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专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法
类型一、角平分线上的点向两边作垂线
例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．
【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，．
求证： 平分．
【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形
例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．
【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．
【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF
类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短
例1.已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练2】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F．）
【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【变式训练4】已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
课后训练
1．如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
2．已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．
3．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；
(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．
4．已知：在四边形中，于E，且．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长．
5．如图，的和的平分线，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，连接，求证：平分；
（3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．
6．如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　．
专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法
类型一、角平分线上的点向两边作垂线
例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．
【答案】4cm
【详解】如图，过点P作PF⊥OB于点F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE，∠EOP＝∠DOP
∵PDOA，∠AOB＝30°，∴∠PDF＝∠AOB＝30°，
∴∠DPO＝∠EOP＝∠DOP，∴ PD＝OD＝8cm
在Rt△PDF中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°
∴PF=PD=4cm，∴ PF＝PE＝4cm．
【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，．
求证： 平分．
【答案】见解析
【详解】证明：过点作于点．
．
在和中，．
．点在的平分线上．平分．
．
【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．
【解析】(1)证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，∵，
∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；
(2)根据（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．
(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：
∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形
例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．
【答案】4.5
【详解】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，
∴∴ cm2，故答案为4.5．
【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．
【答案】2
【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．
【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF
【答案】见解析
【解析】证明：延长AE、BC交于点F. 如图所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°，
又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.
又AE=BD，∴AE=AF，即点E是AF的中点，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF.
类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短
例1.已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AB=AC+BD，证明见详解．
【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，∴∠F=∠CAF，
∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，
∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；(2)AE+CD=AC，证明见解析
【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，∴，
∵AO=3OD，∴，∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．
【变式训练2】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F．）
【答案】见解析
【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，
∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．
【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．
(1)求证：∠ABD＝∠ACD；
(2)求证：AD平分∠CDE；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC=60°，理由见解析
【解析】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，
由(1)可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)解：∠BAC的度数为60°，理由如下：
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP (SAS) ，
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【变式训练4】已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）
【详解】（1）∵，且，
∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，
又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°，
∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126
（2）在上截取，连接，
又∵AE=AE，，∴，∴，
∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴
∴；
（3）∵，∴，
∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等，
又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等，
∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，∴，
又∵，∴，
即．
课后训练
1．如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°
【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE，
∵BC=BD，∴∠C=∠CDB，
∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分；
②如图，过点F作FH⊥BD，交BD延长线于H，
∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH，
∵FG⊥AE，FH⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,
∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），∴DH=DG，
∵，∴FB=FA，
∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）∴BH=AG，
∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG；
(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，
∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°，
过点F作FM⊥AB于M，交AD于N，如图，
则∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD，
∵，∴FB=FA，
∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD，
由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，
∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN，
∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC，
∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG，
∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，
∴2∠AFM+2∠DFN=180°，
∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°．
2．已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】(1)解：如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC
∴四边形APBF是矩形
∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，
∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，∴AP＝PB，
∴四边形APBF是正方形，∴AP＝AF，且AD＝AC，
∴，∴∠DAP＝∠FAC，
∵∠FAC+∠PAC＝90°，∴∠DAP+∠PAC＝90°，∴∠DAC＝90°
(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，
∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，
∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN＝FM，
∵S△DBF＝2S△CBF，
∴×2，∴BD＝2BC，
∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，
∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，
∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，
∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC，
∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，
∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC
(3)解：如图，
∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，
∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，
在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝，∴AC＝AD＝2AG＝3
在中，CD＝＝，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC
∵DF+FC＝DC，∴FC＝
在中，PF＝＝1，∴FG＝PG+PF＝1+ ＝．
3．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE；
(3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长．
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE；
(2)证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，∴∠FBE∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，∴CF平分∠ACE；
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，
∵G为DC中点，∴CG＝GDCD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG，
设GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴，解得：x，
∴DF2＝12﹣（）2，∴DF，
由（1）知：△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∴EF＝DE﹣DF．
4．已知：在四边形中，于E，且．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长．
【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．
【解析】(1)解：如图1，取AD的中点F，连接EF，
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴AD=2AF=2EF，
∵AD=2AE，∴AE=EF=AF，∴∠CAD=60°，∵∠B+∠CAD=180°，∴∠B=120°；
(2)证明：如图2，作FM⊥BC于M，FN⊥AB于点N，
∴∠BMF=∠BNF=90°，∠GMF=∠ANF=90°，
∵BF平分∠ABC，∴FM=FN，
在Rt△BFM和Rt△BFN中，，∴Rt△BFM≌Rt△BFN（HL），∴BM=BN，
在Rt△FMG和Rt△FNA中，，∴Rt△FMG≌Rt△FNA（HL），
∴MG=NA，∴BN+NA=BM+MG，∴AB=BG．
(3)如图3，
连接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，延长GF交AD于N，
∵AF=AD，∠DAE=60°，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD=60°，AF=DF，
∵GF=AF，∠DFC=180°-∠AFD=120°，∴AF=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG，∠FAG=∠FGA，∴∠AGD=∠AFN+∠DFN=∠AFD=×60°＝30°，
∵∠ADC=120°，AD=DG，∴∠DGA=∠DAG==30°，
∴∠DGC=180°-∠DGA-∠AGD=180°-30°-30°=120°，
∴∠DGC=∠DFC，
∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC-∠1=180°-∠DFC-∠2，
∴∠GCF=∠FDG，∠DCF=∠FGD，∴∠GCF=∠DCF，
∵FH⊥CD，∴FM=FH，
∵∠FMG=∠FHD=90°，∴Rt△FMG≌Rt△FHD（HL），∴DH=MG，
同理可得：△MCF≌△HCF（HL），
∴CM=CH=2CG，∴GM=CG=DH，∴3CG=CD=，∴GM=CG=，
∴BM=BG-GM=AB-GM=5-=，
在Rt△BFM中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°，
∴BF=2BM=3．
5．如图，的和的平分线，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，连接，求证：平分；
（3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28
【详解】（1）证明：如图1，
分别平分，，
，
，
；
(2)如图2，过点分别作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q，
平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N，
，同理，，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q， 平分 ；
（3）解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ，∴ 平分，
∵又， ，
在上取点，使 ，
平分，，
又，，
，，，
， ，，，
又，，
，
，
△ABC的周长为：，
的周长是．
6．如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【详解】解：（1）连接，
∵H为的垂直平分线与的交点，∴，，
∵，∴，∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
在中，，
∴
∴，即平分，
在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，AB=AG，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
又∵，．
∴．∵
∴ ，∴
∴，∴
∴．
7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　．
【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）；（2）．
【详解】教材呈现：是的平分线，，
，，
在和中，，，；
定理应用：（1）如图，过点D作于点E，
在中，，，
AD平分，且，，
在和中，，
，，，
设，则，
在中，，即，解得，即CD的长为；
（2）如图，过点M作，交AB于点N，连接PN，
AD平分，
垂直平分MN（等腰三角形的三线合一），
，
，
由两点之间线段最短得：当点在同一条直线上时，取得最小值，最小值为CN，
又由垂线段最短得：当时，CN取得最小值，
在中，，
，
又，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
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