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3.8函数性质-奇偶性
引入课题：画出常见函数的图像：观察图的对称性，那我们如何用数学语言去描述这种轴对称和中心对称呢，用镜子和小人作比喻，引奇偶性的定义
函数的奇偶性
定义：一般的，函数定义域为，如果在定义域I内任意，
如果有（喜欢符号，吞负号），那么就叫做偶函数．
如果有（讨厌符号，吐符号），那么就叫做奇函数．
性质：奇函数：1、定义域关于原点对称
几何性质：奇函数关于原点对称，代数表达：偶函数关于Y轴对
3、特有性质：函数在处有意义，且为奇含数
偶函数：1、定义域关于原点对称
2、几何性质：偶函数关于轴对称，代数表达：
【例1】判断下列说法是否正确
若为奇函数，则
若，则为奇函数
若为偶函数，则
若，则为偶函数
若，则不是奇函数
【例2】为什么叫奇偶性，不叫对称性呢
【例3】关于函数与函数的奇偶性下列说法正确的是（ ）
A、两函数均为偶函数 B、两函数都既是奇函数又是偶函数
C、为偶函数，为非奇非偶 D、既是奇函数又是偶函数，为非奇非偶
二、奇偶性的判定方法：
【例4】（1） （2），
（3） （4）
（5）-1 （6）
（7） （8）
（9）
（9） （10）
（11） （12）
1、定义域法：不关于原点对称为非奇非偶函数
2、图像法：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称！根据图像判断奇偶！
3、定义法：第一步，求定义域并判断是否关于原点对称；
第二步，用代替、判断和的关系
4、运算性质法： ①-奇=奇，-偶=偶 ，奇奇=奇，偶偶=偶，奇+偶=非奇非偶；（图形变换）
②奇×奇=偶，奇÷奇=偶，偶×偶=偶； 偶÷偶=偶，奇×偶=奇；奇÷偶=奇
奇（偶）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数；
记忆：可以根据奇函数为（-），偶函数为（+）来记忆
5、常见的奇函数：第一类：；；；
第二类：
第三类：，
① ②③或或
第四类：或
或（同除得)
（证明
6、常见的偶函数：第一类： ； ；；常函数； ；
第二类：；；（自变量加绝对值即为偶函数,不是偶函数）
第三类：，
【例5】下列函数是偶函数但不是奇函数的是( )
A、 B、 C、 D、
【例6】下列函数在定义域上即是奇函数又是减函数的是( )
A、 B、 C、 D、
【例7】设函数与分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
是偶函数 B、是奇函数
C、是偶函数 D、是奇函数
运算性质的进阶： 多项式函数的判断奇偶性
奇函数：只有奇数次项
偶函数：只有偶函数次项
【例8】已知函数是奇函数，求；如果是偶函数，求
【例9】（1）已知，函数是奇函数，则_______
（2）函数定义在上的偶函数，则________
【例10】设函数为奇函数，则_______
三、奇偶性的应用：对称的，给一半可以推测出另一半，应用的核心：构造的出现
1、利用奇偶性求值
【例11】（1）设函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则________
（2）设为奇函数，当时，（b为常数），则_______
2、分段函数求解析式
方法一：一般方法:
①“求谁设谁”，即在哪个区间求函数解析式,x就设在哪个区间内;
②要利用已知区间的函数解析式进行代入
③利用的奇偶性写出或 ,从而解出
方法二：求解析式口诀：奇函数奇不变、偶函数偶不变
【例12】已知函数定义域，当且时，
若函数是奇函数，则当时，函数解析式______
若函数是偶函数，则当时，函数解析式______
解：方法一：设，，把带入到已知解析式
（1）若函数是奇函数，
（2）若函数是偶函数，
方法二：分段函数求解析式口诀：奇函数奇不变、偶函数偶不变
（1）若函数是奇函数，(奇不变号，偶变号)
（2）若函数是偶函数，（偶不变号奇变号）
【例13】已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，
的解析式是______
【例14】设为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是______
【例15】已知函数分别是定义在R的奇函数、偶函数，且满足，
则_______,________
3、求参数的值或取值范围:
①根据函数奇偶性定义列出等式(或),由等式求出参数
②根据函数奇偶性代入特殊点，求出参数
③由奇、偶函数的定义域关于原点对称，可直接求出参数
【例16】（1）若函数为奇函数，则____
（2）若函数为偶函数，则实数_____
（3）若函数是奇函数，则实数
（4）若函数是奇函数，且，则实数
（5）（上海理9）已知是奇函数，且，若
函数的单调性与奇偶性的综合应用
单调性：自变量函数值（通过自变量的大小判断出函数值的大小）
奇偶性：各一半另一半（对称的，给一半可以推测出另一半）
【例17】定义为R上的偶函数满足：对任意（），有，则（ ）
A、 B.
C、 D.
【例18】设函数在上为奇函数且为增函数，，则实数的取值范围是_____
【例19】设函数是定义在上的偶函数，且在为增函数，则的
解集为_______
【例20】已知函数，若，则实数的取值范围是______
【例21】已知奇函数是上的减函数，且，若，则实数的
取值范围是_______
【例22】设函数为奇函数，且在内是减函数，，则的解集为_________
【例23】若奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为_______
【例24】已知定义上的奇函数，对任意满足，则不等式的解集为______
【例25】若偶函数在上总有，且，则不等式的解集为______
【例26】已知定义上的函数，若，则（ ）
B、
C、 D、
【例27】设是定义在上的函数，对任意的,恒有成立，若函数满足，则________（奇函数、偶函数、非奇非偶），若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围
【例】已知函数是定义在上的奇函数，且
求函数的解析式
判断在上的单调性，并用定义证明
解不等式
【例】设函数与定义域都是，是偶函数，是奇函数，且
求与的解析式
求的值3.8函数性质-奇偶性
引入课题：画出常见函数的图像：观察图的对称性，那我们如何用数学语言去描述这种轴对称和中心对称呢，用镜子和小人作比喻，引奇偶性的定义
函数的奇偶性
定义：一般的，函数定义域为，如果在定义域I内任意，
如果有（喜欢符号，吞负号），那么就叫做偶函数．
如果有（讨厌符号，吐符号），那么就叫做奇函数．
性质：奇函数：1、定义域关于原点对称
几何性质：奇函数关于原点对称，代数表达：偶函数关于Y轴对
3、特有性质：函数在处有意义，且为奇含数
偶函数：1、定义域关于原点对称
2、几何性质：偶函数关于轴对称，代数表达：
【例1】判断下列说法是否正确
若为奇函数，则（错、）
若，则为奇函数（错、）
若为偶函数，则（（错、））
若，则为偶函数（错、）
若，则不是奇函数（正确）
【例2】为什么叫奇偶性，不叫对称性呢
解：奇：；
偶：
【例3】关于函数与函数的奇偶性下列说法正确的是（ ）
A、两函数均为偶函数 B、两函数都既是奇函数又是偶函数
C、为偶函数，为非奇非偶 D、既是奇函数又是偶函数，为非奇非偶
解：的定义域为，关于原点对称，且为既是奇函数又是偶函数
的定义域为，不关于原点对称，非奇非偶 答案为D
二、奇偶性的判定方法：
【例4】（1） （图像法） （2），（定义域法）
（3） （定义法、运算法则） （4） （非奇非偶）
（5）-1 （图像法） （6） （运算法则）
（7）（奇函数） （8）（非奇非偶，）
（9）（非奇非偶，定义域法）
（9）（偶函数、狄里克莱函数）（10）（非，定义域）
（11）（偶，定义） （12）（偶，定义、运算）
1、定义域法：不关于原点对称为非奇非偶函数
2、图像法：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称！根据图像判断奇偶！
3、定义法：第一步，求定义域并判断是否关于原点对称；
第二步，用代替、判断和的关系
4、运算性质法： ①-奇=奇，-偶=偶 ，奇奇=奇，偶偶=偶，奇+偶=非奇非偶；（图形变换）
②奇×奇=偶，奇÷奇=偶，偶×偶=偶； 偶÷偶=偶，奇×偶=奇；奇÷偶=奇
奇（偶）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数；
记忆：可以根据奇函数为（-），偶函数为（+）来记忆
5、常见的奇函数：第一类：；；；
第二类：
第三类：，
① ②③或或
第四类：或
或（同除得)
（证明
6、常见的偶函数：第一类： ； ；；常函数； ；
第二类：；；（自变量加绝对值即为偶函数,不是偶函数）
第三类：，
【例5】下列函数是偶函数但不是奇函数的是( )
A、 B、 C、 D、
解：A为奇函数；B为非奇非偶 ；除C为偶函数；
D选项中，，所以即奇又偶函数；答案C
【例6】下列函数在定义域上即是奇函数又是减函数的是( )
A、 B、 C、 D、
解：A为偶函数，B为增函数, C在整个定义域不是减函 D画出图像，答案为D
【例7】设函数与分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
是偶函数 B、是奇函数
C、是偶函数 D、是奇函数
解：奇函数和偶函数加绝对值都变为偶函数，奇+奇=奇，偶+偶=偶
答案：A
运算性质的进阶： 多项式函数的判断奇偶性
奇函数：只有奇数次项
偶函数：只有偶函数次项
【例8】已知函数是奇函数，求；如果是偶函数，求
解：奇函数:, 当，为奇偶函数
偶函数：
【例9】（1）已知，函数是奇函数，则_______
解：奇函数，故，且定义域关于原点对称，所以，
（2）函数定义在上的偶函数，则________
解：，，
【例10】设函数为奇函数，则_______
解：分母为奇函数，根据运算性质分子为偶函数，故
三、奇偶性的应用：对称的，给一半可以推测出另一半，应用的核心：构造的出现
1、利用奇偶性求值
【例11】（1）设函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则________
解：，所以当时，，
（2）设为奇函数，当时，（b为常数），则_______
解：，所以，
2、分段函数求解析式
方法一：一般方法:
①“求谁设谁”，即在哪个区间求函数解析式,x就设在哪个区间内;
②要利用已知区间的函数解析式进行代入
③利用的奇偶性写出或 ,从而解出
方法二：求解析式口诀：奇函数奇不变、偶函数偶不变
【例12】已知函数定义域，当且时，
若函数是奇函数，则当时，函数解析式______
若函数是偶函数，则当时，函数解析式______
解：方法一：设，，把带入到已知解析式
（1）若函数是奇函数，
（2）若函数是偶函数，
方法二：分段函数求解析式口诀：奇函数奇不变、偶函数偶不变
（1）若函数是奇函数，(奇不变号，偶变号)
（2）若函数是偶函数，（偶不变号奇变号）
【例13】已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，
的解析式是______
解:,所以当时，
方法一：设，
方法二：奇函数奇不变
【例14】设为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是______
解：设，，
【例15】已知函数分别是定义在R的奇函数、偶函数，且满足，
则_______,________
解；方程组法：代入：
化简：
列方程：
3、求参数的值或取值范围:
①根据函数奇偶性定义列出等式(或),由等式求出参数
②根据函数奇偶性代入特殊点，求出参数
③由奇、偶函数的定义域关于原点对称，可直接求出参数
【例16】（1）若函数为奇函数，则____
解：方法一：
方法二：
方法三：定义域应关于原点对称，所以
（2）若函数为偶函数，则实数_____
解：方法一：
方法二：
方法三：运算法则，为偶函数，也为偶函数，所以
（3）若函数是奇函数，则实数
解：,
（4）若函数是奇函数，且，则实数
解：,
（5）（上海理9）已知是奇函数，且，若
解
，因为，所以，所以
函数的单调性与奇偶性的综合应用
单调性：自变量函数值（通过自变量的大小判断出函数值的大小）
奇偶性：各一半另一半（对称的，给一半可以推测出另一半）
【例17】定义为R上的偶函数满足：对任意（），有，则（ ）
A、 B.
C、 D.
解：函数在上为减函数，且为偶函数，所以在上为增函数，画图，答案A
【例18】设函数在上为奇函数且为增函数，，则实数的取值范围是_____
解：
【例19】设函数是定义在上的偶函数，且在为增函数，则的
解集为_______
解：定义域应关于原点对称，，定义域为，且
【例20】已知函数，若，则实数的取值范围是______
解：直接画出图，得到函数为奇函数且单增
【例21】已知奇函数是上的减函数，且，若，则实数的
取值范围是_______
解：，
故
【例22】设函数为奇函数，且在内是减函数，，则的解集为_________
解：画图，和异号，从图中观察，
变形：求的解集？（解：）
【例23】若奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为_______
解：画图，，自变量为相反数时，我们要大的部分
有图可知，解集为
【例24】已知定义上的奇函数，对任意满足，则不等式的解集为______
解:,为减函数
空集
综上
【例25】若偶函数在上总有，且，则不等式的解集为______
解：为增函数，偶函数，画图
综上：
【例26】已知定义上的函数，若，则（ ）
B、
C、 D、
解：为奇函数，且为减函数，画图，所以与符号相反，A正确
；
所以，D正确
答案AD
【例27】设是定义在上的函数，对任意的,恒有成立，若函数满足，则________（奇函数、偶函数、非奇非偶），若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围
解：，，为奇函数
注意：若不给条件，需要构造函
【例】已知函数是定义在上的奇函数，且
求函数的解析式
判断在上的单调性，并用定义证明
解不等式
解：（1），，解析式为
（2）设，且，，
，为增函数
【例】设函数与定义域都是，是偶函数，是奇函数，且
求与的解析式
求的值
解：（1），；，
（2），，

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