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2.2.1不等式及其性质——题型·技巧攻略
题型1用不等式(组)表示不等关系 2
题型2实数的大小比较 6
◆类型1作差法 6
◆类型2作商法 9
题型3不等式的性质及应用 12
题型4代数式的取值范围问题 15
◆类型1直接法 15
◆类型2待定系数法 18
题型5证明题 21
知识点一.基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 如果a>b a－b>0. 如果a＝b a－b＝0. 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
知识点二.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
题型1用不等式(组)表示不等关系
【例题1】（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
【答案】（1）；（2）
【分析】由不等式的表示方法解决.
【详解】（1）由题意，直接用不等式表示可得.
（2）由题意，直接用不等式表示可得.
【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）用不等式表示下列关系.
(1)为实数，而且大于1不大于6；
(2)与的平方和不小于2且不大于10.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）不大于即小于等于，用符号可表示为，即；
（2）不小于即大于等于，平方和可表示为，即.
【详解】（1）为实数且大于1可表示为，不大于6可表示为，
所以用不等式可表示为；
（2）与的平方和不小于2可表示为，不大于10可表示为；
所以用不等式可表示为.
【变式1-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【答案】(1)若，，则．
(2)若，，且，则．
【分析】（1）设糖水b克，含糖a克，得到糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为求解；
（2）设淡糖水克，含糖克，得到淡糖水浓度为，设浓糖水克，含糖克，得到浓糖水浓度为，从而混合后的糖水浓度为求解.
【详解】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，
加入m克糖后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若，，则．
（2）设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为，
设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
所提炼出的不等式为：若，，且，则．
【变式1-1】3. （多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意直接列不等式即可求解.
【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，
所以，
因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，
所以.
故选：BC.
【变式1-1】4. （2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)
(2) (其中)
(3)(其中)
【分析】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.
【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝.
∵a，b，m为正实数，且，，
∴，即.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证： (其中).
证明：，且b＞a＞0，d＞c＞0，
，即，
，
即，
，
即
（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证： (其中b＞a＞0，m＞0).
证明：
题型2实数的大小比较
【方法总结】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法： （1）作差比较法；若，则； （2）利用作商比较法.当，，且时，.
◆类型1作差法
【例题2-1】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作差法比较出，，从而得到.
【详解】，故，
，故，
综上：
故选：A
【变式2-1】1. （2023·全国·高一课堂例题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解.
【详解】因为，，
则，
又因为，所以，所以，可得，所以．
故选：C
【变式2-1】2. （2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
【变式2-1】3. （2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.
【详解】由，得，
于是，即，
而，且三个实数互不相等，因此，
所以的大小关系是.
故选：D
【变式2-1】4. （2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】平方后比较大小即可
【详解】由题意得，，而，得，
故选：A
【变式2-1】5.（2022秋·四川泸州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得，过点C作交以AB为直径的半圆弧于D，连接OD，作，垂足为E．
(1)请用a，b分别表示出CD，DE；
(2)写出CD与DE的大小关系，并证明．
【答案】(1)，
(2)，证明见详解
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解；（2）利用作差法判断大小.
【详解】（1）连接，则，∴
∵，则
∴，则
∴，则，即
由题意可得：
同理可证：，则
∴
（2）
证明如下：
∵，当且仅当，即时等号成立
∴
◆类型2作商法
【例题2-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.
【详解】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
【变式2-2】1. （2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
【变式2-2】2. （2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
【变式2-2】3. （2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ．
【答案】≥
【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为， 则
由
所以
故答案为：
【变式2-2】4. （2021·高一课时练习）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为 ．
【答案】a【分析】先求出，再证明，即得解.
【详解】，
∵，∴
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，
即a故答案为：a【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
题型3不等式的性质及应用
【方法总结】 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 不等式的性质 （1）如果，那么，该性质称为 对称性 ； （2）如果，那么 > ，该性质称为 传递性 ； （3）如果，则，反之也成立，该性质称为 可加性 ； （4）如果，则 > ；如果，则 < ； （5）如果，则 > ； （6）如果，则 > ； （7）如果，，则 > ．
【例题3】（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．
【详解】取，则，故A错误；
取，则，故B错误；
由于，所以，则，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：C．
【变式3-1】1. （2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】对于A，当时，如，时成立，故A错误；
对于B，当，显然，但，故B错误；
对于C，当时，显然，但，故C错误；
对于D，，则，故D正确．
故选：D．
【变式3-1】2. （2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若、为实数，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，若，则，此时有，
若，则，此时有，
所以，若，则“或”，
即“”“或”；
若“或”，若，不妨取，，则；
若，不妨取，，则.
所以，“”“或”.
因此，“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-1】3. （2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知命题且，命题，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分且不必要条件
C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当且时，由不等式的基本性质可得，即，
若，取，，命题成立，但命题不成立，即，
因此，是的充分且不必要条件，
故选：B.
【变式3-1】4. （2022秋·江苏徐州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【分析】特殊值法判断A、B、C，由不等式性质判断D.
【详解】A：时，，错；
B：时，，错；
C：当时，，错；
D：，则，故，对.
故选：D
题型4代数式的取值范围问题
【方法总结】 方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解
◆类型1直接法
【例题4-1】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案．
【详解】因为，，所以，，所以．
故选：D.
【变式4-1】1. （2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由范围求得的范围，结合不等式的性质即可求得结果.
【详解】因为，则，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
【变式4-1】2. ．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；
（2）已知，试求的取值范围
【答案】（1），；（2）
【分析】根据不等式的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由于，，
，即；
又，
，
的取值范围是，的取值范围是；
(2)，
，
，
又，
，故.
【变式4-1】3.（多选） （2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】实数x，y满足，，
由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确；
由，得，B选项错误；
由，得，D选项正确.
故选：ACD
【变式4-1】4. （2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知，分别求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围；
(3)的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围.
【详解】（1）由题可知，，，所以，
则的取值范围为；
（2）由题可知，，，所以，
则的取值范围为；
（3）由题可知，，，所以，
则的取值范围为.
◆类型2待定系数法
【例题4-2】（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知，.则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质求得正确答案.
【详解】设，
即，解得，
由，，
得，，
所以.
故选：D
【变式4-2】1. （2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，解得，根据不等式性质求出.
【详解】设，
则，解得，
因为，，
所以，
所以，即.
故选：B
【变式4-2】2. （2023春·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，所以，因为，
所以．因为，所以，
故．
故选：A
【变式4-2】3. （2023·全国·高三专题练习）已知－1【答案】
【分析】由不等式的基本性质求解即可.
【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则，所以，即.
又∵－1∴，即，
∴3x＋2y的取值范围为.
【变式4-2】4. （2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
【答案】
【分析】根据题意以整体，结合不等式的性质分析运算.
【详解】设，
由题意可得，解得，
所以，
由，可得，
所以，即，
故的取值范围是.
题型5证明题
【例题5】（2023秋·高一课时练习）（1）已知，求证：；
（2）若.求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】由不等式的性质证明即可.
【详解】（1），，，
而，即，.
（2），
，即，
，即.
【变式5-1】1. （2023秋·高一课时练习）（1）若，证明：.
（2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用分析法进行证明；
（2）利用反证法进行证明，先假设a，b，c均小于1，推出，矛盾，假设不成立，从而得到证明.
【详解】（1）要证，
只需证，
只需证,即，
即证.
因为，所以，
即成立，
所以原不等式成立．
（2）假设a，b，c均小于1，即，则有，
而，
这与矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.
【变式5-1】2. （2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
【变式5-1】3. （2023秋·高一课时练习）阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.
【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，
所以原不等式成立.
【变式5-1】4. （2023·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明+ +，对不等式两边同时平方后只需证明 ，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以 ，
即 ；所以 ，即 ．
（2）要证，
只需证 ，
即证；
即证 ，
即证；即证，显然成立；
所以
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2.2.1不等式及其性质——题型·技巧攻略
题型1用不等式(组)表示不等关系 2
题型2实数的大小比较 3
◆类型1作差法 4
◆类型2作商法 5
题型3不等式的性质及应用 5
题型4代数式的取值范围问题 7
◆类型1直接法 7
◆类型2待定系数法 8
题型5证明题 9
知识点一.基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 如果a>b a－b>0. 如果a＝b a－b＝0. 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
知识点二.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
题型1用不等式(组)表示不等关系
【例题1】（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）用不等式表示下列关系.
(1)为实数，而且大于1不大于6；
(2)与的平方和不小于2且不大于10.
【变式1-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【变式1-1】3. （多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】4. （2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
题型2实数的大小比较
【方法总结】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法： （1）作差比较法；若，则； （2）利用作商比较法.当，，且时，.
◆类型1作差法
【例题2-1】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】1. （2023·全国·高一课堂例题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式2-1】2. （2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定
【变式2-1】3. （2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】4. （2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】5.（2022秋·四川泸州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得，过点C作交以AB为直径的半圆弧于D，连接OD，作，垂足为E．
(1)请用a，b分别表示出CD，DE；
(2)写出CD与DE的大小关系，并证明．
◆类型2作商法
【例题2-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【变式2-2】1. （2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【变式2-2】2. （2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：．
【变式2-2】3. （2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ．
【变式2-2】4. （2021·高一课时练习）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为 ．
题型3不等式的性质及应用
【方法总结】 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 不等式的性质 （1）如果，那么，该性质称为 对称性 ； （2）如果，那么 > ，该性质称为 传递性 ； （3）如果，则，反之也成立，该性质称为 可加性 ； （4）如果，则 > ；如果，则 < ； （5）如果，则 > ； （6）如果，则 > ； （7）如果，，则 > ．
【例题3】（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3-1】1. （2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3-1】2. （2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若、为实数，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】3. （2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知命题且，命题，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分且不必要条件
C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】4. （2022秋·江苏徐州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
题型4代数式的取值范围问题
【方法总结】 方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解 方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解
◆类型1直接法
【例题4-1】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】1. （2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】2. ．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；
（2）已知，试求的取值范围
【变式4-1】3.（多选） （2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】4. （2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知，分别求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围；
(3)的取值范围.
◆类型2待定系数法
【例题4-2】（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）已知，.则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】1. （2022秋·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】2. （2023春·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】3. （2023·全国·高三专题练习）已知－1【变式4-2】4. （2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
题型5证明题
【例题5】（2023秋·高一课时练习）（1）已知，求证：；
（2）若.求证：.
【变式5-1】1. （2023秋·高一课时练习）（1）若，证明：.
（2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
【变式5-1】2. （2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【变式5-1】3. （2023秋·高一课时练习）阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【变式5-1】4. （2023·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
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