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高考复习三角换元精选解析
三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用.一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索.
1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中x为变量，k为非常数.
2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解.
例如：， 等，均可以用三角换元来解决.
3.核心公式：
4.重要推论（类型四）：；
【典例1】求函数的值域.
【大招指引】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方的换元形式，于是我们利用三角换元．
解析：令，则原式
=
其中.
，
【题后反思】不少同学在做这类问题是，会想到换元，但会遇到以下几个问题：（1）直接根式换元，然而式中仍然出现根式，换元失败；（2）利用三角换元时，没有合理的设置角的范围，导致去根号时出错；（3）对于三角函数求最值问题不熟练．
【温馨提醒】
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.
【举一反三】
1．求函数的值域.
【答案】
【分析】可化为 ，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求解.
【详解】可化为 ，
令，
则，
，
，∴,
故函数的值域为.
2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，所以不等式可化为，
设，，则，则，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，
故答案为：
【典例2】已知，则的取值范围 .
【大招指引】此题出现三个向量的模长，可以根据模长的定义，对三个向量设向量坐标.那么就出现三角换元设法，利用含三角函数形式的函数求最值.
解析：不妨令
由题意知：
化简得：
故
．
【题后反思】遇到平面向量模的范围问题，通过考虑到用坐标法，其中三角换元是最常见的一种方法，转化为同一个角的三角函数形式，再求最值．
【举一反三】
3．若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，由题意设，根据数量积的坐标运算结合三角函数求最值即可.
【详解】由题知，
以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，
由题意设，
则，
，
，
，
，
可得.
故选：D
【2023江苏南通海安高级中学阶段检测】
4．如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为4
B．的最大值为
C．的最大值为2
D．的最大值为
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC，由向量相等求，结合三角函数性质求，的最值.
【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，，
内切圆的方程为，
可设，
则，，
所以，当，即为的中点时取等号，
所以的最大值为4，A正确；
因为，
所以，当，即时等号成立，
所以的最大值为，C错误，
由，可得，
得，，
，，
当，即时，所以所以的最大值为， B正确，
当，即时，所以所以的最大值为，D正确，
故选：C.
【典例3】【2023山东潍坊四县高三下5月模拟改编】已知点P是圆上一点，，，当时，的最小值为_____________.
【大招指引】本题求，其中P点是动点，并且在圆C，从而可以利用三角换元的特点，设P点的坐标为(为参数)，然后表示，在用同角三角函数求最值的方法进行求解.
【解析】设P点的坐标为(为参数)，则，，所以，其中，所以当时，取得最小值，且最小值为34，
【题后反思】（1）圆心为，半径为的圆上的点可设为，（2）长轴为且短轴为的椭圆上的点可设为，其中，的几何意义是：（横椭圆为例）以为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与轴正半轴的夹角.
【举一反三】
【2022辽宁省期末】
5．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.
【详解】
不妨设点为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
因此，即，
所以，即，令
因此，其中，
所以当时，有最大值，最大值为，
故选：B.
【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【2022福建省月考】
6．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
【详解】设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
【典例4】已知实数满足的最大值为 .
【大招指引】观察本题形式，是平方和的类型，于是可以利用三角换元法，可令，再用三角形式表示x,y.
【解析】由于，令，则原式
【题后反思】1、本题由于，因而
2、此处，可利用柯西不等式直接得到，也可用三角函数的辅助角公式.
【举一反三】
7．若为实数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为，令
则，
所以.
8．实数满足，且，当时，则的范围是 .
【答案】
【分析】令可将问题转化为：已知，且求的范围”，
【详解】令由可得.
则
.令，则
由得 ∴
∴当时，
当或时，, ，∴
故的范围是.
故答案为：
【2023安徽亳州一中高三最后一卷】
9．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，利用平面向量数量积的运算可得，设，可得出，结合正弦型函数的值域可得出的取值范围.
【详解】因为平面向量、、满足，，，
则，
所以，
，
即，即，
即，
令，则，
上述两个等式相加可得，
则.
故选：A.
【2023湖南邵阳二中全真模拟】
10．已知点在单位圆上，点，点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，求的坐标，利用数量积的坐标运算公式求，通过三角恒等变换，结合正弦函数性质求其范围.
【详解】设，
所以，，
所以
所以，
故选：C.
【2023山东泰安肥城高考适应性】
11．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值.
【详解】设的夹角为，，，
，，，又，
不妨设，，
，所以，即，
，
由，
当时，即时，有最小值．
故选：B
【2023福建宁德质检】
12．在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】通过圆的三角换元，利用向量的加减运算及向量相等的条件，转化为三角函数的最值问题即得结果.
【详解】由已知可设，则，
又，因为，
所以,即,
所以,其中，
当时，有最大值为.
故选：C.
【2023贵州毕节诊断】
13．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合三角函数性质求解作答.
【详解】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，
因为，则，
而圆O的方程为，设点，
于是，
，
当且仅当，即时，，
所以的最大值为6.
故选：B
【2023广西北部湾经济区一模】
14．已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理，得到，看成以为变量的函数的最值问题，可利用换元法求解.
【详解】，
因为∴．
设，则
∴当，即时，取最大值，此时离心率.
故选：C
15．实数满足，则的范围是 .
【答案】
【分析】由题可得，故由三角换元可得答案.
【详解】.故令，.
则原式，故.
故答案为：.
【2022辽宁省联考】
16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则 .
【答案】；
【解析】设，，，，计算得到答案.
【详解】设，，，，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.
17．（1）已知实数，，满足，，则的最大值是 ；
（2）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】第（1）问，方法1：由题可得，后用三角换元可解决问题.方法2：由题可得，令，，代入上式得，后由三角换元可得答案；方法3：由题可得，令，则，据此可得答案；第（2）问，若将变形为，则，后由最大可得或，即可得答案.
【详解】（1）方法1：将代入得．
整理得，令．则．的最大值为．
方法2：将代入得．
令，，代入上式得．由椭圆的参数方程
．的最大值为．
方法3：由得．
令．代入得．
当时，得．
即，解得即．的最大值为．
（2）由得．
令，则，
则，其中为锐角，且.
要使最大，则.
若，则时，此时
，则．
若，则，此时
，则.
综上：的最小值为．
【点睛】方法点睛：三角换元是一种处理含有平方关系函数值域的有力工具，使用时常配合辅助角公式，将相关函数值域转化为求三角函数值域.
18．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【答案】（1）最大值为2，最小值为1；（2）；（3）；（4）最大值为3，最小值
【分析】（1）利用三角换元法，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
（2）利用三角换元法，令，，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
（3）解法一：利用三角换元法，设，结合辅助角公式及三角函数的性质求解；
解法二：由解法一得，则为与点连线的斜率，数形结合可求得结果；
（4）令，，则，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）由于，故可令．
则原式变为．
，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．
故函数的值域为．
（3）解法一：
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函数的值域为．
解法二：
由解法一得，
则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，
点在半圆上，

当直线与半圆，相切时，，解得，
数形结合易得，即．．
故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高考复习三角换元精选题型
三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用.一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索.
1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中x为变量，k为非常数.
2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解.
例如：， 等，均可以用三角换元来解决.
3.核心公式：
4.重要推论（类型四）：；
【典例1】求函数的值域.
【大招指引】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方的换元形式，于是我们利用三角换元．
解析：令，则原式
=
其中.
，
【题后反思】不少同学在做这类问题是，会想到换元，但会遇到以下几个问题：（1）直接根式换元，然而式中仍然出现根式，换元失败；（2）利用三角换元时，没有合理的设置角的范围，导致去根号时出错；（3）对于三角函数求最值问题不熟练．
【温馨提醒】
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.
【举一反三】
1．求函数的值域.
2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
3．若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为4
B．的最大值为
C．的最大值为2
D．的最大值为
5．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若为实数，且，则的最小值为 ．
8．实数满足，且，当时，则的范围是 .
【2023安徽亳州一中高三最后一卷】
9．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【2023湖南邵阳二中全真模拟】
10．已知点在单位圆上，点，点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【2023福建宁德质检】
12．在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【2023贵州毕节诊断】
13．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【2023广西北部湾经济区一模】
14．已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
15．实数满足，则的范围是 .
【2022辽宁省联考】
16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则 .
17．（1）已知实数，，满足，，则的最大值是 ；
（2）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 ．
18．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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