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三角形压轴题考点训练
1．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是（　）
A．（）2020 75° B．（）2020 65°
C．（）2021 75 D．（）2021 65°
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
3．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（　　）
A．50° B．75° C．100° D．125°
5．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
6．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A．3 B． C． D．6
7．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
9．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
10．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，则________度．
11．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
12．已知：在中，平分，平分，、交于点．
(1)如图1：若，求的度数；
(2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数．
13．如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
14．阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．
求证：．
阳阳发现，连接，有，即．由，可得．
他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．
请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接．________，
________________．
，．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、．
①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程．
②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）
15．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
三角形压轴题考点训练
1．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是（　）
A．（）2020 75° B．（）2020 65°
C．（）2021 75 D．（）2021 65°
【答案】A
【详解】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，∴∠DA2A1=∠A1DA2．∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．…
以此类推，以An为顶点的内角度数是．
∴以A2021为顶点的内角度数是．
故选 A．
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
3．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵平分，平分
∴，
设
∵
∴可以假设，
∴
∵
∴
∴
设，则
∴
∴
∵
∴
故答案选：C
4．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（　　）
A．50° B．75° C．100° D．125°
【答案】C
【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，
∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故选：C．
5．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【详解】解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
6．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴①，
同理，∵，，
∴，，∴，∴②，
由①-②得：．
故选：A．
7．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
【答案】
【详解】解：连接ED
是的中线，
，
设，
与是等高三角形，
，故答案为：．
8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，，，
，
，∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，
故答案为：52°．
9．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
【答案】
【详解】如图，连接AO，
∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴，，，
∵，∴，，
∵AF∥BC，∴，∴，∴，，
∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形AEOD．
故答案为：．
10．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，则________度．
【答案】
【详解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．
∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，
∴∠A1=∠ACD ABC=∠A．
同理可证：∠A2=∠A1．
∴∠A2= ∠A= ()2∠A．
以此类推，∠An=()n∠A．
当n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022 m°=()°．
故答案为：．
11．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
【答案】
【详解】折叠
，
设
，
，
是的一个外角，，即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
12．已知：在中，平分，平分，、交于点．
(1)如图1：若，求的度数；
(2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)64°
【解析】(1)证明：∵、分别平分与
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
(2)证明：∵是得一个外角，∴，
∵，∴，∴．
(3)解： ， ，
∵平分，平分，
∴设，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，，
而
∴
∴
∴
13．如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析
(2)，理由见解析
【解析】(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，
∴，故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下： ∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
(2)解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．
求证：．
阳阳发现，连接，有，即．由，可得．
他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．
请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接．________，
________________．
，．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、．
①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程．
②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）
【答案】（1）S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见解析②BD＝PM＋PQ PN．
【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC S△APB，∴AC BD＝AC PN AB PM．
∵AB＝AC，∴BD＝PN PM．故答案为：S△APB；PN；PM；
（2）①BD＝PM＋PN＋PQ； 如图3，连接AP、BP、CP，
∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC，∴AC BD＝AC PN＋AB PM＋BC PQ，
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；
②BD＝PM＋PQ PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC S△APC．
∴AC BD＝AB PM＋BC PQ AC PN，
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ PN．
15．如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）的度数；
（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．
【答案】(1)33°；(2) ．
【详解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分线，CP是∠DCB的角平分线
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=
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