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2.2.3一元二次不等式的解法——题型·技巧攻略
题型1一元二次不等式 3
◆类型1一元二次不等式 4
◆类型2一元二次不等式组 5
题型2含参一元二次不等式的解法 6
◆类型1可以因式分解型 7
◆类型2不能因式分解型 8
题型3分式不等式 8
题型4含参分式不等式求解 9
题型5实际问题 10
知识点一.一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二.一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1知识点四 .一元二次不等式的解法
1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
2.求出相应的一元二次方程的根．
3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决
注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。
注意：三个“二次”之间的关系
1.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
知识点五.解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六。分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
注意：当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
题型1一元二次不等式
【方法总结】 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论． 3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．
◆类型1一元二次不等式
【例题1-1】（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3；
(4)
(5)
(6)
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
【变式1-1】1. （2022秋·浙江台州·高一校联考期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】2. （2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】4. （2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式1-1】5. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】6. （多选）（2023春·河南开封·高二校联考期末）有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式1-1】7. 解下列不等式：
（1）；（2）；（3）；（4）
【变式1-1】8. （2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）定义表示不超过x的最大整数，例如．则方程的解的个数为 ．
◆类型2一元二次不等式组
【例题1-2】解关于的不等式组：（结果请用集合或区间表示）.（1）；（2）；（3）
【变式1-2】1. 不等式的解集是 __．
【变式1-2】2. 解不等式-1【变式1-2】3.（2014·全国·高考真题）不等式组的解集为
A． B． C． D．
【变式1-2】4. （2022·高二校考课时练习）下列不等式组中，同解的是 （ 　 ）
A．与 B．与x2﹣3x+2＞0
C．＞0与 D．
题型2含参一元二次不等式的解法
【方法总结】 含参一元二次不等式的解法有以下几种： 1、当△=b2-4ac≥0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解—元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这两个—元一次不等式组的解集的交集。 2、用配方法解—元二次不等式。 3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"而推出答案。 4、数轴穿根:用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式—端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点。 5、这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。这种方法叫做序轴标根法。 对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
◆类型1可以因式分解型
【例题2-1】（2023秋·高一课时练习）若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】1. （2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】2. （2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于的不等式: .
【变式2-1】3. （2022秋·江西九江·高一校考期中）下列关于的不等式的解集，其中是常数，
(1)
(2)
【变式2-1】4.（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求关于的不等式的解集.（）.
◆类型2不能因式分解型
【例题2-2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）；
【变式2-2】1. （2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式.
【变式2-2】2. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【变式2-2】3. （2022秋·陕西宝鸡·高二统考期中）解关于的不等式：．
【变式2-2】4. （2023·高一课时练习）关于x的不等式（m、，）的解集可能是 ．（填所有符合条件的序号）①；②；③或；④．
题型3分式不等式
【方法总结】 将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。一搬分式不等式的解法： 第一步去分母，第二步去括号，第三步移项第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
若分式不等式右边为0，不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
若分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤:
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
【例题3】（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）不等式的解集为 .
【变式3-1】1. （2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．
【变式3-1】2. （2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）不等式的解集是 ．
【变式3-1】3. （2019秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）解不等式组
【变式3-1】4. （2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列不等式中，解集为或的不等式是（ ）
A． B． C． D．
题型4含参分式不等式求解
【方法总结】 解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。
【例题4】（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）当时，不等式的解是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【变式4-1】1. （2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）已知，证明：.
【变式4-1】2. （2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）解关于的不等式：．
【变式4-1】3. （2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式：
(1)
(2)
【变式4-1】4. （2021秋·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知关于的不等式．
(1)若2为该不等式的一个解，求实数的取值范围；
(2)当时，求解该不等式．
【变式4-1】5.（2022秋·吉林松原·高一校考阶段练习）当时，关于的分式不等式的解区间为 ．
题型5实际问题
【方法总结】 解不等式应用题的步骤
【例题5】（2023·全国·高一假期作业）某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
【变式5-1】1. （2023秋·高一课时练习）某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）
A．１００台 B．１２０台 C．１５０台 D．１８０台
【变式5-1】2. （2021春·福建南平·高一统考期末）某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式5-1】3. （2021秋·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为，同时预计日销售量增加的百分率为，为使日利润有所增加，求的取值范围．
【变式5-1】4. （2021秋·陕西西安·高一西安高级中学校考期中）一服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)．
(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？
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2.2.3一元二次不等式的解法——题型·技巧攻略
题型1一元二次不等式 3
◆类型1一元二次不等式 4
◆类型2一元二次不等式组 10
题型2含参一元二次不等式的解法 12
◆类型1可以因式分解型 13
◆类型2不能因式分解型 16
题型3分式不等式 19
题型4含参分式不等式求解 21
题型5实际问题 27
知识点一.一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二.一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1知识点四 .一元二次不等式的解法
1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
2.求出相应的一元二次方程的根．
3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决
注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。
注意：三个“二次”之间的关系
1.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
注意：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
知识点五.解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六。分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
注意：当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
题型1一元二次不等式
【方法总结】 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论． 3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．
◆类型1一元二次不等式
【例题1-1】（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3；
(4)
(5)
(6)
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）-（9）根据一元二次不等式的解法计算可得；
（2）写出不等式的等价形式，再根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】（1），，，
即不等式的解集为；
（2），，解得或，
即不等式的解集为；
（3）由，得，解得，
故不等式的解集为.
（4），整理得，即，
解得，即不等式的解集为.
（5）由可得，所以或，
即不等式的解集为；
（6）由可得，所以，
即不等式的解集为；
（7）可化为，解得，
所以不等式的解集为.
（8）可化为，即，
解得，所以不等式的解集为.
（9）可化为，解得或，
所以不等式的解集为.
（10）可化为，因为不等式对应的方程的判别式，
所以不等式的解集为．
【变式1-1】1. （2022秋·浙江台州·高一校联考期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据解一元二次方程的解法，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】,或，，
显然由不一定能推出，但是由一定能推出，
因此“”是“”的必要而不充分条件，
故选：B
【变式1-1】2. （2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，即，解得，
因为真包含于，
所以使得不等式“”成立的一个必要不充分条件可以是.
故选：C
【变式1-1】3. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据行列式的定义得到关于的一元二次不等式，解得即可.
【详解】因为，即，即，
即，解得，所以实数的取值范围为.
故选：A
【变式1-1】4. （2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，再解一元二次不等式（组）即可.
【详解】不等式，即，所以，
即，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：B
【变式1-1】5. （2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集与补集的定义求解.
【详解】，
，，
故选：C.
【变式1-1】6. （多选）（2023春·河南开封·高二校联考期末）有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BCD
【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】，，
， ， .
②③④是的充分条件.
故选：BCD.
【变式1-1】7. 解下列不等式：
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（1），（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据不等式，讨论、分别求解集，然后取并即可得结果.
（2）首先求出的解集，再分、、三种情况讨论，分别确定不等式的解集，即可得解.
（3）分和两种情况，结合一元二次不等式运算求解.
（4）将因式分解后即可求出解集，要注意隐藏条件.
【详解】（1）由题设，即，
当时，恒成立；
当时，整理得，解得，所以；
综上，，故解集为.
（2）由，即，解得，
当时，显然满足，
当时，显然满足，
当时不等式等价于，
由即，解得，所以，
综上可得不等式的解集为.
（3）当时，原不等式即为，解得；
当时，原不等式即为，解得；
综上所述：原不等式的解集为.
故答案为：.
（4）不等式可化为，
.
故答案为：.
【变式1-1】8. （2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）定义表示不超过x的最大整数，例如．则方程的解的个数为 ．
【答案】3
【分析】由题意解得，然后分，和三种情况求解即可
【详解】因为，所以方程可化为，解得，
当时，，所以原方程化为，解得或（舍去），
当时，，所以原方程化为，解得或（舍去），
当时，，满足方程，所以
综上，该方程解为．
共3个解．
故答案为：3
◆类型2一元二次不等式组
【例题1-2】解关于的不等式组：（结果请用集合或区间表示）.（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，即可得解.
【详解】（1）解不等式，可得，
由可得，解得或，
故原不等式组的解集为.
（2）由得，解得或，
由得，解得，
故原不等式组的解集为
（3）
故不等式的解集为.
【变式1-2】1. 不等式的解集是 __．
【答案】【分析】直接利用不等式组的解法的应用求解即可.
【详解】不等式整理得，解得，
则不等式的解集是.故【答案】为：.
【变式1-2】2. 解不等式-1【答案】 原不等式可化为即即
所以
如图,结合数轴,可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0【变式1-2】3.（2014·全国·高考真题）不等式组的解集为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：，所以不等式的解集为
考点：不等式解法
【变式1-2】4. （2022·高二校考课时练习）下列不等式组中，同解的是 （ 　 ）
A．与 B．与x2﹣3x+2＞0
C．＞0与 D．
【答案】A
【分析】分别求出选项中的每一组不等式的解集，即可判断是否为同解不等式．
【详解】对于A，与的解集都是{x|x＞6}，是同解不等式；
对于B，的解集是{x|x＜1或x＞2，且x≠3}，x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，不是同解不等式；
对于C，＞0的解集是{x|x＜1或x＞2，且x≠﹣1}，x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}，不是同解不等式；
对于D，（x﹣2）≥0的解集是{x|x≥2或x=﹣}，与x≥2不是同解不等式．
故选：A．
题型2含参一元二次不等式的解法
【方法总结】 含参一元二次不等式的解法有以下几种： 1、当△=b2-4ac≥0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样，解—元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集，就是这两个—元一次不等式组的解集的交集。 2、用配方法解—元二次不等式。 3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的"<0"或">0"而推出答案。 4、数轴穿根:用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式—端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点。 5、这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。这种方法叫做序轴标根法。 对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
◆类型1可以因式分解型
【例题2-1】（2023秋·高一课时练习）若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据得到，从而求出不等式的解集.
【详解】因为，所以，即，
则，解得：，
所以不等式的解集为，
故选：D.
【变式2-1】1. （2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先不等式转化为，再根据，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集.
【详解】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
所以不等式的解集为：.
故选：A.
【变式2-1】2. （2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于的不等式: .
【答案】答案见解析
【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集；
【详解】原不等式可化为..
（1）当时，有.
（2）当时， 式，∵，
①当时，，∴.
②当时，，，此时解集为.
③ 当时，.∴.
（3）当时，式，∵，∴.∴或.
综上所述，原不等式的解集为:
当时，为或；
当时，为；
当时，为；
当时，为；
当时，为.
【变式2-1】3. （2022秋·江西九江·高一校考期中）下列关于的不等式的解集，其中是常数，
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)解集见解析
【分析】（1）因式分解可得，再求解即可.
（2）讨论得出解集即可.
【详解】（1），
所以不等式的解集为；
（2）不等式可化为，
进一步得，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【变式2-1】4.（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求关于的不等式的解集.（）.
【答案】答案见解析
【分析】对进行分类讨论，由此求得不等式得解集.
【详解】原不等式等价于，
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式即为，解集为；
当时，，不等式的解集为.
◆类型2不能因式分解型
【例题2-2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）；
【答案】答案见解析
【分析】分别研究、、时不等式的解集即可.
【详解】，
当时，，无实数解，
当时，，的无实数解，
当时，，的解为，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
【变式2-2】1. （2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据判别式分类讨论或、和三种情况，即可求出一元二次不等式的解集.
【详解】由题意知，
①当，即或时，
方程的两根为，
所以解集为；
②若，即时，
当时，原不等式可化为，
即，所以，
当时，原不等式可化为，
即，所以；
③当，
即时，原不等式的解集为；
综上，当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式2-2】2. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】答案见解析
【分析】讨论、分别求出对应解集即可.
【详解】当时，原不等式解集为；
当时，则，解集为或；
【变式2-2】3. （2022秋·陕西宝鸡·高二统考期中）解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集.
【详解】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为；
当时，；
①当时，且；
令，解得：，；
若，则，的解为，
即不等式的解集为；
若，则，的解为或，
即不等式的解集为；
②当，即时，不等式为，解得：，
即不等式的解集为；
③当，即时，恒成立，即不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【变式2-2】4. （2023·高一课时练习）关于x的不等式（m、，）的解集可能是 ．（填所有符合条件的序号）①；②；③或；④．
【答案】③
【分析】确定函数开口向上，，故不等式的解集不可能为和，不等式解为或，排除④，得到答案.
【详解】，函数开口向上，，故不等式的解集不可能为和；
设两根为，，则不等式解为或，排除④；
故答案为：③
题型3分式不等式
【方法总结】 将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。一搬分式不等式的解法： 第一步去分母，第二步去括号，第三步移项第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。
若分式不等式右边为0，不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
若分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤:
1、移项将不等式右边化为0。
2、将不等式左边进行通分。
3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。
4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。
【例题3】（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】依题意不等式等价于，再根据一元二次不等式的解法计算可得.
【详解】不等式等价于，即，
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【变式3-1】1. （2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由于，故将化为，解一元二次不等式即得答案.
【详解】由于，
所以不等式即不等式，
即，解得或，
故不等式的解集为，
故答案为：
【变式3-1】2. （2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】将该不等式进行等价转化，从而利用数轴标根法即可得解.
【详解】不等式可化为，故等价于，
利用数轴标根法解得或，
即不等式的解集是或.
故答案为：或.
【变式3-1】3. （2019秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）解不等式组
【答案】
【分析】分别解各不等式，再取交集；
【详解】解：因为，解得或；
解，即，，得；
解，即，得；
综上可得原不等式的解集为
【变式3-1】4. （2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列不等式中，解集为或的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解绝对值不等式得到A正确，B错误；将分式不等式化为一元二次不等式求解；D选项可直接求解.
【详解】A选项，，即，所以或，
解得或，A正确；
B选项，或，解得或，B错误；
C选项，等价于，解得或，C错误；
D选项，变形为，解得或，D错误.
故选：A
题型4含参分式不等式求解
【方法总结】 解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。
【例题4】（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）当时，不等式的解是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】由，或，
由，或，
所以不等式的解是或，
故选：A
【变式4-1】1. （2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）已知，证明：.
【答案】（1）不等式的解为（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法运算求解；
（2）整理可得，进而结合基本不等式分析证明.
【详解】（1）令，解得或，
因为，所以不等式的解为；
（2）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，故不等式成立.
【变式4-1】2. （2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】先移项通分合并同类项得到，问题转化为且，再对，，，，五种情况进行分类讨论，即可得到不等式的解集.
【详解】由得，即，
故不等式转化为：且，
当时，原不等式为，即且，故，即不等式的解集为；
当时，原不等式为，解得，故不等式的解集为；
当时，的两个根为，，
当时，，，即，
故不等式的解集为或；
当时，，，故不等式的解集为或；
当时，，，故不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
【变式4-1】3. （2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可；
（2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可.
【详解】（1），
若，，解不等式得；
若，则不等式可化为：
①若，则，解不等式得或；
②若，则，解不等式得；
③若，则无解，即；
④若，则，解不等式得.
综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
（2）由，
若，则，即；
若，原不等式可化为：
若，则，解不等式得：或；
若，则，解不等式得：；
若，则，显然无解，即；
若，则，解不等式得：；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【变式4-1】4. （2021秋·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）已知关于的不等式．
(1)若2为该不等式的一个解，求实数的取值范围；
(2)当时，求解该不等式．
【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【分析】（1）将2代入不等式中即可求出实数的取值范围；
（2）利用分类讨论法求出的不同取值范围时的解集即可.
(1)
解：由题知，，且2为该不等式的一个解
等价于
解得或
实数的取值范围为：或
(2)
解：由题知，，
不等式等价于：
令
解得：，
①当时，即，得
此时，不等式得解集为：
②当时，即，得
此时不等式可化为：
此时，不等式无解
③当时，即，得
此时不等式得解集为：
综上所述，当时，不等式得解集为
当时，不等式的解集为空集
当时，不等式的解集为
【变式4-1】5.（2022秋·吉林松原·高一校考阶段练习）当时，关于的分式不等式的解区间为 ．
【答案】
【分析】由题设可得，根据已知条件判断的大小关系，即可求解区间.
【详解】由，
当时，有，
∴解区间为．
故答案为：.
题型5实际问题
【方法总结】 解不等式应用题的步骤
【例题5】（2023·全国·高一假期作业）某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
【答案】A
【分析】依题意利用 解出x的值，再结合x的取值范围，即得结果．
【详解】解：依题意， ，即，
解得或 （舍去），∵，∴.
∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．
故选：A．
【变式5-1】1. （2023秋·高一课时练习）某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）
A．１００台 B．１２０台 C．１５０台 D．１８０台
【答案】C
【详解】主要考查二次函数模型的应用．
解：依题意
利润 0，整理得，解得
，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台．
【变式5-1】2. （2021春·福建南平·高一统考期末）某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】解关于的一元二次不等式，再根据的取值确定即可.
【详解】解：由题意得：，解得或，
故、、、、、，共个月；
故选：C.
【变式5-1】3. （2021秋·高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为，同时预计日销售量增加的百分率为，为使日利润有所增加，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意求出关于的函数关系式，再解一元二次不等式可得结果.
【详解】设增加成本后的日利润为元．
.
要保证日利润有所增加，则，且，
即，解得.
所以为保证日利润有所增加，的取值范围是．
【变式5-1】4. （2021秋·陕西西安·高一西安高级中学校考期中）一服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)．
(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？
【答案】（1）当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元
（2）当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元．
【详解】解(1）设该厂的月获利为y,依题意得
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+16125
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元
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