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11.3 多边形及其内角和本节综合题
一、填空题
1．十二边形的外角和为　 　°．
2．一个不规则的图形如右图所示，那么 　 　．
二、单选题
3．七边形的内角和为（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
4．若一个n边形内角和为，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（　　）.
A．40° B．90° C．120° D．130°
6．已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（　　）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
7．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
8．正十边形的每个外角等于（　　）
A．18 B．36 C．45 D．60
9．六边形的对角线的条数为（　　）
A．15 B．9 C．8 D．6
10．下列平面图形中，内角和是1080°的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，将正五边形ABCDE的点C固定，并按顺时针方向旋转，要使新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC上，则旋转角度为（　　）
A．108° B．72° C．54° D．36°
12．从一个n边形的顶点出发，分别连接这个点与其余各个顶点，得到分割成的五个三角形，那么，这个多边形为（　　）边形．
A．5 B．6 C．7 D．8
三、解答题
13．如图，在五边形ABCDE中满足 AB∥CD，求图形中的x的值.
14．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．
四、作图题
15．按下列要求画图并填空：如图，已知∠MON．
（1）过点P作PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B；
（2）过点P作CD∥AB，分别交OM、ON于点C、D；
（3）若∠MON＝80°，那么∠APB＝　 　．
五、综合题
16．如图，四边形 中， ， 平分 平分 交于 点.
（1）求证: ;
（2）求证: .
17．已知，在四边形ABCD中， ．
（1）求证： ．
（2）如图1，若DE平分 ，BF平分 的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分 ， 的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
六、实践探究题
18．
（1）【感知】
如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则　 　；
（2）【探究】
如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）【应用】
如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为　 　．
答案解析部分
1．【答案】360
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和始终是，
∴十二边形的外角和为.
故答案为：360.
【分析】根据多边形的外角和的度数始终是即可求出答案.
2．【答案】360°
【解析】【解答】解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠AFE，∠2＝∠1+∠D，
等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠AFE＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
故答案为：360°．
【分析】延长AF交DC于G点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1＝∠E+∠AFE，∠2＝∠1+∠D，等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠AFE＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
3．【答案】C
【解析】【解答】七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°；
故答案为：C.
【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，得180×（n-2）=540°，
解得n=5.
故答案为：5.
【分析】根据多边形的内角和公式建立方程，求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵2570°÷180°=14…50°，
∴该内角应是180°-50°=130°.
故答案为：D.
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解 ：180-135=45 ，
360÷45°=8
故应选 ：B.
【分析】一个多边形的每一个内角都等于135°，根据邻补角的定义得出每一个外角的度数，然后利用多边形的外角和360°÷45°就得到多边形的边数。
7．【答案】D
【解析】【解答】设多边形的边数为n，根据题意
（n-2） 180°=360°，
解得n=4．
故答案为：D．
【分析】设多边形的边数为n,可得多边形内角和为（n-1）·180°，由多边形外角和等于360°，据此列出方程，求出n值即可.
8．【答案】B
【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解。
360°÷10=36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选B．
【点评】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键。
9．【答案】B
【解析】【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【解答】根据n边形所有对角线的条数为，得六边形的对角线的条数为．
故选B．
【点评】熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1080°，
n﹣2＝6，
n＝8，
所以这个多边形的边数为8，
故答案为：为：C．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理“多边形的内角和等于180°”可得关于n的方程，解方程可求解.
11．【答案】B
【解析】【解答】∵正五边形的外角=360°÷5=72°，∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上.
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的外角和为360°可得外角=360°÷5=72°，据此解答.
12．【答案】C
【解析】【解答】设多边形有n条边，则n﹣2=5，解得n=7．故多边形是七边形．故选C．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）个三角形作答．
13．【答案】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴（5﹣2）×180°＝x+150°+125°+60°+120°，
∴x＝85°.
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可得∠B的度数，然后结合多边形的内角和公式进行计算.
14．【答案】解：设多边形为n边形，由题意，得
n﹣2=，
整理得：n2﹣5n+4=0，
即（n﹣1）（n﹣4）=0，
解得：n1=4，n2=1（不合题意舍去），
所以内角和为（4﹣2）×180°=360°．
【解析】【分析】设多边形为n边形，根据从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，列出方程n﹣2=，解方程求出n的值，再关键n边形的内角和公式求解．
15．【答案】（1）解：如图，PA、PB为所作；
（2）解：如图，CD为所作,
（3）100°
【解析】【解答】（3）PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB＝360°﹣∠AOB﹣90°﹣90°＝180°﹣80°＝100°．
故答案为100°．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（3）利用垂直的定义可得∠PAO＝∠PBO＝90°，根据四边形的内角和求出∠APB的度数即可.
16．【答案】（1）证明: 四边形 中， ,
（2）证明: 平分 平分 ,
,
,
,
,
.
【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°即可求出结论.
（2）利用角平分线的定义可得∠GBC=∠ABC，∠CDF=∠ADC，利用（1）结论可得∠GBC+∠CDF=90°，根据三角形内角和可得∠CDF+∠DFC=90°，利用同角的余角相等可得∠GBC=∠DFC，根据同位角相等两直线平行可得BG∥DF，利用平行线的性质即可求出结论.
17．【答案】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°
（2）解： DE⊥BF
证明：延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）解：DE∥BF
证明：连接BD
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD的内角和为360°且∠A=∠C=90°即可证出；
（2）先证∠CBF＋∠CDE= ∠ABC+ ∠ADC= （∠ABC+∠ADC）=90°，再结合∠CDE+∠CED=90°得∠CBF=∠CED，据此即可得DE//BF；
（3）连接BD，证∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180°，可得DE//BF。
18．【答案】（1）
（2）．
理由如下：
，
．
，
．
．
（3）
【解析】【解答】(1)， ，
，
，，
，
故答案为：.
(3)， ，
，
，，
，
分别是的平分线，
，，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)先利用四边形的内角和求出的和，再通过外角的定义求出 、的和.
(2)先利用四边形的内角和用、的和表示的和，再通过外角的定义得到、与 、的关系，然后得到与之间的数量关系.
(3) 由(1)中的数量关系可得、的和，再利用角平分线的定义得到、的和，然后通过三角形的内角和得到的度数.
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