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专题01 三角形边或角关系的三种模型
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。
类型一、燕尾角模型
例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，若，则____________．
【变式训练2】如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【变式训练3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【变式训练4】模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
类型二、折叠模型
例1.如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【变式训练1】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式训练4】如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
类型三、“8”字模型
例1.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【变式训练1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是__；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
专题01 三角形边或角关系的三种模型
几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。
类型一、燕尾角模型
例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵ ∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,故选：A．
【变式训练1】如图，若，则____________．
【答案】230°
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°．
【变式训练2】如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】360°
【详解】解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，
∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．
故答案为：360°．
【变式训练3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【变式训练4】模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
类型二、折叠模型
例1.如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，则．
故选：B．
【变式训练1】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【变式训练3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C
【变式训练4】如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【答案】A
【详解】由图形翻折的性质可知，，
，
，
，利用“8”字模型，
，
故选：A．
类型三、“8”字模型
例1.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【变式训练1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【详解】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．
【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是__；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．
【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）；（4）
【详解】解：（1）180°，180°，
．
，；
（2），分别平分，，设，，
则有， ，
（36°+16°）=26°
（3）直线平分，平分的外角，
，，∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴
∴
∴180°，
即90°．
（4）连接PB，PD
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，180°-
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