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3.1函数的概念
函数的定义：非空的数集，按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在
集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合
的一个函数，定义在上的函数。记作：
注意： ①是非空的数集
②对应关系必须是确定的
③集合元素无剩余，集合元素可以剩余
④对应中元素，中对应元素需要唯一（可以多对一，不可以一对多）
【例1】判断下列是否为函数
（1）
（2）
二、函数的三要素：
1、定义域（域表示集合）：就是集合A，就是范围，
能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域。
注意：两个函数定义域不同，一定是不同的函数，如
2、值域：对应法则对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合
（值域不是集合，画集合解释，如值域是，不是）
注意:定义域和值域分别相同的两个函数数不一定相等.
【例2】下图形中可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是(　　)
解：A值域不是，B当时，中无元素与之对应，D不满足唯一性．答案：C
注意：若仅表示函数关系，则A也是正确的
【例3】判断函数中，定义域和值域都相同的有哪些
（1） R R
（2） R
（3）
（4）
（5）
（6）
3、对应法则：)即“是的函数”的数学表示，是自变量,它是对应关系所施加的对象
【例4】设是集合到集合的函数，如果，那么一定是（ ）
无法确定
解：定义域为集合，值域为的子集
， 集合可以含有，1个、2个、3个、4个元素
所以
【例5】集合，，下列不能表示从到的函数是（ ）
无法确定
解：集合为定义域，值域集合，时，，不满足，答案C
三、区间的概念和记号：连续的实数的一种表示形式
闭区间：，表示，数轴
开区间：，表示，数轴
左闭右开：，表示，数轴
左开右闭：，表示，数轴
注意：（1）数集是连续的，左小，右大,开或闭不能混淆.用“”为开区间
（2）注意开区间与点在具体情境中的区别.
（3）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示.
【例6】判断题
1.函数的定义域必须为数集，值域可以为其他集合，(×)
2.任何两个集合之间都可以建立函数关系（×）
3.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数（√）
4.根据函数的定义，定义域中的每一个可以对应着多个下同的（×）
5.根据函数的定义，值域中的每一个可以与多个对应（√）
6.区间可以表示任何集合（×）
7.函数的定义域和值域定是无限集合（×）
四、定义域和值域的求法
1、定义域
（1）定义域不同一定是不同的函数（如，画出图像）
（2）易错点（提出来，你也没什么感觉，错一错就有感觉了，考试就是暴露问题和解决问题的过程）
（3）函数问题，先想定义域
定义域的限制：
①分式的分母不等于零；
②偶次方根的被开方数不小于零；
③对数式的真数必须大于零；指数式、对数式的底必须大于零且不等于1.（没学）
④没有意义（如）
几个限制条件，列几个不等式，取交集
【例7】求下列函数的定义域
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
含参函数的定义域问题
【例2】(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围为________
解：当时，成立
恒成立，所以开口向上
综上：
(2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围为______
解：恒成立，
①，成立
②
综上
2、值域求法：所有求值域都转化为“一次”、“二次”、“反比例”、“对勾函数”求值域（均值不等）
步骤1:求定义域
步骤2：化简，化简手段“分离常数”（分式问题）“换元问题”（次数差2倍）判断是哪类函数求值域，
步骤3：①若化简后单一位置（包括二次函数，）,化为“一次形”
②若在不同位置，且次数有2倍关系（），利用换元，化为二次函数型
③分式型，分离常数，转化为“反比例”、“对勾函数”利用反比例或均值不等式求值域
注意：所以值域问题，化简后都可利用的变化过程来求解，重点是要把每一步范围弄清楚
常见求值域的函数
一次函数： 如： 值域为R（画图）；
一次函数值域一般没有限制，除非收到定义域的限制 ，值域为
一次函数变形：如，值域为
如，值域为
如，值域为
【例8】求下列函数的值域
解：（1）定义域，，
（2），值域为
（2）二次函数：如，值域为画图
如，值域为，图像法
二次函数变形：如，值域为
如，值域为（考虑定义域对值域的限制）
换元法： 如，设，，利用图像法；值域为
如，设，，利用图像法；值域为
注意：换元法适用于根号内外都用的形式，如
【例9】求下列函数的值域
解：（1），，
（2）定义域,设,,,值域为
（3）反比例函数：如，画出图像，值域
反比例变形： 如，画出图像，值域，
如和一样的
如函数向左平移一个单位，值域不变
如，分离常数法，值域为
注意:分离常数法适用于形如，值域为
分式求值域：
处理核心：让分子变为常数
变形：需要换元
【例10】（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1），值域为
（2）定义域，
；当，（易忽略）；值域为
（3）
若，则
若，，
综上
（4）令，
当时，
当时，，
综上：
（变形，令，）
两个函数相同的判断：如果两函数的定义域和对应关系是相同的，则两函数相同等，和什么字母
表示无关！
【例11】判断下列两个函数是否是同一个函数
（1） 不是 （2）是
（3）不是 （4） 不是
（5）是
拓展：（1）尝试构造出两个定义域。值域相同，对应法则不同的函数
（2）尝试构造出两个值域，对应法则相同，定义域不同的函数
解：（1） （2）
练习题
1、设是集合到集合的函数，如果集合，则集合不可能是(　　)
A、 B、 C、 D、
解：答案D
2、下列四组函数中相等的是(　　)
A、 B、
C、 D、
答案：C
3、求定义域
解：（1）
（2）
（3）
（4）
4、求下列函数值域
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）定义域，；
（2）定义域，
（3）定义域，
（4）设
，开口向下，对称轴为，3.1函数的概念
函数的定义：非空的数集，按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在
集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合
的一个函数，定义在上的函数。记作：
注意： ①是非空的数集
②对应关系必须是确定的
③集合元素无剩余，集合元素可以剩余
④对应中元素，中对应元素需要唯一（可以多对一，不可以一对多）
【例1】判断下列是否为函数
（1）
（2）
二、函数的三要素：
1、定义域（域表示集合）：就是集合A，就是范围，
能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域。
注意：两个函数定义域不同，一定是不同的函数，如
2、值域：对应法则对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合
（值域不是集合，画集合解释，如值域是，不是）
注意:定义域和值域分别相同的两个函数数不一定相等.
【例2】下图形中可以表示以为定义域，以为值域的函数图象是(　　)
【例3】判断函数中，定义域和值域都相同的有哪些
（1） R R
（2） R
（3）
（4）
（5）
（6）
3、对应法则：)即“是的函数”的数学表示，是自变量,它是对应关系所施加的对象
【例4】设是集合到集合的函数，如果，那么一定是（ ）
无法确定
【例5】集合，，下列不能表示从到的函数是（ ）
无法确定
三、区间的概念和记号：连续的实数的一种表示形式
闭区间：，表示，数轴
开区间：，表示，数轴
左闭右开：，表示，数轴
左开右闭：，表示，数轴
注意：（1）数集是连续的，左小，右大,开或闭不能混淆.用“”为开区间
（2）注意开区间与点在具体情境中的区别.
（3）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示.
【例6】判断题
1.函数的定义域必须为数集，值域可以为其他集合，(×)
2.任何两个集合之间都可以建立函数关系（×）
3.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数（√）
4.根据函数的定义，定义域中的每一个可以对应着多个下同的（×）
5.根据函数的定义，值域中的每一个可以与多个对应（√）
6.区间可以表示任何集合（×）
7.函数的定义域和值域定是无限集合（×）
四、定义域和值域的求法
1、定义域
（1）定义域不同一定是不同的函数（如，画出图像）
（2）易错点（提出来，你也没什么感觉，错一错就有感觉了，考试就是暴露问题和解决问题的过程）
（3）函数问题，先想定义域
定义域的限制：
①分式的分母不等于零；
②偶次方根的被开方数不小于零；
③对数式的真数必须大于零；指数式、对数式的底必须大于零且不等于1.（没学）
④没有意义（如）
几个限制条件，列几个不等式，取交集
【例7】求下列函数的定义域
含参函数的定义域问题
【例2】(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围为________
(2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围为______
2、值域求法：所有求值域都转化为“一次”、“二次”、“反比例”、“对勾函数”求值域（均值不等）
步骤1:求定义域
步骤2：化简，化简手段“分离常数”（分式问题）“换元问题”（次数差2倍）判断是哪类函数求值域，
步骤3：①若化简后单一位置（包括二次函数，）,化为“一次形”
②若在不同位置，且次数有2倍关系（），利用换元，化为二次函数型
③分式型，分离常数，转化为“反比例”、“对勾函数”利用反比例或均值不等式求值域
注意：所以值域问题，化简后都可利用的变化过程来求解，重点是要把每一步范围弄清楚
常见求值域的函数
一次函数： 如： 值域为R（画图）；
一次函数值域一般没有限制，除非收到定义域的限制 ，值域为
一次函数变形：如，值域为
如，值域为
如，值域为
【例8】求下列函数的值域
（2）二次函数：如，值域为画图
如，值域为，图像法
二次函数变形：如，值域为
如，值域为（考虑定义域对值域的限制）
换元法： 如，设，，利用图像法；值域为
如，设，，利用图像法；值域为
注意：换元法适用于根号内外都用的形式，如
【例9】求下列函数的值域
（3）反比例函数：如，画出图像，值域
反比例变形： 如，画出图像，值域，
如和一样的
如函数向左平移一个单位，值域不变
如，分离常数法，值域为
注意:分离常数法适用于形如，值域为
分式求值域：
处理核心：让分子变为常数
变形：需要换元
【例10】（1）
（2）
（3）
（4）
两个函数相同的判断：如果两函数的定义域和对应关系是相同的，则两函数相同等，和什么字母
表示无关！
【例11】判断下列两个函数是否是同一个函数
（1） 不是 （2）是
（3）不是 （4） 不是
（5）是
拓展：（1）尝试构造出两个定义域。值域相同，对应法则不同的函数
（2）尝试构造出两个值域，对应法则相同，定义域不同的函数
解：（1） （2）
练习题
1、设是集合到集合的函数，如果集合，则集合不可能是(　　)
A、 B、 C、 D、
2、下列四组函数中相等的是(　　)
A、 B、
C、 D、
3、求定义域
4、求下列函数值域
（1）
（2）
（3）
（4）

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