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全等三角形压轴题考点训练
1．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
3．如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE,且AB+AC=BE，则∠B的大小是（ ）
A．42° B．44° C．46 ° D．48°
4．如图，在中，，，平分，于，若，则为______．
5．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．
6．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．
7．如图，在中，，BD平分，E是AB上一点，且，连接DE，过E作，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
8．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则_______．
9．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为______．
10．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)求证：CF＝FG＋CE．
13．如图，ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分 BC ，DE⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC于 F ．
（1）说明 BE CF 的理由；
（2）如果 AB 5 ， AC 3 ，求 AE 、 BE 的长．
14．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，，，∥，∥点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．
(1)求证：．
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC BE CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．
全等三角形压轴题考点训练
1．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【详解】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故选B．
2．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【详解】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE,且AB+AC=BE，则∠B的大小是（ ）
A．42° B．44° C．46 ° D．48°
【答案】D
【详解】如图，延长BA到F，使AF=AC，连接EF，
∵AB+AC=BE，
∴AB+AF=BE，即BF=BE，
∴∠F=∠BEF=，
∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠DAC=9°，
∴∠FAE=180°-（∠BAD+∠DAE）=180°-（9°+90°）=81°，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AFE和△ACE中，，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F=∠ACE，
又∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°，
∴∠B+18°=，解得∠B=48°．
故选D.
4．如图，在中，，，平分，于，若，则为______．
【答案】4
【详解】解：延长BA，CE交于点F，
∵∠BAC＝90°，，
∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°
在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC，
∴EF＝EC，
∴ECCF=4．
故答案为：4
5．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．
【答案】
【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
∴当F为与的交点时，如图2，的值最小，
此时，，
故答案为：．
6．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．
【答案】
【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，故答案为：．
7．如图，在中，，BD平分，E是AB上一点，且，连接DE，过E作，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【详解】
∵BD平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴,故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵，
∴，
又∵BD平分，
∴，
在中：，
∴，故②说法错误；
∵，
∴，
在四边形CDFG中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
8．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则_______．
【答案】8
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，
∵BD平分
∴
∵BD=BD
∴
∴AB=BE
∴
∵
∴
∴
∵AD=DE，
∴
∴
故答案为：8．
9．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为______．
【答案】4
【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
10．（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）如图，延长至点E，使．
∵AD为中线，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
（2）如图，延长至点G，使，连接CG，EG．
∵AD为中线，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
11．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．
【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝AE，
∴＜AD＜；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)求证：CF＝FG＋CE．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）解：在△ABC中，∵∠A＝80°，
∴，
∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
，
，
∠EDC=∠DBC+∠DCB
；
（2）
解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∠A＝2∠BDF，
在和中，
，
，
，
，
．
13．如图，ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分 BC ，DE⊥ AB 于 E ，DF ⊥ AC于 F ．
（1）说明 BE CF 的理由；
（2）如果 AB 5 ， AC 3 ，求 AE 、 BE 的长．
【答案】（1）见解析；（2） BE 1 ， AE 4 ．
【详解】（1）证明：连接BD，CD，
AD平分BAC，DEAB，DFAC，
DEDF，BEDCFD90，
DGBC且平分BC，
BDCD，
在RtBED与RtCFD中，
RtBED≌RtCFD(HL)，
BECF；
（2）解：在AED和AFD中，
AED≌AFD(AAS)，
AEAF，
设BEx，则CFx，
AB5，AC3，AEABBE，AFACCF，
5x3x，解得：x1，
BE1，AEABBE514．
14．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，，，∥，∥点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）正确．证明见解析；②正确.证明见解析.
【详解】试题分析：（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
试题解析：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．
(1)求证：．
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC BE CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．
【答案】(1)见解析；(2)BE+CD=BC，；(3)①见解析；②
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180° (∠OBC+∠OCB)
=180° (∠ABC+∠ACB)
=180° (180° ∠A)
=∠A+90°；
（2）解：BE+CD=BC．
在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：
∵∠BOC=∠A+90°=120°，
∴∠BOE=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO，
∴△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在△DCO与△MCO中，
，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD；
（3）①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，
∴OM=2OF．
∵F是ED的中点，
∴EF=DF，
∵∠DFO=∠EFM，
∴△ODF≌△MEF(SAS)，
∴OD=EM．
过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，
∴∠OCK+∠OKC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°
∵∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，
∴∠BEO=∠BKO，
∴△OBE≌△OBK(AAS)，
同理可得△ODC≌△OHC，
∴EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．
由（1）可知∠DOE=∠BOC=×90°+90°=135°，
∴∠BOE=∠COD=45°，
∴∠OEM=∠KOH=45°，
∴△OME≌△KHO，
∴KH=OM，
∴KH=2OF．
∵BC BK CH=KH=2OE，
∴BC BE CD=KH=2OF；
②解：∵△OME≌△KHO，
∴∠EOM=∠OKH，
∴FG⊥BC．
由①可知KH=2OF=4，△ODF≌△MEF，
∴S△DEO=S△OME=S△KHO=10，
∴KH×OG×=10，
∴OG=5．
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