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2023~2024届金禧中学高三数学第一阶段检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x<3}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{3,4,5} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．{4,5}
2．( )
A． B． C． D．
3．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝( )
A．3 B．±5 C．±3 D．5
4．已知，且，则( )
A． B． C． D．
5．若，则( )
A． B． C． D．
6．“”是“函数是奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为( )
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
8．已知，，，则( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有( )
A．展开式共有7项
B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128
D．展开式的有理项共有4项
10．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是( )
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
11．若a>1,0A．log2019a>log2019b B．logca>logba
C．(c－b)ac>(c－b)ab D．(a－c)ac>(a－c)ab
12．已知函数的部分图象如图所示，则( )
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知＝(－1,2)，点C(2,0)，D(3，－1)，则向量在方向上的投影为________．
14．设函数，则不等式的解集为_________．
15．汕头市某次高三数学模拟考试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是_____．
16．已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．(10分)
在中，A，B，C所对的边为a，b，c，满足．
(1)求A的值；
(2)若，，则的周长．
18．(12分)
2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：
女篮球迷 非女篮球迷 总计
男 20 26
女 l4
总计 50
(1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
19．(12分)
已知等差数列的前项和为，不等式的解集为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
20．(12分)
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．(12分)
已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
22．(12分)
已知，椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．
2023~2024届金禧中学高三数学第一阶段检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U=R,集合A={0,1,2,3,4,5},B={x|x<3},则图中阴影部分表示的集合为 (A)
A.{3,4,5} B.{0,1,2}
C.{0,1,2,3} D.{4,5}
解析　由题图可知阴影部分表示A∩( UB)。因为B={x|x<3},所以 UB={x|x≥3},所以A∩( UB)={3,4,5}。故选A。
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.
【详解】.
故选：D
3．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝(　　)
A．3 B．±5
C．±3 D．5
解析　由等比数列的性质知a＝a1a5＝9，且a3>0，所以a3＝3。故选D。
答案　A
4．已知 ，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解，进而根据模长公式即可求解.
【详解】由，得，
所以，
故选：D
5．若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.
【详解】由已知，
所以，
故选：C.
6．“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将代入函数解析式，用奇函数的判别式判断；若是奇函数，借助计算得，再进行判断.
【详解】若，则，，且，所以是奇函数；若函数 在其定义域上为奇函数，可得 ，解得，∴是函数 在其定义域上为奇函数的充分不必要条件，故选：A.
7．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为(　　)
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
解析　由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)。故选B。
答案　B
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．【答案】B
【详解】设函数，则为偶函数，且当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，又，，，所以.故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有(　　)
A．展开式共有7项
B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128
D．展开式的有理项共有4项
答案　CD
解析　因为二项式的展开式中各项系数之和是,
令x=1,可得=,即=,解得n=7.
对于A,因为n=7,所以展开式共有8项,因此本选项说法不正确;
对于B,因为n=7,所以二项式系数最大的项是第4项和第5项,因此本选项说法不正确;
对于C,因为n=7,所以所有二项式系数和为27=128,所以本选项说法正确;
对于D,由n=7知,Tr+1=·(-1)r·2-r·,当r=1,3,5,7时,对应的项是有理项,故本选项说法正确.
10．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
10．【答案】BCD
【详解】对于A：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
，
骑车时间的平均数的估计值为：，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.故选：BCD.
11．若a>1,0A.log2 019a>log2 019b B.logca>logba
C.(c-b)ac>(c-b)ab D.(a-c)ac>(a-c)ab
解析　由已知可得a>1>b>c>0,所以A,B中的不等式正确;因为ac0,所以(c-b)ac>(c-b)ab,(a-c)ac<(a-c)ab,所以C中不等式正确,D中不等式错误。故选ABC。
12．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
【答案】AC
【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
【详解】由图可知，
所以，又，
所以，
所以，，，
得，，
又，得，
所以，所以，
所以函数的周期为，A正确；
由，得，，，取得，，对称中心为，
取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；
由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；
由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知＝(－1,2)，点C(2,0)，D(3，－1)，则向量在方向上的投影为________．
解析　由点C(2,0)，D(3，－1)，得＝(1，－1)，所以向量在方向上的投影为||cos 〈，〉＝＝－．
14．设函数，则不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式.
【解析】，在上均为减函数，所以当时，是增函数，此时；当时， 是增函数，此时，所以函数是单调递增函数，，解得：，所以不等式的解集是.
15．汕头市某次高三数学模拟考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________．
【答案】
【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.
【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.
故答案为：
16．已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
解析　由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，所以e1＋e2＝＋≥2 ＝2 ≥2(当且仅当a＝1时等号成立)。
答案　2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在中，，，所对的边为，，，满足.
(1)求的值；
(2)若，，则的周长.
【详解】（1）由，
，
，.
（2），，，
，
根据正弦定理，得，
解得，；
因此三角形周长为.
18．2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：
女篮球迷 非女篮球迷 总计
男 20 26
女 l4
总计 50
(1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？
(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．
(2)分布列见解析，期望是．
【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算可得结论；
（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）列联表如下：
女篮球迷 非女篮球迷 总计
男 20 6 26
女 10 l4 24
总计 30 20 50
，
没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关．
（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，
的可能值是0，1，2，
，，，
的分布列为：
0 1 2
．
19．已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
关于的不等式的解集为.
和4是方程的两个根，由韦达定理有，
解得，所以，.
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
则.
数列的前项和
.
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求线面角.
【详解】（1）因为，是的中点，所以，
在直角中，，，所以.
在矩形中，，，所以.
又因为，所以在中，，即，
而，，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，取中点，连接，易知，，两两相互垂直，
如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即令，则，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；
（2）分类讨论，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性进而求得相应最值，进而得到实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为.
②当时，令，得；令，得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），当时显然成立.
当时，即，令，，.
若时单调递减；，单调递增.
综上所述，实数的取值范围是.
22．已知，椭圆的两个焦点，椭圆上的任意一点P使得，且的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【详解】（1）依题意，，
由于的最大值为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程是.
（2）椭圆的右顶点为，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，解得，
所以直线过.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
即①.
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，
， ，
，
，
，
整理得，或，
若，代入①得，成立，
若，代入①得成立，
所以直线的方程为，过点；
或，过点，不符合题意，舍去.
综上所述，直线过定点.

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