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2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系——题型·技巧攻略
题型2方程根的个数的判断及其应用 3
题型3根与系数的关系与求值问题 4
题型4构造一元二次方程法 5
题型5根与系数的关系与范围问题 5
知识点：
1．一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为{，}；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ<0时，方程的解集为 ．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。
2．一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
题型1一元二次方程的解
【例题1】（2023·高一课时练习）求下列方程的解集：
（1）；
（2）．
（3）；
（3）.
（5）；
（6）
【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】2. （2023·高一课时练习）若关于x的方程的一个根是，则方程的另一个根是 .
【变式1-1】3. （2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【变式1-1】4. （多选）（2022秋·重庆璧山·高一统考阶段练习）已知， 是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式1-1】5.（2021秋·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）设一元二次方程的两个根分别为、，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为、、，则以下正确命题的序号是 .
①；②；③；④．
【变式1-1】6.（2023·全国·高三专题练习）设，解关于x的方程.
题型2方程根的个数的判断及其应用
【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
【变式2-1】1. （2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】2. （2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ．
【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
【变式2-1】4. （2020秋·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程.
(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.
题型3根与系数的关系与求值问题
【例题3】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ）
A．或6 B．6 C． D．
【变式3-1】1. （2020秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）若关于的方程的两根分别为，则（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【变式3-1】2. （2021秋·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【变式3-1】3. （2023·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．方程的两个实数根、满足
B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根
C．若关于的一元二次方程的两实数根，则
D．已知方程的两实数根、，则，
【变式3-1】4. （2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程的两个实根为，则
【变式3-1】5.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知p，q是关于x的一元二次方程的两根，其中，则的值（ ）
A．仅与a有关 B．仅与b有关
C．与ab均有关 D．是与ab无关的定值
【变式3-1】6.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知一元二次方程的两根为和，的两根为和，则所有可能的值所组成的集合为 ．
题型4构造一元二次方程法
【例题4】（2023·高一课时练习）已知，且，则 .
【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则 ．
【变式4-1】2. （2023·上海·高一专题练习）若，，则以为根的一元二次方程可以是 ．
【变式4-1】3. （2023春·湖南长沙·高一校联考开学考试）已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是 .
【变式4-1】4. （2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知一元二次方程的两个实根分别为，则以和为根的一元二次方程可以是 .
题型5根与系数的关系与范围问题
【例题5】（2022秋·高一单元测试）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1
【变式5-1】1. （2023·高一课时练习）已知抛物线．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
【变式5-1】2. （2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】3. （2021·高一课时练习）已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件．
【变式5-1】4. （2022秋·新疆和田·高一统考期中）设函数，若，
(1)求证：方程有实根.
(2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围.
【变式5-1】5.（2022秋·河南南阳·高一校联考期中）表示不大于实数x的最大整数，例如．若均为非零实数，为正数，且，，则的取值集合为 ．
【变式5-1】6. （2022·江苏·高一专题练习）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ．
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2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系——题型·技巧攻略
题型2方程根的个数的判断及其应用 7
题型3根与系数的关系与求值问题 10
题型4构造一元二次方程法 14
题型5根与系数的关系与范围问题 16
知识点：
1．一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为{，}；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ<0时，方程的解集为 ．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。
2．一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
题型1一元二次方程的解
【例题1】（2023·高一课时练习）求下列方程的解集：
（1）；
（2）．
（3）；
（3）.
（5）；
（6）
【答案】（1）；（2）（3）；（4）. （5）；（6）.
【解析】（1）移项后对方程两边平方，将方程化为一元二次方程，求解后注意检验方程的根；
（2）令，解得关于的一元二次方程，再反解即可.
（3）先换元，将原方程转化为一元二次方程，求出其解，再回解即可得到原方程的解集；
（4）先换元，将原方程转化为一元二次方程，求出其解，再回解，即可得到原方程的解集．
（5）本题首先可以求解方程，然后将方程的根写成集合的形式即可；
（6）本题首先可以求解方程，然后将方程的根写出集合的形式即可.
【详解】（1）移项，得．
两边平方，化简得，
解得或．
经检验，是原方程的根，是增根．
所以原方程的解集为．
（2）令，
则原方程化为，
解得，（舍去）．
所以，即，
解得，．
所以原方程的解集为．
（3）令，则方程可转化为，即，解得或.又，
，解得.
方程的解集为.
（4）令（，且），则方程可转化为，
即，解得或.
当时，，解得；
当时，，解得.
方程的解集为.
（5），，
解得或，故、、、，
方程的解集为.
（6），，，
解得或，
方程的解集为.
【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的判别式，可判断方程没有实数根，即可得正确答案.
【详解】对于选项：因为；所以方程有两个相等的实数根，选项不合题意；
对于选项B： ，所以方程没有实数根，选项B符合题意；
对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
对于选项D：因为，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．
故选：B.
【变式1-1】2. （2023·高一课时练习）若关于x的方程的一个根是，则方程的另一个根是 .
【答案】1
【分析】利用根据与系数的关系求解即可.
【详解】设方程的另一个根为，
因为关于x的方程的一个根是，
所以，解得，，
故答案为：1.
【变式1-1】3. （2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据题意得，则得到，解出即可.
【详解】由题意,令,则,
整理得，解得，，，
故选：B.
【变式1-1】4. （多选）（2022秋·重庆璧山·高一统考阶段练习）已知， 是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A.根据判别式即可求得k的取值范围；B，C，D选项，先用韦达定理求出以及的值，变形化简可以推出.
【详解】由已知得，，解得或，A正确；
由韦达定理可得，，则
∵
∴，B正确；
当时，，此时无意义；
当时，
当k=0时，，C错误；
当时，，此时无意义；
当时，，D正确.
故选：ABD.
【变式1-1】5.（2021秋·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）设一元二次方程的两个根分别为、，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为、、，则以下正确命题的序号是 .
①；②；③；④．
【答案】①②④
【分析】由已知条件可的，结合一元三次方程根与系数的关系可判断①②③④的正误.
【详解】由题意可得
，
所以，，则，①对；
，则，②对；
，则，④对；
，③错.
故答案为：①②④.
【变式1-1】6.（2023·全国·高三专题练习）设，解关于x的方程.
【答案】，，.
【分析】把原方程进行参数与未知数形式的转变，将原方程看成是关于k的二次方程（即高次向低次转化），就可得到x与k之间的数学关系，再利用给定的k的范围来求出x，即原方程的解.
【详解】因为，
将其看成关于k的二次方程，则，
所以利用求根公式求得或，
∴或.
对于方程，其.
∵，∴，
∴其两根为，，
所以关于x的方程的解为，，.
题型2方程根的个数的判断及其应用
【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性.
【详解】充分性：∵，
∴方程的判别式，且，
∴方程有两个同号且不相等的实根．
必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，
则有，解得.
综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
【变式2-1】1. （2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用判别式和韦达定理解决.
【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，
则有，解得.
故选：C
【变式2-1】2. （2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数零点问题可转化为对应方程的根的问题，由题意可得出判别式，两根之和小于0，两根之积大于0，得出的范围即可.
【详解】因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以可转化为的两个根均为负数，则，解得m的取值范围为，
故答案为：
【变式2-1】3. （2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】.
【分析】由题意可得且，从而可得k的取值范围.
【详解】因为关于x的一元二次方程有实数根，
所以且，
即且，
解得且，
所以k的取值范围是，
故答案为：.
【变式2-1】4. （2020秋·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程.
(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.
【答案】(1)或.
(2)或
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据根的情况得出判别式分类讨论，再应用根与系数关系列不等式组求解即可；
（2）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可；
（3）结合（1）（2）写出结论即可.
【详解】（1）由题意得，
若，化简得，解得，此时无实数根，满足题意；
若，解得，设此时两实数根分别为，
则由题意得，，则，
即，解得或，
综上或.
（2），解得，
由题意得，，即，解得或.
（3），解得，
两根恰有一个是正整数,由题意得或，即，解得.
,且k为整数,符合条件的k不存在.
题型3根与系数的关系与求值问题
【例题3】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ）
A．或6 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解.
【详解】关于x的方程有两个实数根，
，解得，
实数k的取值范围为，
根据韦达定理可得，，
，
，即，
解得或 (不符合题意，舍去)，
实数k的值为.
故选：C.
【变式3-1】1. （2020秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）若关于的方程的两根分别为，则（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【答案】D
【分析】由根与系数关系确定方程中的参数，即可求结果.
【详解】由根与系数关系知：，则.
故选：D
【变式3-1】2. （2021秋·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入 中即可求出结论．
【详解】∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
故选：B.
【变式3-1】3. （2023·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．方程的两个实数根、满足
B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根
C．若关于的一元二次方程的两实数根，则
D．已知方程的两实数根、，则，
【答案】C
【分析】利用判别式可判断A选项；取可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，，故方程无实根，A错；
对于B选项，对于方程，当时，方程无实根，B错；
对于C选项，解方程可得，，满足，C对；
对于D选项，方程即为，，
由韦达定理可得，，D错.
故选：C.
【变式3-1】4. （2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程的两个实根为，则
【答案】
【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.
【详解】因为一元二次方程的两个实根为，
所以.
故
故答案为：
【变式3-1】5.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知p，q是关于x的一元二次方程的两根，其中，则的值（ ）
A．仅与a有关 B．仅与b有关
C．与ab均有关 D．是与ab无关的定值
【答案】D
【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，及满足方程化简后可求解.
【详解】因为p，q是关于x的一元二次方程的两根，
所以由韦达定理得，
又，所以，
同理，
所以.
故选：D
【变式3-1】6.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知一元二次方程的两根为和，的两根为和，则所有可能的值所组成的集合为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，的关系式，进而可得，再分别求当或时的值即可．
【详解】由韦达定理得，
所以，所以，
若，则，，，此时；
若，则，，此时，
综上，所有可能的值所组成的集合为．
故答案为：．
题型4构造一元二次方程法
【例题4】（2023·高一课时练习）已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解.
【详解】由题可知，为一元二次方程的两个根，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则 ．
【答案】11
【分析】题意说明是一元二次方程的两个实数根，由韦达定理得，，代入求值式计算即可．
【详解】由题意可知a，b是方程x2－3x－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a＋b＝3，ab＝－1，
所以．
故答案为：11.
【变式4-1】2. （2023·上海·高一专题练习）若，，则以为根的一元二次方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一，只需满足韦达定理的结论即可）
【分析】由已知等式可求得，结合韦达定理可写出满足题意的一元二次方程.
【详解】，，又，
以为根的一元二次方程可以是：.
故答案为：（答案不唯一，只需满足韦达定理的结论即可）.
【变式4-1】3. （2023春·湖南长沙·高一校联考开学考试）已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案.
【详解】由，则，由，则，
利用配方法，可得，由，解得，
故答案为：（答案不唯一）.
【变式4-1】4. （2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知一元二次方程的两个实根分别为，则以和为根的一元二次方程可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用二次方程根与系数的关系得到的值，从而求得的值，由此即可得解.
【详解】因为一元二次方程的两个实根分别为，
所以，
所以，
所以以和为根的一元二次方程可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
题型5根与系数的关系与范围问题
【例题5】（2022秋·高一单元测试）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1
【答案】B
【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，用韦达定理表示出，结合方程有两实根条件，把问题转化为含参数的方程来解即可.
【详解】设方程的两个实根分别为，则.
由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，
，
解得：或，
又方程有两个实数根，
，得，.
故选：B
【变式5-1】1. （2023·高一课时练习）已知抛物线．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
【答案】（1）m∈R，且m≠1，m≠0；（2）{m|0【解析】（1）由题意可知m≠1，且Δ>0，解不等式即可得m的范围.
（2）可设方程的两实根为x1，x2，由根与系数关系得，，然后代入即可求解.
【详解】(1)根据题意，m≠1且Δ>0，
由Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，
得m2>0，所以m∈R，且m≠1，m≠0．
(2)在m≠0且m≠1的条件下，设方程的两实根为x1，x2，由根与系数关系得，
则
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2．
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2．
所以m的取值范围是{m|0【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在与根与系数关系的应用，解题的关键是具备一定的计算及推理的能力
【变式5-1】2. （2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可
【详解】因为方程的两根分别是和，
所以，解得或，
，，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【变式5-1】3. （2021·高一课时练习）已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件．
【答案】证明见解析
【分析】由且得到a与b的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案﹒
【详解】由且，得，，
则方程的判别式，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为、，
因为，，所以且
【变式5-1】4. （2022秋·新疆和田·高一统考期中）设函数，若，
(1)求证：方程有实根.
(2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出，再利用判别式法可判断出方程有实根；
（2）利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）证明：若，由可得，
所以，，与已知条件矛盾，所以，，
对于方程，，
所以，方程必有实根.
（2）解：由韦达定理可得，，
因为，则，
所以，
，
因此，.
【变式5-1】5.（2022秋·河南南阳·高一校联考期中）表示不大于实数x的最大整数，例如．若均为非零实数，为正数，且，，则的取值集合为 ．
【答案】
【分析】化简得到，，据此列出为实数根的一元二次方程，利用判别式求出的范围，进而可求解
【详解】根据题意可得，，
则为一元二次方程的两个实数根，
，解得
又，所以．
由，可得的取值集合为．
故答案为：
【变式5-1】6. （2022·江苏·高一专题练习）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】已知关于x的方程有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①，方程有4个根；②，方程有两个正根；③，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.
【详解】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
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