，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣1或0＜x≤2．
6．（2023 临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）6；
（3）P（，0）可使AP+BP最小．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A（2，m）在y＝上，
∴m＝4，
∴A点坐标为（2，4）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，
∴D点坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝＝6，
即△AOB的面积为6；
（3）在x轴上存在点P，使得AP+PB最小．
作点B（4，2）关于x轴的对称点B′（4，﹣2），如图，连接AB′．
设直线AB'的解析式为：y＝a′x+b′，
∴，
解得，
∴直线AB'的解析式为：y＝﹣3x+10，
令y＝0，解得x＝，
∴P（，0）可使AP+BP最小．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023 潍城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于点A（4，0）和点B（﹣2，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）点P坐标为（，﹣）．
【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（﹣2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）由（1）知，点C坐标为（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），
则E（t，0），D（t2﹣t，t2﹣t﹣4），
∴PE+PD＝﹣（t2﹣t﹣4）+t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，PE+PD有最大值，最大值为．
∴点P坐标为（，﹣）．
七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2023 潍坊一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
【答案】（1）喷出水的最大射程OC为6m；
（2）（2，0）；
（3）2≤d≤2．
【解答】解：（1）由题意得点A的横坐标为2，纵坐标为1.5+0.5＝2，
所以上边缘抛物线的顶点为A（2，2），
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移得到，
∴可设y＝﹣（x+t﹣2）2+2，
将点（0，1.5）代入得t1＝4，t2＝0（舍去），
∴下边缘抛物线的关系式为y＝﹣（x+2）2+2，
∴当y＝0时，0＝﹣（x+2）2+2，
解得x1＝2，x2＝﹣6（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝1，
∴点F的纵坐标为1，
∴1＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝2+2，x2＝2﹣2（舍去），
∴d的最大值为2+2﹣DE＝2，
当下边缘抛物线经过点D时，d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2．
八．多边形（共1小题）
9．（2023 潍坊一模）【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．
请参照下面的探究过程，完成相应的问题！
【观察发现】：
（1）图2，当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．
C D E F
边上的点数x 4 8 8 9
多边形面积S 2 4 4
请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：　　．
（2）当多边形内部有2个点时，在下面的格点图3中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．
图1 图2
边上的点数x 　6　 　10　
多边形面积S 　×6+1　 　×10+1　
归纳S与x之间的关系式为：　（答案不唯一）　．
【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图4中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．
【答案】（1）；
（2）×6+1，×10+1，S＝x+1（答案不唯一）；11.5；x＝24，y＝8．
【解答】解：【观察发现】（1）表中数据为4.5，S与x之间的关系式为；
故答案为：；
（2）如图3，图4，
由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
的各边上格点的个数为6，面积为4＝×6+1，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6＝×10+1，
∴S＝x+1；
故答案为：×6+1，×10+1，S＝x+1（答案不唯一）；
【规律总结】用含x，y的代数式表示S为
A图形中，∵y＝6，x＝13；
∴；
【拓展应用】由题意可得，
解之得．
如图所示：（答案不唯一）．
九．四边形综合题（共2小题）
10．（2023 潍城区二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，进行如下操作．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在DC上选一点P，沿AP折叠，使点D落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，AM，并延长PM交BC于点Q，连接AQ．
（1）操作判断
根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，请回答下列问题：
①写出图中一个30°的角；
②∠MAQ＝　15　°，∠BAQ＝　15　°．
（2）迁移探究
改变点P在DC上的位置（点P不与点C，D重合），如图2，判断∠MAQ与∠BAQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为4cm，随着点P在DC上的位置变化，当FQ＝0.5cm时，求出DP的长．
【答案】（1）①∠PQC；（答案不唯一，如：∠AME，∠DAP，∠MAP）．
②15，15；
（2）∠MAQ＝∠BAQ，理由见解答；
（3）DP的长是cm或cm．
【解答】解：（1）①∠PQC．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠得EF垂直平分AD，EF垂直平分BC，AM＝AD，∠AMP＝∠D＝90°，
∴∠AEF＝90°，AE＝DE＝AD＝AM，
∵点M在EF上，
∴sin∠AME＝＝，
∴∠AME＝30°，
∴∠DAM＝90°﹣∠AME＝60°，
∴∠BAM＝30°，∠DAP＝∠MAP＝∠DAM＝30°，
∴∠APD＝∠APM＝60°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠APD﹣∠APM＝60°，
∴∠PQC＝30°．
（注：答案不唯一，如：∠AME，∠DAP，∠MAP）．
②∵∠DAB＝90°，∠DAM＝60°，
∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAM＝30°，
∵AM＝AD，AB＝AD，
∴AM＝AB，
∵∠AMQ＝180°﹣∠AMP＝90°，
∴∠AMQ＝∠B＝90°，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△AMQ≌Rt△ABQ（HL），
∴∠MAQ＝∠BAQ＝∠BAM＝15°，
故答案为：15，15．
（2）∠MAQ＝∠BAQ，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AB＝AD，
由折叠得EF垂直平分AD，AM＝AD，∠AMP＝∠D＝90°，
∴∠AMQ＝180°﹣∠AMP＝90°，AM＝AB，
∵AQ＝AQ，
∴Rt△AMQ≌Rt△ABQ（HL），
∴∠MAQ＝∠BAQ．
（3）∵正方形纸片ABCD的边长为4cm，FQ＝0.5cm，
∴CB＝CD＝4cm，
∴BF＝CF＝CB＝2cm，
由折叠得MP＝DP，
∵Rt△AMQ≌Rt△ABQ，
∴MQ＝BQ，
设DP＝xcm，则PC＝（4﹣x）cm，
∵∠C＝90°，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
当点Q在BF上，如图1，则MQ＝BQ＝2﹣0.5＝1.5（cm），CQ＝2+0.5＝2.5（cm），
∴（4﹣x）2+2.52＝（1.5+x）2，
解得x＝；
当Q在CF上，如图2，则MQ＝BQ＝2+0.5＝2.5（cm），CQ＝2﹣0.5＝1.5（cm），
∴（4﹣x）2+1.52＝（2.5+x）2，
解得x＝，
综上所述，DP的长是cm或cm．
11．（2023 青州市二模）某工厂加工车间要从一块四边形钢板ABCD中切割一个正方形，已知AD＝9米，CD＝2米，AB＝14米，∠A＝∠D＝90°．如图，现有方案1和方案2两种切割方案，图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上．
（1）求BC的长；
（2）求的值；
（3）若在△BEF余料上再切割一个最大正方形．请直接写出此正方形的边长．
【答案】（1）15m；
（2）；
（3）m．
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，
∵∠A＝∠D＝90°，CH⊥AB，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CH＝AD＝9dm，AH＝CD＝2m，BH＝AB﹣AH＝12（m），
∴BC＝＝15（m）；
（2）设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为am，
∵sinB＝，
∴tanB＝，cosB＝，
在Rt△FIC中，tan∠CFI＝tanB＝，FI＝（a﹣2）m，CI＝（9﹣a）m，
∴，
解得a＝6；
设正方形MNPQ边长为bm，
∴∠B＝∠MNA，
在Rt△FIC中，sinB＝，则BN＝，
在Rt△MAN中，cos∠MNA＝，则AN＝，
∴，
解得b＝，
∴＝；
（3）如图，在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m米，
∵BE＝AB﹣AE＝14﹣6＝8（m），
∴BK＝（8﹣m），
在Rt△BJK中，tanB＝，
∴，
解得m＝，即正方形EKJL的边长为m；
如图，在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n米，
同理，在Rt△BST中，sinB＝，则BT＝，
在Rt△UTE中，cos∠UTE＝，则ET＝n，
∴，
解得n＝，即正方形RSTU的边长为m；
∵，
在△BEF余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为m．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
12．（2023 潍城区二模）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵点C为的中点，
∴，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠CBA．
∵AC平分∠DAE，
∴∠EAC＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠CBA．
∵AB为⊙O的直径，
∴ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠EAC＝90°，
∴∠EAB＝90°，
即OA⊥AE，
∵OA为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥CD于点H，如图，
则DH＝CH＝CD．
∵DF⊥CD，OF⊥DF，OH⊥CD，
∴四边形OFDH为矩形，
∴DH＝OF＝3，
∴CD＝6．
∵AC＝CD，
∴AC＝6．
∴BC＝＝8．
由（1）知：∠EAB＝90°，
∵AC⊥BC，
∴△BAC∽△BEA，
∴，
∴，
∴AE＝．
13．（2023 潍坊一模）如图，在水平地面上放置了一个⊙O和矩形ABCD，⊙O与地面相切于点E，EA＝6，，矩形的宽AB＝3，长AD＝6．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D′．
（1）旋转过程中，当点B′，C′，D三点共线时，如图①．求证：直线AD′与⊙O相切；
（2）旋转过程中，当边AD′落在OA上时，如图②．求矩形ABCD扫过的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）18+．
【解答】（1）证明：连接OA，OD′，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D'AB'＝∠DAB＝90°，∠B'＝∠B＝90°，
∵B'，C'，D共线，
∴，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠D'AD＝∠D'AB'﹣∠DAB'＝30°．
又∵∠EAD＝180°﹣∠DAB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAD'＝90°﹣30°＝60°，
∵AE与⊙O相切与E，
∴OE⊥AE，
∴，
∴∠OAE＝30°，
∴∠OAD′＝60°﹣30°＝30°＝∠OAE．
在△OEA和△OD′A中，
，
∴△OEA≌△OD′A（SAS），
∴OE＝OD′，∠OEA＝∠OD′A＝90°，
∴OD′⊥AD′，
∵OD′为⊙O的半径，
∴直线AD'与⊙O相切；
（2）解：连接AC，AC'，如图，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝9+36＝45．
由（1）知：∠D'AD＝90°﹣30°＝60°，
∵AD'在OA上，
∴此时旋转角α＝60°，
∴∠CAC′＝60°．
由图形可知：矩形ABCD扫过的区域为△ABC，△AC'D'和扇形ACC'的面积之和，
∴矩形ABCD扫过的面积＝S△ABC+S扇形CAC′+S△AD′C′
＝6×3++6×3
＝9+π+9
＝18+．
一十一．圆的综合题（共1小题）
14．（2023 临朐县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径R＝5，BH＝3，求GH的长；
（3）求证：DF2＝AF BF．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．
∴GH＝＝＝．
（3）证明：由（1）知EF是⊙O的切线，
∴∠DAF＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△DAF∽△FDB，
∴，即DF2＝AF BF．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2023 潍坊一模）图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度i＝1：2.4的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为19°．
（1）求平台DE到水平面BC的垂直距离；
（2）求桥墩AB的高度．
（参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34）
【答案】（1）平台DE到水平面BC的垂直距离为20米．
（2）桥墩AB的高度为88米．
【解答】解：（1）作DH⊥BC，垂足为H，
∵i＝1：2.4，
∴，
设DH＝5x，则CH＝12x，
∴CD＝＝＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴CH＝48米，DH＝20米，
答：平台DE到水平面BC的垂直距离为20米．
（2）延长ED交AB于点G，则EG⊥AB，四边形GBHD为矩形．
∴GD＝BH，DH＝GB，
∴GE＝GD+DE＝BC+CH+DE＝100+48+52＝200（米），
∵∠AEG＝15°，
∴tan∠AEG＝≈0.34，
∴AG＝GE 0.34＝200×0.34＝68（米），
∴AB＝AG+GB＝AG+DH＝68+20＝88（米），
∴桥墩AB的高度为88米．
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2023 潍城区二模）如图，灯塔C在港口A的东北方向，一艘巡逻艇接到指令，从A出发以速度v前往正东方向的灯塔B执行紧急任务．完成任务后，巡逻艇再以速度v′由B出发，沿B→C→A的路线返回港口A．已知灯塔C在灯塔B的北偏西方向，巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，求v′（结果用含v的代数式表示）．
【答案】v′＝v．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，
根据题意得，∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，
∴AH＝CH，
设AH＝CH＝x，
∴AC＝x，BH＝x，BC＝2BH＝x，
∴AB＝AH+BH＝x+x＝x，
∵AC+BC＝x+x，
∵巡逻艇由B到C再返回港口A所用时间是它由A到B所用时间的2倍，
∴，
∴v′＝v．
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山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 潍城区二模）据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期期间国内旅游收入1480.56亿元，同比增长128.90%，其中1480.56亿用科学记数法可表示为（　　）
A．1480.56×108 B．1.48056×1011
C．0.148056×1012 D．1.48056×1012
二．实数的性质（共1小题）
2．（2023 潍坊一模）实数﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
三．实数与数轴（共1小题）
3．（2023 潍坊一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，以原点为圆心，以|b|为半径画圆，交数轴于另一点（对应的实数为c），下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．b+c＞0 C．b﹣a＞0 D．|a﹣c|＝a﹣c
四．实数大小比较（共1小题）
4．（2023 青州市二模）下面四个实数中最大的是（　　）
A． B．0 C． D．|﹣3|
五．根与系数的关系（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（　　）
A．19 B．9 C．1 D．﹣1
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 临朐县一模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
七．函数的图象（共1小题）
7．（2023 青州市二模）定义新运算：a b＝，例如：3 5＝，3 （﹣5）＝﹣，则y＝3 x（x≠0）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
八．动点问题的函数图象（共1小题）
8．（2023 潍城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，连接AC，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AD向终点D运动；过点P作PQ⊥AC交AB或BC于点Q．设点P运动的时间为x秒，△APQ的面积为y，则下列y关于x的函数图象正确的是（　　）

A． B．
C． D．
九．反比例函数的图象（共1小题）
9．（2023 潍坊一模）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与的图象在同一坐标系中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一十．平行线的性质（共1小题）
10．（2023 临朐县一模）如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数是（　　）
A．65° B．60° C．45° D．25°
一十一．三角形中位线定理（共1小题）
11．（2023 青州市二模）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长是（　　）
A．2 B．1.5 C．2.5 D．3
一十二．扇形面积的计算（共1小题）
12．（2023 青州市二模）如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 青州市二模）已知 ABCD中，∠A＝55°，分别以点B，点C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线MN交DC于点E，则∠ABE的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
一十四．位似变换（共1小题）
14．（2023 潍坊一模）如图，将△ABC先向左平移4个单位，得到△A′B′C′，再以原点O为位似中心，作△A′B′C′的位似三角形△A″B″C″，使它与△A′B′C′的相似比为1：2且在同一象限内，则点A的对应点A″的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（﹣2，4） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
一十五．简单组合体的三视图（共1小题）
15．（2023 青州市二模）如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
一十六．折线统计图（共1小题）
16．（2023 潍城区二模）如图是近一年来某企业产值增长率的折线统计图，下列信息正确的是（　　）
A．2022年4月份该企业产值最低
B．2022年9月份是该企业产值最大的月份
C．2022年11月份比2022年10月份产值低
D．2022年4月至2023年3月该企业产值一直在增大
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 潍城区二模）据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期期间国内旅游收入1480.56亿元，同比增长128.90%，其中1480.56亿用科学记数法可表示为（　　）
A．1480.56×108 B．1.48056×1011
C．0.148056×1012 D．1.48056×1012
【答案】B
【解答】解：148056000000＝1.48056×1011．
故选：B．
二．实数的性质（共1小题）
2．（2023 潍坊一模）实数﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：实数﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
三．实数与数轴（共1小题）
3．（2023 潍坊一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，以原点为圆心，以|b|为半径画圆，交数轴于另一点（对应的实数为c），下列结论中正确的是（　　）
A．a＞b B．b+c＞0 C．b﹣a＞0 D．|a﹣c|＝a﹣c
【答案】C
【解答】解：根据图示，可得a＜c＜0＜b，
∵以原点为圆心，以|b|为半径的圆交数轴于另一点（对应的实数为c），
∴|b|＝|c|，
∵a＜b，
∴选项A不符合题意；
∵c＜0＜b，且|b|＝|c|，
∴b+c＝0，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b，
∴b﹣a＞0，
∴选项C符合题意；
∵a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴|a﹣c|＝c﹣a，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
四．实数大小比较（共1小题）
4．（2023 青州市二模）下面四个实数中最大的是（　　）
A． B．0 C． D．|﹣3|
【答案】D
【解答】解：∵|﹣3|＝3，
∴|﹣3|＞＞＞0，
∴所给的四个实数中最大的是|﹣3|．
故选：D．
五．根与系数的关系（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（　　）
A．19 B．9 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝﹣5，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+10＝19．
故选：A．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 临朐县一模）关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣3，
解第二个不等式得：x＜﹣2，
所以不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣2，
故选：C．
七．函数的图象（共1小题）
7．（2023 青州市二模）定义新运算：a b＝，例如：3 5＝，3 （﹣5）＝﹣，则y＝3 x（x≠0）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得：y＝3 x＝，
当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，
当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合．
故选：B．
八．动点问题的函数图象（共1小题）
8．（2023 潍城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，连接AC，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AD向终点D运动；过点P作PQ⊥AC交AB或BC于点Q．设点P运动的时间为x秒，△APQ的面积为y，则下列y关于x的函数图象正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵PQ⊥AC，∠BAD＝90°，
∴∠AQP＝∠DAC，
∴△AQP∽△DAC，
∴＝＝＝2，
∴AQ＝2AP，
当点Q和点B重合时，AQ＝AB＝4，
∴此时AP＝2，
①当0≤x≤2时，如图所示：
y＝S△APQ＝AP AQ＝ x 2x＝x2；
②当2＜x≤8时，如图所示：
y＝S△APQ＝AP AB＝×4 x＝2x．
故选：A．
九．反比例函数的图象（共1小题）
9．（2023 潍坊一模）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与的图象在同一坐标系中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＜0、b＞0．
所以﹣k＞0．
再根据一次函数和反比例函数的图象和性质，可知答案D正确．
故选：D．
一十．平行线的性质（共1小题）
10．（2023 临朐县一模）如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数是（　　）
A．65° B．60° C．45° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠BFH＝45°﹣20°＝25°，
故选D．
一十一．三角形中位线定理（共1小题）
11．（2023 青州市二模）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长是（　　）
A．2 B．1.5 C．2.5 D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝10，
∴DE＝BC＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝5﹣2.5＝2.5，
故选：C．
一十二．扇形面积的计算（共1小题）
12．（2023 青州市二模）如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得直线l垂直平分OA，
∴CA＝CO，
∵OA＝OC＝3，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴扇形OAC的面积＝＝，△AOC的面积＝OA OA＝，
∴阴影的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝．
故选：A．
一十三．作图—基本作图（共1小题）
13．（2023 青州市二模）已知 ABCD中，∠A＝55°，分别以点B，点C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线MN交DC于点E，则∠ABE的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝55°，
∴∠C＝∠A＝55°，∠ABC＝180°﹣55°＝125°，
由作图可知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝55°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝125°﹣55°＝70°，
故选：D．
一十四．位似变换（共1小题）
14．（2023 潍坊一模）如图，将△ABC先向左平移4个单位，得到△A′B′C′，再以原点O为位似中心，作△A′B′C′的位似三角形△A″B″C″，使它与△A′B′C′的相似比为1：2且在同一象限内，则点A的对应点A″的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（﹣2，4） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A“B“C“即为所求．
点A的对应点A″的坐标是（﹣1，2），
故选：C．
一十五．简单组合体的三视图（共1小题）
15．（2023 青州市二模）如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看该组合体，底层是一个矩形，矩形的两侧分别由一条纵向的实线，上层是一个矩形．
故选：A．
一十六．折线统计图（共1小题）
16．（2023 潍城区二模）如图是近一年来某企业产值增长率的折线统计图，下列信息正确的是（　　）
A．2022年4月份该企业产值最低
B．2022年9月份是该企业产值最大的月份
C．2022年11月份比2022年10月份产值低
D．2022年4月至2023年3月该企业产值一直在增大
【答案】A
【解答】解：由折线统计图可知，
2022年4月份该企业产值最低，说法正确，故选项A符合题意；
2023年3月份是该企业产值最大的月份，原说法错误确，故选项B不符合题意；
2022年11月份比2022年10月份产值高，原说法错误，故选项C不符合题意；
2022年4月是负增长的，原说法错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
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山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023 青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023 青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 　 　步出现了错误；错误原因是 　 　．
（2）请你写出完整的解答过程．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023 青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023 临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023 潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时） 甲校频数（人） 乙校频数（人）
0.5≤x＜1 18 24
1≤x＜1.5 32 40
1.5≤x＜2 48 76
2≤x＜2.5 86 40
2.5≤x＜3 16 20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分 方差 中位数 众数 最高分 最低分
甲学校 401.8 156.2 373 335 682 23
乙学校 408.8 154.5 373 346 682 35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023 青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组 频数
0≤x＜2 m
2≤x＜4 n
4≤x＜6 3
6≤x＜8 2
③分析数据：
平均数 中位数 众数
2.8 a b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是　 　 　；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；a＝　 　；b＝　 　；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
10．（2023 潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团 A B C D E
人数 a 13 10 c 5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
山东省潍坊市2023年各地区中考考数学模拟（一模、二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2023 青州市二模）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即＝1000a+100b+10c+d．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数F（）＝a4+b3+c2+d1．例如，F（1049）＝14+03+42+91＝26．
（1）计算：F（2023）；
（2）当c＝e+4时，证明：F（）﹣F（）的结果一定是8的倍数．
【答案】（2）；（3）答案见解答过程．
【解答】（1）解：F（2023）＝24+03+22+31＝16+0+4+3＝23；
（2）证明：∵c＝e+4，
∴F（）﹣F（）
＝（a4+b3+c2+d）﹣（a4+b3+e2+d）＝c2﹣e2
＝（e+4）2﹣e2
＝（e+4+e）（e+4﹣e）
＝8（e+2）．
∴F（）﹣F（）的运算结果一定是8的倍数．（　　）
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023 青州市二模）以下是某同学化简分式（）÷的部分运算过程：
原式＝[]÷①
＝②
＝
……
（1）上面的运算过程中从第 　①　步出现了错误；错误原因是 　通分不正确　．
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）①，通分不正确；
（2）﹣x2﹣x．
【解答】解：（1）运算过程中从第①步出现了错误；错误原因是通分不正确；
故答案为：①，通分不正确；
（2）原式＝式＝[﹣]÷
＝
＝
＝﹣x2﹣x．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 临朐县一模）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
（2）化简：（﹣x﹣1）÷，请选择一个恰当的数代入求值．
【答案】（1）﹣；
（2）1（不唯一）．
【解答】解：（1）（1﹣）0﹣|﹣|+﹣；
＝1﹣﹣3+2
＝﹣；
（2）（﹣x﹣1）÷
＝÷
＝
＝x﹣2．
当x＝3时，
原式＝3﹣1＝1．
四．根与系数的关系（共1小题）
4．（2023 青州市二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根；
（2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝4，另一个根为；
（2）且m≠2．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣2+1﹣3＝0，
解得：m＝4．
当m＝4时，原方程为2x2﹣x﹣3＝0，即（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴方程的另一个根为．
（2）∵方程（m﹣2）x2﹣x﹣3＝0有两个不同的实数根，
∴，
解得：且m≠2，
∴当且m≠2时，方程有两个不同的实数根．
五．分式方程的应用（共1小题）
5．（2023 潍城区二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
（1）求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
（2）经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m（50≤m≤150）只，若两种风筝能全部售出，求销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】（1）一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【解答】解：（1）设一只B型风筝的进价是x元，则一只A型风筝的进价是（x+20）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：一只A型风筝的进价是100元，一只B型风筝的进价是80元；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w＝[2（130﹣m）﹣100]m+（120﹣80）（300﹣m）＝﹣2m2+120m+12000，
即w＝﹣2（m﹣30）2+13800，
∵﹣2＜0，且50≤m≤150，
∴w随m的增长而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×（50﹣30）2+13800＝13000，此时300﹣m＝300﹣50＝250．
答：当购进50只A型风筝，250只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023 临朐县一模）某种商品的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣5，图象如图所示，图象上有两点A（1，4），B（2，11）．
（1）求y关于x的表达式；
（2）销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为16元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于16元？
【答案】（1）y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣5图象过点A（1，4），B（2，11），
∴，
解得，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x2+10x﹣5；
（2）当y＝16时，﹣x2+10x﹣5＝16，
解得x1＝3，x2＝7，
∴当销售定价为3元或7元时，该种商品的销售利润为16元；
结合图象当3≤x≤7时，该种商品的销售利润不低于16元．
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 青州市二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE，
∴∠BEF＝∠CBE，
∴BC∥EF；
如图：
连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，∵OB＝12，BF＝8，则OE＝OB＝12，OF＝12+8＝20，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴EF2＝OF2﹣OE2＝202﹣122＝256，
解得：EF＝16，
∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
八．频数（率）分布直方图（共1小题）
8．（2023 潍坊一模）【调查统计】为了解九年级学生的课业负担，甲，乙两所学校分别随机抽取了200名九年级学生，了解他们完成作业所需的时间，并做出了两校学生完成作业时间的频数分布表和甲校学生完成作业时间的频数分布直方图如表：
学生完成作业时间频数分布表
完成作业所需时间（x/小时） 甲校频数（人） 乙校频数（人）
0.5≤x＜1 18 24
1≤x＜1.5 32 40
1.5≤x＜2 48 76
2≤x＜2.5 86 40
2.5≤x＜3 16 20
【数据分析】：
（1）请在图中做出乙校学生完成作业时间的频数分布直方图，并比较甲校所得数据的中位数m与乙校所得数据的中位数n的大小．
（2）计算学生作业完成时间的平均值时，可以将各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数，则甲校学生作业完成时间的平均值计算如下：；
类比以上计算过程，求乙校学生作业完成时间的平均值．
【统计应用】有关部门调取了这400名学生在上学期期末统一测试时总成绩，统计的情况如表：
平均分 方差 中位数 众数 最高分 最低分
甲学校 401.8 156.2 373 335 682 23
乙学校 408.8 154.5 373 346 682 35
小亮说：“学生作业越多，学生成绩会越好”．你认为小亮说的对吗？请结合以上数据，至少说出两条理由．
【答案】【数据分析】（1）频数分布直方图见解析，n＜m；
（2）乙＝1.73；
【统计应用】这种说法不对，理由见解析．
【解答】解：【数据分析】（1）如图所示：
因为，甲校所得数据的中位数m满足2≤m＜2.5，
乙校所得数据的中位数n满足1.5≤n＜2，
所以，n＜m；
（2）乙＝×（0.75×24+1.25×40+1.75×76+2.25×40+2.75×20）＝1.73；
【统计应用】这种说法不对．
因为从两所学校的平均成绩来看，乙校学生的平均成绩高，而且乙校学生的方差小，学生成绩两极分化小，但其学生作业的完成平均时间比甲校短．
九．列表法与树状图法（共2小题）
9．（2023 青州市二模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育，该校九年级数学兴趣小组利用课余时间，对九年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一次调查研究．
①收集数据：
通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3，1，2，2，3，3，2，3，1，x，4，0，5，5，2，6，1，6，3，1；
②整理、描述数据：（得到下面不完整的图表）
分组 频数
0≤x＜2 m
2≤x＜4 n
4≤x＜6 3
6≤x＜8 2
③分析数据：
平均数 中位数 众数
2.8 a b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）兴趣小组计划抽取该校九年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中，合理的是　 　C　；
A．从该校九年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校九年级女生中随机抽取20名学生
C．从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生
（2）填空：x＝　3　；m＝　5　；n＝　10　；a＝　3　；b＝　3　；
（3）已知一周参加家庭劳动的次数在4≤x＜8的这5名学生中，有2名女生，3名男生，现准备从这5名学生中，随机抽取两人，请他们谈谈体会．请你利用列表法或树状图求“谈体会的两人都是男生”的概率．
【答案】（1）C；
（2）3，5，10，3，3；
（3）．
【解答】解：（1）∵调查样本要具有代表性，
∴从该校九年级学生中随机抽取男，女各10名学生．
故答案为：C；
（2）从扇形图可知，0≤x＜2组占总人数的25%，
∴m＝20×25%＝5，
∴n＝20﹣5﹣3﹣2＝10，
∵平均数为2.8，
∴（3+1+2+2+3+3+2+3+1+x+4+0+5+5+2+6+1+6+3+1）＝2.8×20，
解得x＝3，
数据按由小到大的顺序排序：
0，1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，5，5，6，6，
∴中位数a＝＝3，
众数b＝3．
故答案为：3，5，10，3，3；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1）
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴“谈体会的两人都是男生”的概率为．
10．（2023 潍城区二模）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．
社团 A B C D E
人数 a 13 10 c 5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中a＝　15　，b＝　20　，c＝　7　；
（2）已知5名劳技实践社团成员中有2名女生和3名男生，现准备从这5名同学中随机抽取两名参加社会公益活动，请用画树状图或列表的方法求恰好抽取出一男一女的概率；
（3）根据调查的各社团人数分布情况，你认为该校应加强哪些方面的发展？
【答案】（1）15，20，7；
（2）；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50（人），
∴a＝50×30%＝15，
b%＝10÷50×100%＝20%，即b＝20，
c＝50﹣（15+13+10+5）＝7，
故答案为：15，20，7；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝；
（3）样本中劳动实践人数最少，所以应加强学生劳动实践方面的教育与引导．
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