资源简介

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2.1.1等式的性质与方程的解集——题型·技巧攻略
题型1等式性质 2
题型2恒等式 4
题型3因式分解 4
题型4完全平方式 6
题型5化简求值 7
题型6方程的解集 8
题型7含参取值范围问题 9
题型8新定义题型 10
知识点一：等式的基本性质
(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
整理如下：
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二：恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三：.“十字相乘法”
对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
特别提醒
运用x +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.
知识点四：方程的解集
1. 方程的有关概念方程
方程：含有未知数的等式叫方程.
方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.
方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
解方程：求方程的解的过程叫解方程.
2.一元一次方程
一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程.
满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.
表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.
题型1等式性质
【方法总结】 等式性质的延伸： ①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a； ②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（也叫等量代换）.
【例题1】（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【变式1-1】2. （2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-1】3. （2021秋·高一课时练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A． B．
C． D．
【变式1-1】4. （多选）（2021秋·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知，，，则下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型2恒等式
【方法总结】恒等式是进行代数变形的依据之一. 平方差公式、两数和（差）的平方公式都是恒等式.
【例题2】（2023·高一课时练习）下列等式中，哪些是恒等式？
（1）
（2）
（3）
（4）
【变式2-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】2. （2021·高一单元测试）若对任意实数，等式恒成立，则 ， .
【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
【变式2-1】4. （多选）（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
题型3因式分解
【方法总结】 （1）运用x2＋（a＋b）x＋ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. （2）对于x2+Cx+D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
【例题3】（2022秋·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式3-1】1. （2023·高一课时练习）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式3-1】2. （2023·高一课时练习）阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
.
这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边，，满足，判断的形状.
【变式3-1】3. （2023·高一课时练习）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
【变式3-1】4. （2023秋·全国·高一专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： .
题型4完全平方式
【例题4】（2023秋·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
【变式4-1】1. （2023秋·高一课时练习）若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是 ．
【变式4-1】2. （2021秋·湖南怀化·高一校考期中）若是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】3. （2023·高一课时练习）阅读材料：
对于多项式可以直接用公式法分解为的形式.但对于多项式就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在中先加上一项，再减去这项，使整个式子的值不变.
解题过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据上述材料，回答问题.
上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ）
A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法
题型5化简求值
【方法总结】化简的一般步骤为"一提""二套""三检查""四检验"：先看是否能提取公因式； （2）再看能否套用公式； （3）再检查因式分解是否彻底；
【例题5】（多选）（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）若正数满足，则的值可能为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【变式5-1】1. （2021秋·高一单元测试）若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ）
A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20
【变式5-1】2. （多选）（2023秋·高一单元测试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【变式5-1】3. （2022秋·北京·高一校考阶段练习）如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式 .
【变式5-1】4. （2023·高一课时练习）已知，，求代数式的值.
题型6方程的解集
【例题6】（2022秋·高一单元测试）若，且x＋y＋z＝102，则x＝ .
【变式6-1】1. （2022秋·山东日照·高一校考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升 设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】2. （2023·高一课时练习）已知关于x的方程与有相同的解集，求a的值及方程的解集.
【变式6-1】3. （2023·高一课时练习）求关于的方程的解集，其中是常数.
【变式6-1】4. （2021·高一课时练习）（1）是否存在实数，，使得等式成立？若存在，写出所有实数对的集合；若不存在，请说明理由；
（2）计算：．
【变式6-1】5. （2020秋·山东·高一校联考阶段练习）某人的智能手机密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（ ）
A．201126 B．210612 C．110631 D．120621
题型7含参取值范围问题
【例题7】（2023·高一课时练习）关于x的方程的解集为，则实数a的值为 .
【变式7-1】1. （2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【变式7-1】2. （2023·高一单元测试）若关于x，y的方程组与的解集相等，则 ．
【变式7-1】3. （2022秋·高一单元测试）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是 .
【变式7-1】4. （2023·上海·高一专题练习）已知，则当且仅当a，b满足 .时，成立.
题型8新定义题型
【例题8】（2023·上海·高一专题练习）我们用记号“”表示两个正整数间的整除关系，如表示整除．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．① ；② ．
【变式8-1】1. （2022·高一单元测试）一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为 ．
【变式8-1】2. （2022·高一课时练习）将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式若，则 .
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2.1.1等式的性质与方程的解集——题型·技巧攻略
题型1等式性质 2
题型2恒等式 5
题型3因式分解 8
题型4完全平方式 12
题型5化简求值 14
题型6方程的解集 17
题型7含参取值范围问题 20
题型8新定义题型 22
知识点一：等式的基本性质
(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
整理如下：
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二：恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三：.“十字相乘法”
对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
特别提醒
运用x +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.
知识点四：方程的解集
1. 方程的有关概念方程
方程：含有未知数的等式叫方程.
方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.
方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
解方程：求方程的解的过程叫解方程.
2.一元一次方程
一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程.
满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.
表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.
题型1等式性质
【方法总结】 等式性质的延伸： ①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a； ②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（也叫等量代换）.
【例题1】（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可
【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误；
对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；
对于C，当，，满足，但得不到，故错误；
对于D，当时，无法得到，故错误；
故选：B
【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】取，可判断A； 或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D
【详解】选项A，当时，显然不成立；
选项B，如果，那么或，显然不成立；
选项C，当时，无意义，不成立；
选项D，如果，则，故，即，成立
故选：D
【变式1-1】2. （2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C.
【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题；
对于B，，
所以，故B为真命题；
对于C，当时，无意义，故C为假命题；
对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题.
故选：C.
【变式1-1】3. （2021秋·高一课时练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式.
【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为，
因为两个图形中阴影部分的面积相等，
所以.
故选：B
【变式1-1】4. （多选）（2021秋·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知，，，则下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题设条件，应用二次函数、不等式的性质及基本不等式判断各选项的正误即可.
【详解】A：由，则，可得，，故错误；
B：由题设，得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；
C：由，当且仅当时取等号，故错误；
D：若，又，解得，显然满足条件，故正确.
故选：ABC．
题型2恒等式
【方法总结】恒等式是进行代数变形的依据之一. 平方差公式、两数和（差）的平方公式都是恒等式.
【例题2】（2023·高一课时练习）下列等式中，哪些是恒等式？
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（2）（4）
【解析】利用实数运算律和乘法公式可得正确答案.
【详解】（1）满足加法交换律，故（1）正确；
（2）满足加法结合律，故（2）正确；
（3），故（3）错误；
（4）利用平方差公式可得正确，故（4）正确.
综上所述，（1）（2）（4）是恒等式.
【点睛】本题考查利用实数运算律和乘法公式，考查基本运算能力.
【变式2-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等式两边对任意使式子有意义的成立，依次验证即可
【详解】选项A，只有时，等式成立，故不是恒等式，A错；
选项B，对任意成立，B对；
选项C，只有时，等式成立，故不是恒等式，C错；
选项D，，故不是恒等式，D错
故选：B
【变式2-1】2. （2021·高一单元测试）若对任意实数，等式恒成立，则 ， .
【答案】 3 2
【分析】对应系数相等即可直接求出结果.
【详解】对应系数相等可得，
故答案为：3；2.
【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
【答案】.
【分析】根据恒成立，将式子变形为对任意实数m恒成立，即可由且求解.
【详解】由于对任意实数m恒成立，
则对任意实数m恒成立，因此且，
所以，
当，当，
故满足条件的实数对的集合为
【变式2-1】4. （多选）（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用立方和公式化简题设中的恒等式，从而可求的值.
【详解】因为，
故对任意实数都成立即为：
对任意实数都成立，
所以即，故，
故选：CD.
题型3因式分解
【方法总结】 （1）运用x2＋（a＋b）x＋ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. （2）对于x2+Cx+D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
【例题3】（2022秋·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】由十字相乘法即得.
【详解】（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=．
【变式3-1】1. （2023·高一课时练习）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）直接利用分组分解法分解因式；
（2）利用配方法，再借助平方差公式分解；
（3）利用配凑法得原式，再提取公因式，利用十字相乘法分解因式；
（4）直接利用分组分解法分解因式．
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）（方法一）原式
.
（方法二）原式
.
【点睛】本题主要考查分组分解法分解因式，考查提取公因式法、十字相乘法分解因式，属于中档题
【变式3-1】2. （2023·高一课时练习）阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
.
这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边，，满足，判断的形状.
【答案】（1）；（2）等腰三角形.
【分析】（1）利用分组分解法和平方差公式，对代数式进行因式分解.
（2）利用分组分解法和提公因式法，对代数式进行因式分解.
【详解】（1）.
（2） ， ，
或， 的形状为等腰三角形.
【点睛】本小题主要考查分组分解法、提公因式法因式分解，考查平方差公式，属于基础题.
【变式3-1】3. （2023·高一课时练习）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：
（1）x2+6x+8；
（2）x2﹣x﹣6；
（3）x2﹣5xy+6y2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．
【答案】（1）（2）；（3）（4）.
【分析】根据题意观察常数项和一次项系数的关系，看是否满足题设条件，然后分别求解即可.
【详解】；
；
；
．
【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力,其实质考查了运用十字相乘法分解因式.对于形如 的多项式,进行因式分解时,关键是要找到两个数,使这两个数的乘积等于常数项,同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数.分解时要注意观察、尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
【变式3-1】4. （2023秋·全国·高一专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： .
【答案】
【分析】根据矩形的面积公式，求得总面积的表达式，进而求得恒等式.
【详解】由面积可得.
故答案为
【点睛】本小题主要考查利用几何图形的面积对二次三项式因式分解，属于基础题.
题型4完全平方式
【例题4】（2023秋·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
【答案】
【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5），
=.
故答案为：，，，，
【变式4-1】1. （2023秋·高一课时练习）若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】9或﹣3
【分析】根据完全平方式中间项系数的特点即可求解.
【详解】∵a2+（k-3）a+9是一个完全平方式，
∴k-3=±6，
解得：k=9或-3，
故答案为9或-3
【点睛】本题主要考查了完全平方式的知识，属于基础题.
【变式4-1】2. （2021秋·湖南怀化·高一校考期中）若是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，选D.
【变式4-1】3. （2023·高一课时练习）阅读材料：
对于多项式可以直接用公式法分解为的形式.但对于多项式就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在中先加上一项，再减去这项，使整个式子的值不变.
解题过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据上述材料，回答问题.
上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ）
A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法
【答案】C
【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项.
【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.
故选C.
【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题.
题型5化简求值
【方法总结】化简的一般步骤为"一提""二套""三检查""四检验"：先看是否能提取公因式； （2）再看能否套用公式； （3）再检查因式分解是否彻底；
【例题5】（多选）（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）若正数满足，则的值可能为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】BCD
【分析】将带入原式化简，结合完全平方公式及不等式性质计算即可.
【详解】由，
即，
因为，所以，
由，
又，
故，
因为，即A错误，B、C、D均符合题意.
故选：BCD.
【变式5-1】1. （2021秋·高一单元测试）若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ）
A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20
【答案】B
【解析】利用韦达定理可求的值.
【详解】因为，，故为方程的两个根，
故.
又
，
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.
【变式5-1】2. （多选）（2023秋·高一单元测试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】BD
【分析】由x2＋xy－2y2＝0得或，分别代入原式可得结果.
【详解】由x2＋xy－2y2＝0得，得或，
当时， ；
当时， .
故选：BD.
【点睛】本题考查了分解因式，属于基础题.
【变式5-1】3. （2022秋·北京·高一校考阶段练习）如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式 .
【答案】2031
【分析】由题可判断，为方程的不相等的两个实根，结合韦达定理可得，，整理代数式即可求解.
【详解】由题可知，，为方程的不相等的两个实根，
则根据韦达定理可得：，，
所以
，
故答案为：2031
【变式5-1】4. （2023·高一课时练习）已知，，求代数式的值.
【答案】
【解析】分解因式，再代值计算．
【详解】解：.
【点睛】本题主要考查多项式的求值，通常先分解因式，属于基础题．
题型6方程的解集
【例题6】（2022秋·高一单元测试）若，且x＋y＋z＝102，则x＝ .
【答案】26
【分析】根据题意列方程组，解方程组求得的值.
【详解】由已知得
由①得，④
由②得，⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查方程组的解法，属于基础题.
【变式6-1】1. （2022秋·山东日照·高一校考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升 设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.
【详解】解：上下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，下禾束之“实"相当，即，同理有，所以方程组为.
故选：B.
【变式6-1】2. （2023·高一课时练习）已知关于x的方程与有相同的解集，求a的值及方程的解集.
【答案】，方程的解集为
【解析】先分别解出两个方程，再根据集合相等求出答案．
【详解】解：方程化为，
整理，得，解得.
方程化为,
整理，得，解得.
由题意，得，解得，所以.
综上，，方程的解集为.
【点睛】本题主要考查根据集合相等求参数的值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题
【变式6-1】3. （2023·高一课时练习）求关于的方程的解集，其中是常数.
【答案】见解析
【解析】对分三种情况进行讨论，即或或，.
【详解】当时，方程的解集为，
当时，方程的解集为，
当时，时，方程的解集为.
【点睛】本题考查一元一次方程解的讨论，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
【变式6-1】4. （2021·高一课时练习）（1）是否存在实数，，使得等式成立？若存在，写出所有实数对的集合；若不存在，请说明理由；
（2）计算：．
【答案】（1）存在，；（2）．
【分析】（1）化简可得，且，整理即得解；
（2）在（1）中令，，取，将5个式子叠加即得解
【详解】（1）由题意，
，且，即
故所有满足条件的实数对的集合为．
（2）在（1）中令，，
有
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
将5个式子左右叠加可得：
【变式6-1】5. （2020秋·山东·高一校联考阶段练习）某人的智能手机密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（ ）
A．201126 B．210612 C．110631 D．120621
【答案】D
【分析】设该密码对应的六位数字是abcdef，根据题意，由求解.
【详解】设该密码对应的六位数字是abcdef，
由题意得：
即，
解得，
所以该密码对应的六位数字是120621
故选：D
题型7含参取值范围问题
【例题7】（2023·高一课时练习）关于x的方程的解集为，则实数a的值为 .
【答案】1
【分析】根据一元一次方程的解的即可求解.
【详解】由得，
若该方程的解为空集，则且，解得，
故答案为：1
【变式7-1】1. （2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【答案】2
【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，即，
关于，的二元一次方程组的解集为，
关于的方程的无解，
，即，
故答案为：2．
【变式7-1】2. （2023·高一单元测试）若关于x，y的方程组与的解集相等，则 ．
【答案】4
【分析】根据已知可知，4个方程有公共解，可以先求出的解，进而代入，即可得出的值.然后求出的值，代入并检验，即可得出答案.
【详解】由已知可知，4个方程有公共解，
先求解方程组可得，，
显然该解满足方程，
代入整理可得，解得或.
当时，，代入可知，此时有；
当时，，代入可知，不满足.
综上所述，，，
所以.
故答案为：4.
【变式7-1】3. （2022秋·高一单元测试）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是 .
【答案】且
【分析】直接求解分式方程，然后由解为正数和分母不为零可求出的取值范围
【详解】方程解得，
依题意得且，
解得且4，
故答案为：且
【变式7-1】4. （2023·上海·高一专题练习）已知，则当且仅当a，b满足 .时，成立.
【答案】或
【解析】按，讨论，可得等式成立．
【详解】当时，，成立；
当时，，成立；
故答案为：或.
题型8新定义题型
【例题8】（2023·上海·高一专题练习）我们用记号“”表示两个正整数间的整除关系，如表示整除．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．① ；② ．
【答案】 若，，则 若，，则
【分析】本题首先可通过题意明确记号“”的含义，然后改写整除关系的两个性质即可.
【详解】若整除，整除，则整除
即若，，则；
若整除，整除，则整除，
即若，，则，
故答案为：若，，则；若，，则.
【变式8-1】1. （2022·高一单元测试）一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为 ．
【答案】
【分析】利用“相伴数对”的定义求解.
【详解】由题意，得，
解得．
故答案为：
【变式8-1】2. （2022·高一课时练习）将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式若，则 .
【答案】或.
【分析】根据行列式的定义列方程，因式分解后求得方程的解.
【详解】由题意得.整理得，因式分解得，所以或，解得或.
故答案为或..
【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题.
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