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高中数学基本定理、公式汇编
函数
一．函数的单调性与奇偶性
1.如果函数y=f(x)的定义域是关于原点对称的,则
奇函数 <===> f(x)= f(x) <===> f(x)+f(x)=0;
偶函数 <===> f(x)=f(x) <===> f(x) f(x)=0.
2.在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
3.研究函数的单调性,首先必须弄清它的定义域;
4.判断函数单调性的基本方法是:1、定义法，2、导数法,
5.用复合函数的单调性质判断函数的单调性,首先必须弄清复合关系,再用"同增(或同减)者增;一增一减、一减一增者减".
二. 一次函数、二次函数
1. 一次函数的标准形式是:y=kx+b(k≠0),图象是直线,当k>0时,单调递增;k<0时,单调递减;当b=0时,直线过原点,称之为正比例函数,是奇函数.
2. 二次函数的标准形式是:y=ax2+bx+c(a≠0),其图象是开口向上(或下)的抛物线,对称轴是x= ,顶点坐标O' ( ,).
3. 求二次函数表达式的方法主要是待定系数法,
标准形式(一般形式):y=ax2 +bx+c(a≠0).
顶点式:,其中顶点坐标为.
两点式: y=a(xx1 )(xx2),其中x1 ,x2为图象与x轴交点横坐标.
三. 幂函数、指函数、对数函数
1. 幂函数的标准形式是:y=xα (其中x是自变量,α为常数),
①当α为正有理数时,图象过(0,0)和(1,1)两个点,在x>0时,单调递增;
当α为负有理数时,图象都过(1,1)一个点,在x>0时单调递减;
②所有幂函数的图象都不经过第四象限;
2. 指数函数的标准形式是: y=ax (a>0且a≠1),定义域为R,值域为;
1时,单调递增;0 3. 对数函数的标准形式是: y=loga x (a>0且a≠1),定义域为,值域为R;
a>1时,单调递增;04. 对数恒等式 换底公式
5．对数运算法则

6．指数幂运算法则
四. 函数图象
1、函数作图的一般步骤：
确定函数定义域；化简函数，分析函数，确定作图方法。
分析函数的性质，如奇偶性、对称性、单调性等。
确定函数图象的关键点，如曲线的顶点、端点、与坐标轴的交点等；确定函数图象的关键线，如对称轴、渐近线等。
2、函数作图的常用方法：
运用基本函数的图象作图；
视函数为方程作图；
变换作图；
平移变换：的图象向左平移a (a>0)个单位，向上平移b（b>0）个单位得的图象；的图象向右平移a个单位，向下平移b个单位得的图象。
伸缩变换：的图象上各点纵坐标变为b（b>0）倍,横坐标变为原来的k(k>0)倍，所得图象的函数解析式为。
对称变换：(1).函数y=f(x)的图象与它的反函数y=的图象关于y=x对称;
(2).函数y=f(x)的图象分别与y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图象关于x轴、y轴、坐标原点对称,
(3).函数y=｜f(x)｜的图象是保留y=f(x)的图象在x轴上方(包括x轴上的点)的部分,再加上把y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称得到的图形.
(4).y=f(｜x｜)的图象是在x≥0时的区间上y=f(x)的图象,再加上在x<0的区间上将右边的图形关于y轴对称所得的图形;
(5)对于函数y=f(x)： 若对定义域內的每个x值，都有f(a+x)=f(ax)或f(2ax)=f(x) ，
则f(x)的图象关于直线x=a对称； 若对定义域內的每个x值，都有f(a+x)+f(ax)=2b或
f(2ax)+f(x)=2b ，则f(x)的图象关于点(a，b)对称；
函数y=f(xa)与函数y=f(ax)的图象关于直线x= a对称；
函数与函数的图象关于直线对称.
五. 函数的值域或最值
1．求函数的值域(最值),必须重视函数的定义域, 解应用问题时,在目标函数后必须写清定义域;
2．求函数的值域(或最值)的常用方法主要是:
(1)直接观察; (2)用二次函数的最值公式; (3)用实系数一元二次方程的根的判别式;
(4)求反函数的定义域; (5)配方法; (6)利用已知基本初等函数的值域,如:｜sinx｜≤1,
ax >0(a>0且a≠1)等; (7)用均值不等式(注意:正,定,等三条缺一不可);
(8)用已知函数的单调性求,如:二次函数,三角函数,函数y=ax(a>0,b>0,x>0)在(0,)单调递减,在[,+∞)单调递增,(需证); (9)换元法.有代数换元和三角换元两种,前者要注意新元的范围,后者要使变元(角)的范围最小; (10)数形结合,注意发现条件和目标函数隐含的几何意义.
六、函数与方程
1．方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。
2．零点存在性定理：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点。
三角函数
一、基础知识要点
1．角的概念
（1）角度与弧度的互化: 1°=弧度← 180°= π弧度 →1弧度 =
（2）弧长公式:L = │α│r ;扇形面积公式: s =Lr =│α│r2
（3）所有与α终边相同的角β都可以写成 β = α+ k·360°(k∈Z)或
β = α+ 2kπ(以下k∈Z)的形式.
2．三角函数定义: 任意角终边上的一点P(x,y)到原点的距离为r(r>0) , 则
sin= cos= tan=
3．同角三角函数基本关系式：
tan= sin+cos=1
4．诱导公式：
sin(+)=sin cos(+)=cos tan(+)= tan
sin()= sin cos()=cos tan()=tan
sin()=sin cos()= cos tan()=tan
sin(2)=sin cos(2)=cos tan(2)=tan
sin()=cos cos()=sin sin(+)=cos cos(+)=sin
5．两角和与差的三角函数：
sin()=sincoscossin cos()=coscos sinsin
tan()= tan()=
6．二倍角的三角函数：
sin2=2sincos cos2=cossin=2cos1=12sin tan2=
7．万能公式： ；；．
8．化一个角的一个三角函数公式: asinα+ bcosα=
其中的辅助角ψ所哪个象限由点(a,b)的象限决定,ψ的值由tanψ= 确定.

9.三角函数的图象与性质
函数名称
y = sinx
y = cosx
y = tanx
图
象
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
T=2π
T=2π
T=π
单调区间
增[2kπ-,2kπ+]
减[2kπ+,2kπ+]
增[2kπ+,2kπ+2]
减[2kπ,2kπ+]
增（kπ-, kπ+）
对称性
对称轴 x=kπ+
对称中心（kπ,0）
对称轴 x=kπ
对称中心
（kπ+,0）
对称中心
（,0）
最大值
x=2kπ+时，y=1
x=2kπ时，y=1
无
最小值
x=2kπ-时，y=-1
x=2kπ+时，y=-1
无
周期函数 f(x+T)=f(x) ,(T是不为零的常数) ,其中nT都是f(x)的周期(n∈Z,n0)
(2)周期:
y = Asin(ωx+ψ)+m及y = Acos(ωx+ψ)+m的周期T =
y = Atan(ωx+ψ)+m的周期T =
（3）三角函数的变换作图. 主要掌握以下几种基本变换:
y = sinx y = sin(x+ψ) y = sin(ωx+ψ)
(ω>0)
y = sinx y = sin(ωx) y = sin(ωx+ψ) (ω>0)
二、解三角形
1. 三角形内角和 A+B+C=π ;
2.有关斜三角形的几个结论
(1)正弦定理: .
(2)余弦定理:
由此可知:当 时 C > 90° ; 当时 C < 90°.
(3) 面积公式: S = absinC = bcsinA = acsinB= 2R2sinAsinBsinC = .
不等式
一．不等式性质
对称性 a>b bb>0 , nNa>b
传递性 a>b , b>c a>c 6．开方 a>b>0 , nN
加法 a>b a+c>b+c 7．倒数 a>b , ab>0
a>b , c>d a+c>b+d
乘法 a>b , c>0 ac>bc
a>b , c<0 aca>b >0 , c>d>0 ac>bd
二．均值不等式
1．a ,b Ra+b2ab 2．a ,b Ra+b2
（当且仅当 a = b 时 , 取等号）
3．a ,b ，cR a+b+c3abc 4．a ,b ，cRa+b+c3
（当且仅当 a = b=c 时 , 取等号）
5．a ,b R （当且仅当 a = b 时 , 取等号）
三. 绝对值不等式
1．a x>a 或 x0)
2．
四. 柯西不等式
1．代数形式：设均为实数，则
2．一般形式：设，
则其中等号成立的条件：当且或存在一个，使时，等号成立。
五．排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则
六．不等式证明
常见方法：1.比较法 （作差，作商） 2.综合法 3.分析法 4.反证法 5.数学归纳法
七．不等式解法
1．一元一次不等式 ，一元二次不等式
2．指数不等式的解法：
当a.>1时 ，
当0 3．对数不等式的解法：
f (x) >0
当a.>1时 ， g (x) >0
f (x) > g (x)
f (x) >0
当00
f (x) < g (x)
6．注意换元法在解不等式中的运用：如解不等式 (logx)+3 logx4 > 0
数列
一．等差数列、等比数列
1．定义和等价形式
等差数列：， ，
，
等比数列： ，
2．通项与求和公式
等差数列： 等比数列：
3．等差中项 等比中项
4．性质
等差数列：（1）
（2）m + n = p + q
（3）也成等差数列
（4）若{an} , {bn }是等差数列,Sn ,Tn 分别为{an} , {bn }的前n项和,则

等比数列 （1）
（2）m + n = p + q
（3）也成等比数列
一般数列的前n项和与通项的关系式

一般数列的前n项和求法
（1）公式法 ①分解为等差数列或等比数列，分组求和
②利用已知公式，如

（2）裂项法求和: 适用于通项是分式形式的数列;
如:;;
（3）错位相减法求和:适用于通项an =bn ·cn ,其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列;
如:求数列的前n项和
解析几何
直线
数轴上两点间距离公式：
直角坐标平面内的两点间距离公式：
若点，点P分有向线段成定比λ，则：
λ==； = =
4、直线斜率的定义式为，两点式为k =
5、直线方程的几种形式：
点斜式：， 斜截式：
两点式：， 截距式：
一般式：
6、直线与的夹角θ满足：
7、点到直线的距离：
8、两条平行线的距离是
二．圆
圆的标准方程是： ( r >0 )
圆的一般方程是：
其中，半径是，圆心坐标是
三．圆锥曲线
1、椭圆的定义：（1）
（2） （02、椭圆标准方程的两种形式是：和 。
3、椭圆的焦点坐标是，准线方程是，
离心率是，其中
4、若点是椭圆上一点，是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是和 ；
若点是椭圆上一点，是其下、上焦点，则点P的焦半径的长是和
5、双曲线的定义：（1）
（2） （e>1）
6、双曲线标准方程的两种形式是：和
7、双曲线的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，渐近线方程是，其中
8、若点是双曲线上一点，是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是和
9、与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
10、抛物线的定义： （ 抛物线的离心率e = 1 ）
11、抛物线标准方程的四种形式是：
(p>0 )
12、抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：
若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：
13、若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；
极坐标互化公式：
参数方程
经过点倾斜角为的直线参数方程的标准形式
，参数t的几何意义：表示直线上以定点为起点，任意一点为终点的有向线段的数量。
若点P1、P2、P是直线上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则：；当点P分有向线段时，；当点P是线段P1P2的中点时，
2、圆心在点，半径为的圆的参数方程是：
3、中心在原点焦点在x轴上的椭圆参数方程是： （为参数）
求轨迹方程的常见类型及其解法
直接法：直接列方程，化简 ；
定义法 ：先判断轨迹是何种曲线，再求方程 ；
代入法（坐标转移法）：将所求轨迹上的点的坐标转移到已知曲线上；
参数法：引入参数，建立参数方程
立体几何
一、有关平行的证明
1、
线∥线
⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷
l1∥l2 l1∥α α∥β
l1∥l3 l1∥l2 l1∥l2 l1∥l2
l2∥l3 α∩β=l2
线∥线线∥线 线∥面线∥线 面∥面线∥线 同垂直于一个平面线∥线
2、
线∥面
⑴ ⑵
α∥β
a∥α a∥β
a∥b
线∥线线∥面 面∥面线∥面
3、
面∥面
⑴ ⑵


α∥β α∥β
a∥α
b∥β
线∥面面∥面 同垂直于一直线面∥面
二、有关垂直的证明
1、
线⊥线
⑴ ⑵ ⑶
a∥b 三垂线定理 ⊥射影⊥斜线
平面内直线
逆定理 ⊥斜线⊥射影
（线⊥面线⊥线） （线⊥线线⊥线）
2、
线⊥面
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

a∥b α∥β



(线⊥线线⊥面)
3、
面⊥面



（线⊥面面⊥面）
三．位置关系
空间直线的位置关系有三种：
a∥b　（２）　（３）a　，b是异面直线
　　　　２、空间直线与平面的位置关系有三种：
（１）　（２）　（３）a∥α
　　　　３、空间两个平面的位置关系有两种：（１）α∥β　　（２）
四．空间角
两条异面直线所成的角α的范围为　0°<α≤90°
向量法求异面直线所成的角：设直线则有
（当两方向向量的夹角为钝角时，应取其补角作为异面直线所成的角）。
直线与平面所成的角的范围是　0°≤α≤90°;
求二面角的大小的常用方法
（1）先作出平面角,再求平面角的大小
作平面角的方法常见的有三种
①根据定义,过棱上一点在两半平面内分别作棱的垂线;
②作二面角棱的垂直平面;
z③用三垂线定理或逆定理
（2）向量法：
①若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角。(如图1)

②设是二面角的两个角的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小。（如图2）
五．距离
点到平面的距离 ：垂线段的长；化为线面距离；利用体积相等；利用向量知识
七．面积与体积
1、面积：（-底面周长，-直截面周长，-高，-斜高，
-侧棱长或母线长，-底面半径，R-球的半径）
直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；
正棱锥侧面积：，圆柱侧面积：，
圆锥侧面积：，球的表面积：
圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式： （弧度）
2、体积公式：
柱体：， 圆柱体：
锥体：， 圆锥体：
球体：
复数
一.复数的概念:
复数相等:
复数的模： =
排列组合、二项式定理
1．加法原理、乘法原理
2．排列数公式是：==；
排列数与组合数的关系是：
组合数公式是：==；
组合数性质： = +=

3．二项式定理：
二项展开式的通项公式：
平面向量与空间向量
1．坐标运算：设，则
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.
3．实数与向量的积的运算律:
设，则λ，
4．向量的数量积：
定义： .
坐标运算:设 ,则
向量在上的射影：||cos，其中为和的夹角
5．重要定理、公式:
平面向量的基本定理
如果 和 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,使
两个向量平行（共线）的充要条件
设 ，则
两个非零向量垂直的充要条件
设 ，则
线段的定比分点坐标公式
设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，则
平移公式
如果点 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），则
6．空间向量基本定理：
给定空间一个基底,且对空间任一向量,存在唯一的有序实数组（x,y,z）使， （x,y,z）叫做向量在基底上的坐标.
设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z使
7．空间向量的直角坐标运算
设,则



设A=, B=, 则
=
，
8．空间向量重要结论
中点坐标公式：若M为AB的中点，则
三点共线：P，A，B三点共线
共面向量：若，是不共线的向量，则与，共面= x+ y
四点共面：点P在平面MAB内
（ x+y+z = 1 ）
概率与统计
1．等可能事件的概率
P（A）= （m为A中所含基本事件数，n为基本事件总数）
2．若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）
3．若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）
4．若事件A、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1 一般地,
5．如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率
6．离散型随机变量的分布列的性质:
① ②.
7．若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
X1
X2
…
xn
…
p
P1
P2
…
pn
…
则ξ的数学期望
Eξ=
数学期望的性质
设a、b为常数，则E（aξ+b）= a Eξ+b
若ξ～B（n，p），则Eξ= np
ξ的方差为
Dξ=（x1 Eξ）2·p1 +（x2 Eξ）2·p2 + … +（xn Eξ）2·pn + …
方差的性质
设a、b为常数，则D（aξ+b）= a2 Dξ
若ξ～B（n，p），则 Dξ= np（1p）
8．抽样方法：简单随机抽样 ，系统抽样 ，分层抽样
9．用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ，.
10．正态分布
①正态总体函数（随机变量ξ的概率密度函数）
，，其中表示总体平均值，表示标准差，其分布叫做正态分布，记作N（，2），函数的图象叫正态曲线（密度曲线）.
②在正态分布中，当，=0，=1时，叫做标准正态分布，记作N（0，1）.
③标准正态分布表中，相应于的值=P.
④正态总体N（，2）取值小于x的概率F（x）=.
⑤若<0,则=1,从而可利用标准正态分布表.
⑥若ξ～ N（，2）, 则
=
导数与积分
1．定义：
2．函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点P（,f（））处的切线的斜率.
4．几个重要函数的导数
①,（C为常数） ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
5．导数的四则运算法则
① ② ③
导数的应用
可导函数求单调区间或判断单调性的方法：使>0的区间为单调增区间,使<0的区间为单调减区间.
可导函数求极值的步骤:
ⅰ.求导数
ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.检验在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值.
8．定积分
（1）定积分的定义
（2） 定积分的几何意义
表示介于之间的各部分曲边梯形面积的代数和，在上方的面积取正号，在在下方的面积取负号。
（3）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）
如果是区间上的连续函数，并且那么
数学归纳法
1、用于证明与正整数n有关的数学命题
2、数学归纳法证明命题的步骤：（1）验证n取第一个值时命题成立 ，（2）假设当n = k时命题成立，证明当n = k+1时命题也成立。在完成了以上两个步骤后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立。
3、数学归纳法的应用：
（1）证明等式 （2）证明整除性 （3）证明几何问题
（4）证明不等式 （5）先猜想，再利用数学归纳法证明
附：比例的几个性质
1、比例基本性质：
2、反比定理：
3、更比定理：
4、合比定理；
5、分比定理：
6、合分比定理：
7、分合比定理：
8、等比定理：若，，
则

几何证明选讲
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
直角三角形射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数一半
推论：（1）直径（或半圆）所对的圆周角是直角。
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（3）等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。
5．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
6．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
7．相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。