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北师大版五年级上册第三单元倍数与因数（知识梳理+提高训练）三
知识点一：倍数与因数
1、倍数与因数的意义。
（1）如果a×b=c(A.B.c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
（2）一个数的倍数大于或等于这个数的因数，一个数的因数小于或等于这个数的倍数。
（3）只在自然数（0除外）的范围内研究倍数和因数。
2、求一个数的倍数的方法。
用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积都是这个数的倍数。
3、判断两个数成倍数关系的方法。
(1)列乘法算式，用积判断。
(2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。
知识点二：探索活动：2、5的倍数的特征
1、2的倍数的特征。
位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征。
个位上是0或5的数，都是5的倍数。判断一个数是不是5的倍数，就看这个数的个位上是不是0或5。
3、偶数和奇数。
像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。
4、同时是2，5的倍数的特征。
个位上是0的数。
知识点三：探索活动：3的倍数的特征
1、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2、同时是2，3的倍数的特征。
个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。
3、同时是3和5的倍数的特征。
个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。
4、同时是2、3、5的倍数的特征。
各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。
知识点四：找因数
1、找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。
2、最小因数都是1。
3、最大因数是自己。
4、写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。
5、因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要 根据地板砖的大小计算粘几行、几列，学生们战队的时候要计算站几行，每行几人等。
知识点五：找质数
1、质数。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。最小的质数是2。
2、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。最小的合数是4。
3、判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
4、100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。
一、选择题（共16分）
1．在下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的是（ ）。
A．12和36 B．5 和 7 C．18和 9 D．16 和 9
2．淘气的家庭电话是一个七位数，首位是最小的合数，第二位是最小的奇数，第三位是两个不同的最小质数的积，后四位是2、3和5的公倍数的最小四位数。这个电话号码是（ ）。
A．2133000 B．4161200 C．4129000 D．4161020
3．下列说法正确的是（ ）。
A．所有的奇数都是质数 B．所有的偶数都是合数
C．所有的奇数都不是2的倍数 D．一个数的倍数一定大于它的因数
4．用三张数字卡片摆三位数，摆出的数（ ）。
A．可能是2的倍数 B．一定是3的倍数
C．可能是5的倍数 D．一定是9的倍数
5．下列说法正确的是（ ）。
A．16的因数共有6个 B．一个非零自然数的因数的个数是无限的
C．1是所有非零自然数的因数 D．一个数的因数都比它的倍数小
6．从2，4，9，0中选出三个数字组成一个三位数，使这个三位数同时是2，3和5的倍数并且尽可能小，这个数是（ ）。
A．240 B．940 C．420 D．920
7．达瓦行李箱上密码锁的密码是1□45，这个数是3的倍数。他忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（ ）种可能。
A．3 B．4 C．5 D．6
8．五（2）班有48名同学排队，要求每行的人数相同（不需有1人一行或者1人一列），有（ ）种排法。
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（共16分）
9．两个质数的和是21，积是38，这两个质数分别是( )和( )。
10．两个质数的和是20，这两个质数分别是( )和( )。
11．在24、12、25、1、48、36、4、6、2中，6的倍数有( )，48的因数有( )。
12．已知21□5能被3整除，□里最小填( )。
13．从0、5、8、7中选3个数字组成一个三位数，使它含有因数2、3、5，这些三位数中，最大的是( )。
14．一个两位数，个位上的数是最小的合数，十位上的数是6的最小倍数。这个两位数是( )，它的因数有( )个。
15．一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是( )。
16．从数字2，0，4，5，3中选出四个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最大四位数是( )。
三、判断题（共8分）
17．任意写一个奇数，一个偶数，它们的积一定是偶数。( )
18．最小的两个质数相乘得6，用6去除这两个质数以外的其它质数，余数一定是1或5。( )
19．一个数的因数有3，那么这个数一定是3的倍数。( )
20．在1～10的自然数中（包括1和10），所有的偶数和比所有的奇数和小。( )
四、计算题（共6分）
21．（6分）把下面各数写成质数相乘的形式。
81 48 121 91
五、作图题（共6分）
22．（6分）把下面的数按要求填入框内。
1 2 17 29 36 37 41 57 61 78 84 100
六、解答题（共54分）
23．（6分）校运动会开始了，万老师为运动员买了80瓶饮料，选择下面哪种包装方式正好能把这些饮料全部装完？选择的每种包装方式分别需要多少个包装盒？（列表表示）
24．（6分）一个长方形的面积是18cm，它的长和宽都是整数。这个长方形的周长最大是多少厘米？
25．（6分）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的合数与最小的质数的商，个位上是最小的质数，写出这个三位数。
26．（6分）小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？
27．（6分）李老师给小班小朋友分糖果，她拿了48颗糖果平均分给小朋友，正好分完，幼儿园小班可能有多少人？（人数大于10人）
28．（6分）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？
马蹄莲：10元/枝 郁金香：5元/枝
29．（6分）
30．（6分）食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装5个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？
参考答案
1．C
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可。
【详解】A．12和36；36÷12＝3，36是12的倍数，不符合题意；
B．5和7；7÷5＝1.4；1.4是小数，不符合因数的意义，不符合题意；
C．18和9；18÷9＝2；18是9的倍数，9是18的因数，符合题意；
D．16和9；9÷18＝0.5；0.5是小数，不符合因数的意义，不符合题意。
在下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的是18和9。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
2．D
【分析】最小的合数是4，所以百万位上的数是4；最小的奇数是1，所以十万位上的数是1；两个不同的最小质数是2和3，2×3＝6，所以万位上的数是6；2，3和5的正倍数的最小四位数1020，所以后四位上的数是1020；再从高位到低位依次写出每位上的数字即可。
【详解】百万位上的数是4，十万位上的数是1，万位上的数是6，后四位上的数是1020，这个数是4161020。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查了奇数、偶数，以及质数、合数的认识，2，3和5的倍数特征，要熟练掌握它们的特征。
3．C
【分析】根据质数、合数、奇数和偶数、倍数和因数的概念，对给出的各选项的说法一一进行判断即可。
【详解】A．1是奇数，但是1既不是质数也不是合数，所以不是所有的奇数都是质数；
B．2是偶数，但是2是质数，所以不是所有的偶数都是合数；
C．个位是1、3、5、7、9的数是奇数，个位是2、4、6、8、0的数是2的倍数，所以所有的奇数都不是2的倍数；
D．一个数的最大因数是它本身，最小的倍数也是它本身，所以一个数的倍数还有可能等于它的因数；
故答案为：C
【点睛】掌握质数和合数、奇数和偶数的概念是解答本题的关键。
4．B
【分析】用三张数字卡片摆成的三位数有：246、264、426、462、642、624，再结合2、3、5、9的倍数特征选择即可。
【详解】用着三张卡片摆出的三位数有：246、264、426、462、642、624共6个数；
A．根据2的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均为2的倍数，原说法不正确；
B．根据3的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均为3的倍数，原说法正确；
C．根据5的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均不是5的倍数，原说法不正确；
D．根据9的倍数特征可知：246、264、426、462、642、624均不是9的倍数，原说法不正确；
故答案为：B
【点睛】解题时要明确9的倍数的特征是：整数各数位数字和是9的倍数。
5．C
【分析】找因数的方法：用乘法，不重复，不遗漏；一个非零自然数的因数的个数是有限的，1是所有非零自然数的因数，一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身；据此解答。
【详解】由分析可知：
A．因为16＝1×16＝2×8＝4×4，所以16的因数有：1、2、4、8、16，共5个，所以此说法错误；
B．因为一个非零自然数的因数的个数是有限的，所以此说法错误；
C．因为1是所有非零自然数的因数，所以此说法正确；
D．因为一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身，所以一个数的因数有可能和它的倍数相等，所以此说法错误。
故答案为：C
【点睛】本题考查找因数，注意：一个数的因数有可能和它的倍数相等。
6．A
【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数，3的倍数特征：各个数位上的数字相加和是3的倍数，这个数是3的倍数，由于同时是2、3、5的倍数，则这个数的个位是0；其它两位数相加是3的倍数，由于2＋4＝6，是3的倍数，2＋9＝11，不是3的倍数，4＋9＝13，不是3的倍数，所以这个三位数是由2、4、0组成，要最小，那么百位是2，十位是4，个位是0，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
从2，4，9，0中选出三个数字组成一个三位数，使这个三位数同时是2，3和5的倍数并且尽可能小，这个数是240。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，熟练掌握它们的特征是解题的关键。
7．A
【分析】这个数是3的倍数，则各个位上数的和是3的倍数，1＋□＋5＋4＝10＋□，其中12、15、18是3的倍数，所以口里可以填2、5、8 ，有3种可能。
【详解】因为：□里可能填2、5、8；
所以：这个密码一共有3种可能。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查3的倍数特征的灵活运用。
8．C
【分析】把48名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是48，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。
【详解】由分析可得：
48＝1×48，即每行1人，排48行，不符合题意；或者每行48人，排1行，不符合题意。
48＝2×24，即每行2人，排24行；或每行24人，排2行；
48＝3×16，即每行3人，排16行；或每行16人，排3行；
48＝4×12，即每行4人，排12行；或每行12人，排4行；
48＝6×8，即每行6人，排8行；或每排8人，排6行。
所以共8种排法。
故答案为：C
【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把48分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。
9． 2 19
【分析】因为两个质数的乘积是38，把38分解质因数即可解决此题。
【详解】因为38＝2×19，又符合2＋19＝21，
所以这两个质数分别是2和19。
【点睛】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题。
10． 3 17
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，找出两个数的和是20即可；据此解答。
【详解】3＋17＝20；7＋13＝20
两个质数的和是20，这两个质数分别是3和17（或7和13）。
【点睛】熟练掌握20以内所有的质数，是解答本题的关键。
11． 24、12、48、36、6 24、12、1、48、4、6、2
【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数；因数是指整数
a除以整数b（b≠0）的商正号是正数而没有余数，我们就说b是a的因数，据此解答。
【详解】24、12、25、1、48、36、4、6、2中
6的倍数有：24、12、48、36、6；
48的因数有：24、12、1、48、4、6、2。
在24、12、25、1、48、36、4、6、2中，6的倍数有24、12、48、36、6，48的因数有24、12、1、48、4、6、2。
【点睛】熟练掌握求一个数的因数的方法因数，求一个数的倍数的方法是解答本题的关键。
12．1
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除，据此解答。
【详解】□填0；2＋1＋0＋5＝8；8不能被3整除，□内最小不能填0；
□内填1；2＋1＋1＋5＝9；9能被3整除，□内最小填1。
已知21□5能被3整除，□里最小填1。
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
13．870
【分析】根据题意，组成的三位数同时是2、3、5的倍数。同时是2、3、5的倍数的数的特征：个位上是0；各数位上的数字之和是3的倍数。据此列举出符合条件的三位数，再找出其中最大的数。
【详解】从0、5、8、7中选3个数字组成一个三位数，使它含有因数2、3、5，这些三位数有：570、750、870、780，其中最大的是870。
【点睛】掌握同时是2、3、5的倍数的数的特征是解题的关键。
14． 64 7
【分析】最小的合数是4，6的最小倍数是6，所以这个两位数是64；再根据“找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找”，求出这个数的因数即可。
【详解】由分析可知：
一个两位数，个位上的数是最小的合数，十位上的数是6的最小倍数。这个两位数是64；
64＝1×64
64＝2×32
64＝4×16
64＝8×8
则它的因数有：1、2、4、8、16、32、64；共有7个。
【点睛】本题考查合数和倍数，明确合数和倍数的定义是解题的关键。
15．9240
【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0；从右数，分别是个位、十位、百位、千位，据此写出此数。
【详解】一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是9240。
【点睛】本题考查了质数、合数、偶数的认识，要熟练掌握这些特殊的数。
16．5430
【分析】同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0；各个数位上的数字之和是3的倍数。据此解答。
【详解】通过分析，这个四位数的个位是0，0＋5＋4＋3＝12，12是3的倍数，则组成一个同时是2、3、5的倍数的最大四位数是5430。
【点睛】掌握同时是2、3、5的倍数的特征是解题的关键。
17．√
【分析】根据奇数和偶数的运算性质可知：偶数×奇数＝偶数；奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数，据此解答。
【详解】根据分析可知，奇数×偶数＝偶数
任意写一个奇数，一个偶数，它们的积一定是偶数。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答本题的关键。
18．√
【分析】质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数，因为大于3的任一整数都可以写成6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5这六种形式之一，其中6n，6n＋2，6n＋3，6n＋4四种显然是合数，那么把一个质数写成6n＋k，k大于等于0小于等于5的形式，只能是6n＋1，6n＋5，两种形式或其中的一种形式，但是两种请示都有可能，所以用6去除大于3的质数，余数一定是1或5。
【详解】由分析可知：
最小的两个质数相乘得6，用6去除这两个质数以外的其它质数，余数一定是1或5。原说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查质数的含义，熟练掌握质数的意义并灵活运用。
19．√
【分析】一个数的因数有3，那么这个数可以表示为：3n（n为非零自然数），3n一定是3的倍数，所以此说法正确。
【详解】由分析可知：
一个数的因数有3，那么这个数一定是3的倍数；此说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查倍数与因数，学生需熟练掌握找因数和找倍数的方法。
20．×
【分析】自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；列出1~10中所以奇数和偶数，求出奇数之和和偶数之和，再进行比较，即可解答。
【详解】1~10中，偶数有：2，4、6，8、10
奇数：1，3，5，7，9
偶数和：2＋4＋6＋8＋10
＝6＋6＋8＋10
＝12＋8＋10
＝20＋10
＝30
奇数和：1＋3＋5＋7＋9
＝4＋5＋7＋9
＝9＋7＋9
＝16＋9
＝25
30＞25
在1～10的自然数中（包括1和10），所有的偶数和比所有的奇数和大。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握偶数和奇数的意义是解答本题的关键。
21．见详解
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。
【详解】81＝3×3×3×3；
48＝2×2×2×2×3；
121＝11×11；
91＝13×7
22．见详解
【分析】整数中能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除以1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。
【详解】由分析得：
【点睛】解答本题关键是熟练掌握奇数、偶数、质数以及合数的意义。
23．见详解
【分析】根据题意，只要求出每箱装饮料的数量是80的因数，即可解答。
【详解】①4瓶装：80÷4＝20（个），可以用每箱4瓶装的包装盒；需要20个包装盒；
②5瓶装：80÷5＝16（个），可以用每箱5瓶装的包装盒；需要16个包装盒；
③10瓶装：80÷10＝8（个），可以用每箱10瓶装的包装盒；需要8个包装盒；
④12瓶装：80÷12≈6.6（个），不可以用每箱12瓶装的包装盒。
表如下：
包装方式 4瓶 5瓶 10瓶
包装盒数量 20个 16个 8个
【点睛】熟练掌握因数与倍数的关键是解答本题的关键。
24．38厘米
【分析】长方形的面积＝长×宽，又因为它的长和宽都是整数，所以用乘法找18的因数，18＝1×18＝2×9＝3×6，所以当长方形的长为18厘米时，宽为1厘米，长为9厘米时，宽为2厘米，长为6厘米时，宽为3厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此可求出各个长方形的周长，再作比较，取周长最大的即可。
【详解】由分析可知：
18＝1×18＝2×9＝3×6
所以当长方形的长为18厘米时，宽为1厘米，长为9厘米时，宽为2厘米，长为6厘米时，宽为3厘米；
①当长方形的长为18厘米，宽为1厘米时，此时周长为：（18＋1）×2
＝19×2
＝38（厘米）
②当长方形的长为9厘米，宽为2厘米时，此时周长为：（9＋2）×2
＝11×2
＝22（厘米）
③当长方形的长为6厘米，宽为3厘米时，此时周长为：（6＋3）×2
＝9×2
＝18（厘米）
38＞22＞18，所以长方形周长最大为38厘米；
答：长方形周长最大是38厘米。
【点睛】本题考查找因数的应用，学生需熟练掌握找因数的方法。
25．422
【分析】一个数，除了1和它本身，还有其他因数的数，叫做合数，最小的合数是4；一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，据此解答。
【详解】最小的合数是4，百位上的数是4；
4÷2＝2；十位上的数是2；
最小的质数是2，个位上的数是2。
这个数是422。
答：这个三位数是422。
【点睛】熟练掌握质数和合数的意义是解答本题的关键。
26．7号和13号
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数，据此分别写出和是20的两个数，再进行判断。
【详解】
在这几组加数中，只有3、17与7、13这两组数都是质数，又因为差不超过10，所以只有7、13符合题意。
答：他们的座位号分别是7号和13号。
【点睛】本题考查质数的应用。根据质数的意义找出符合题意的数是解题的关键。
27．可能有48人、24人、16人或12人
【分析】根据题意，找出48内，大于10的因数，即可解答。
【详解】48的因数：1，2、3、4、6、8、12、16、24、48
幼儿园小班人数可能有12人、16人、24人、48人。
答：幼儿园小班可能有12人、16人、24人、48人。
【点睛】本题考查因数求法，根据题意进行解答。
28．不对，应找回几十或几十五。
【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。
【详解】根据5的倍数的特征可知找回13元不对。
因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了5的倍数元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。
【点睛】此题考查了5的倍数特征的实际运用。
29．5瓶装
【分析】根据因数与倍数的关系，3、4、5中哪个是70的因数，就选那个包装盒，据此解答。
【详解】因为3、4不是70的因数，70÷5＝14，5是70的因数，所以选每盒装5瓶的包装盒正好装完。
答：选择5瓶包装盒正好把70瓶饮料装完。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据因数与倍数的关系，进行解答。
30．C包装盒
【分析】根据因数与倍数的关系，5、6、8中哪个是56的因数，就选那个包装盒，据此解答。
【详解】因为5、6不是56的因数，不能用A包装每盒装5个的和B包装每盒装6个的包装盒；
56÷8＝7，7是56的因数，选择C包装每盒装8个，正好能把56个月饼装完。
答：选择C包装盒正好能把56个月饼装完。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据因数与倍数的关系，进行解答。
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